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1、第4章 控制网平差,对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，相应地就有不同的平差方法。测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。本章介绍独立三角网条件平差和水准网间接平差的原理和方法,第一节 独立三角网条件平差,根据三角网中起算数据的多少，三角网有独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。,一、典型三角网,1.三角锁,共有n+2个点，其中2个为起算点，n个未知点.起算数据：(x1,y1),(x2,y2)
2、.观测值：ai,bi,ci，B2,2.大地四边形,共有4个点，其中2个为起算点，2个未知点。起算数据：(xA,yA),(xB,yB)观测值：a1 a4,b1 b4,A,B,C,D,3.中点多边形,共有n+1个点，其中2个为起算点，n-1个未知点.起算数据：(xA,yA),(xO,yO)观测值：ai,bi,ci,二、典型三角网的条件方程,1.三角锁,图形条件,基线条件,代入条件方程得到改正数表达的条件方程,n个图形条件：,vai+vbi+vci+wi=0;wi=ai+bi+ci 180,将,其中：ai=ctgai;bi=ctgbi;”=206265”,1个基线条件：,ai vai bi vbi+
3、wB=0,2、大地四边形，,可以列出7个图形条件，但是只有 3 个是相互独立的，其余几个可以由这 3 个方程推导出来：,用改正数表达：,va1+vb1+va2+vb2+w1=0;w1=a1+b1+a2+b2 180,va2+vb2+va3+vb3+w2=0;w2=a2+b2+a3+b3 180,va3+vb3+va4+vb4+w3=0;w3=a3+b3+a4+b4 180,极条件1个:,用改正数表达：ai vai bi vbi+ws=0；,其中：ai=ctg ai,bi=ctg bi,3、中点多边形,在中点多边形中，平差时除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满足下列条件：,用改正
4、数表达：,图形条件n个：,vai+vbi+vci+wi=0;,wi=ai+bi+ci 180(i=1,2,n),圆周角条件1个：,vci+wo=0；wo=ci-360,极条件1个：,ai vai bi vbi+ws=0,第二节 条件平差原理,条件方程可以写成矩阵形式：AV+W=0 其中，A 为r n 阶矩阵，称为系数矩阵；V 为n 1列阵，称为改正数向量；W为r 1列阵，称为闭合差向量。,条件方程 AV+W=0 中，有 r 个方程，n 个未知数,且 r n，这样的方程组有无穷多组解。然而，根据最小二乘准则，观测量的最或然值应该满足VTPV=min。,在 AV+W=0的条件下确定 VTPV 的最
5、小值，这在数学中是求函数=VTPV的条件极值问题。条件平差，实际上就是确定条件方程满足VTPV=min 的唯一解。,根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法则组成新函数：=VTPV 2KT（AV+W)其中：K=（k1,k2，kr)T 是拉格朗日乘数，测量平差中称之为联系数向量。显然，只要令对V的一阶导数等于零就可以求出 VTPV 的极值。,矩阵求导的两个公式：,(1)设C为常数阵，X为列阵，则,(2)设Y、Z 均为列阵，则：,一、改正数方程,令其等于零，注意到(PV)T=V T P，从而有：V T P=K T A 转置后左乘 P 1 得：V=P 1 ATK(1)该公式表达了改正数 V 与联系数
6、K 的关系。,函数=VTPV 2 KT(AV+W)对 V 求导：,二、法方程式,将（1）式代入条件方程 AV+W=0 中得：AP 1 AT K+W=0（2）这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi,则,显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：,三、法方程的解,令 N=AP 1 AT（3）则法方程式的形式为 N K+W=0 其中N 称为法方程式系数矩阵，是一个满秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系数向量：K=N 1 W（4）,四、精度评定公式,在条件平差中，精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差。,其中，r 为条件方程的个数，pvv=VTPV 可
7、以根据改正数向量 V 直接计算,1.单位权方差：,2.平差值的权倒数,我们知道，未知量 x 的中误差的平方 mx2 与单位权中误差的平方 2 成正比，与该量的权 Px 成反比，即：,条件平差中，平差值权倒数的计算公式为：,因此，对于某个平差值，只要能够确定它的权，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差。,3.平差值函数的权倒数,同样，对于平差值的函数，只要能够确定它的权P，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差m。,设有平差值函数为,P-1=f T P-1 f-(AP-1f)TN-1AP-1f,其中：P为观测值的权矩阵；A为条件方程系数矩阵；N为法方程系数矩阵；f 为列矩阵：,可见
8、，列出平差函数式后，只要求出f 列阵的各元素,即可由上式计算函数的权倒数。,则平差值函数的权倒数公式为,五、条件平差的一般过程,（1）列出条件方程,AV+W=0,（2）组成法方程系数矩阵,N=AP 1 AT,（3）解法方程得到联系数,K=N 1 W,（4）计算改正数,V=P 1 ATK,（5）计算平差值,（6）精度评定（计算单位权方差、观测值中误差、平差值函数的中误差等）,【例3-1】某一级小三角网如图，知A点坐标为(500.000，500.000)，AB边坐标方位角=321236”，长度S=872.562m，三角网角度观测值如下表，计算各点坐标。,第三节 独立三角网条件平差算例,列条件方程
9、本题应列出5个条件方程。其中3个图形条件，1个圆周角条件，1个极条件。,【解】：,2.闭合差检核,一级小三角网测角中误差应不大于5”,图形条件闭合差检核：,|wi|max=1.6”w限,圆周角条件闭合差检核：,wO=-3.2”wO限,极条件闭合差检核：,3.列立条件方程,条件方程的矩阵形式为：AV+W=0,本例中：,W=(1.0-1.6-0.6-3.2-33.1)T,V=(va1 vb1 vc1 va2 vb2 vc2 va3 vb3 vc3)T,4.组成法方程,法方程的组成与解算可以利用Matlab软件。打开Matlab，进入命令编辑器后，先输入常数矩阵A和W，再进行矩阵运算，得到法方程式，
10、解法方程式得到联系数向量K和改正数向量V。,注意：本例中所有观测值都是等精度角度观测值，所以法方程中权矩阵为单位阵。,先输入2个常数矩阵A,W,再点击workspace按钮，对这两个矩阵进行修改,常数矩阵的输入,组成法方程系数矩阵,5.解算联系数和改正数,6.精度评定,直接在MATLAB中计算PVV：,m10”说明该三角网角度观测达到精度要求。,？PVV=V*V,PVV=59.3972,据此计算测角中误差：,7.计算观测量的平差值,8.平差值闭合差检核,图形条件：,w1=1180=-0.01”,w2=2180=+0.01”,w3=3180=0.00”,圆周角条件：,wo=c360=0.00”,
11、极条件：,9.推算三角网各边长度,从已知边AB起，应用正弦定理依次计算。,10.计算各点坐标,（按闭合导线计算）,第四节 水准网间接平差,间接平差法（参数平差法）是通过选定t个独立参数，将每个观测量分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测量的平差值。用间接平差法进行水准网的平差计算是一种常用的方法,一、间接平差的基本原理,设平差问题中有 n 个观测值 L，必要观测数为 t,选定 t 个独立量 X 为参数,观测量平差值为观测值 L 与改正数 v 之和，按具体平差问题，可列出n个平差值方程：,1.误差方程,用矩阵形式表达：L+V
12、=BX+d 或：V=BX l此式称为间接平差误差方程。式中，L 为观测值向量（n 1 阶）；V 为改正数向量（n 1 阶）；B 为系数矩阵（n t 阶）；X 为未知数向量（t 1 阶）；l=L d 为常数矩阵（n 1 阶）。,2.法方程式,按最小二乘原理，上式的X必须满足VPV=min的要求，因为t个参数X为独立量，可按数学上求函数自由极值的方法，令VPV对X的一阶导数等于零,即：,将误差方程 V=BX l 代入上式：,令,，,上式简写成,3.法方程式的解,式中系数阵Nbb为对称二次型的满秩方阵，其逆存在，故有,二、间接平差的计算步骤,1）选择t个独立参数X；2）列出误差方程；3）组成法方程；
13、4）解法方程，求出参数5）由误差方程计算V；6）计算观测量平差值7）精度评定,。,V=BX l,V=BX l,三、精度评定,1.单位权中误差,其中：pvv=VT P V,2.平差值的权倒数,间接平差中，第 i 个平差值Li 的权倒数等于平差值协因数阵对角线上的相应元素，而平差值协因数阵为：,3.参数的权倒数,第 i 个参数的权倒数就等于参数的协因数阵对角线上的相应元素，而参数的协因数阵就等于法方程系数矩阵的逆矩阵:,4.参数函数的权倒数,设参数的函数为：,则参数函数的权倒数为：,且有,三、水准网间接平差算例,P.80 如图，N6N9是已知水准点，A、B、C是结点，观测值及已知值均注于略图上，计
14、算各节点高程，并评定精度。,解：1.列误差方程,设 A、B、C点的高程最或然值为x、y、z，则：,h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7,为了简化计算，设未知量的近似值为x 0、y0、z0，并设相应的改正数为x、y、z，则,本例中：x0=H7+h1=251.763 m y0=H6+h5=248.682 m z0=H9+h7=253.922 m,误差方程的最后形式为：,用矩阵表达为：V=BX l,其中：X=(x y z)，,T,2.计算权矩阵,各观测值的权按 pi=10/Li 计算，则,?N=B*P*BN=1.9600-0.5300-0.4300-0.5300 1.5800-0.4300-0.
15、4300-0.4300 1.4400,?W=B*P*LW=9.1500-12.2800 13.3300,3.组成法方程系数矩阵和常数矩阵,?INVN=inv(N)INVN=0.6523 0.2959 0.2831 0.2959 0.8231 0.3341 0.2831 0.3341 0.8788,?X=INVN*WX=6.1098-2.9463 10.2016,4.系数矩阵求逆，计算参数,5.计算改正数和平差值：,?V=B*X-LV=6.1098-1.9439-11.9082-13.8902-2.9463-1.8521 10.2016,V=BX l,6.计算节点高程平差值,节点高程平差值分别就
16、是误差方程的参数，因此：HA=x=x0+x=251.769 m HB=y=y0+y=248.679 m HC=z=z0+z=253.932 m,7.计算单位权中误差,先计算pvv：,?PVV=V*P*VPVV=246.8879,?m0=sqrt(PVV/(7-3)m0=7.8563,则,8.确定计算节点高程平差值的权倒数,节点高程平差值分别就是误差方程的参数，在法方程系数矩阵的逆矩阵 0.6523 0.2959 0.2831 N-1=0.2959 0.8231 0.3341 0.2831 0.3341 0.8788中，对角线上的元素，分别就是参数x，y，z 的权倒数，也就是这些节点高程平差值的权倒数，即：1/px=0.65，1/py=0.82，1/pz=0.88,9.计算节点高程平差值的中误差,
