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1、第1章 效用理论与保险,1.1引言,例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%的机会什么也得不到。B：100%的机会得到10元。选择A？或B？,喜好风险,例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会夫去10元。选择A？或B？,厌恶风险,例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会夫去20元。选择A？或B？,1.2 期望效用模型,假设一个个体面临损失额为B，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单支付保费P，B 和P之
2、间有何种关系？,如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B；如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5 稍大一些；如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。因为这么大的损失一但发生可以导致破产。结论：可以付出比期望值高的费用为风险投保。,为比较X 和Y，效用函数与其线性变换是等价的，即无论选择哪个效用函数会得出相同的决策。,当且仅当,效用函数的确定,效用函数是存在的。但很难给出一个明确的解析式。可以向决策都提出大量的问题，通过他对这些问题的回答来决定该决策都的效用函数。如“为了避免以概率q损失1个单位货币，你愿意支付多少保费这P？”,当b=1 时，他选择A；当b=4 时，他选择B；当
3、b=2 时，两者等价,这既不是凸函数也不是凹函数。,有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。被保险人是风险厌恶者。风险厌恶者的效用函数的特点：,定理1.2.3(Jensen 不等式）如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则,其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或Var(Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效用函数，有,被保险人方面：,保险人方面：,买卖成功！,实际风险是中性的，即对于任意的风险X，有期望保费EX就够了。由大数定律可知：,在后面式子的两边同时取期望，得到,因此，风险X 的最大保费近似为,于是风险X 的最大保费近似为,注意到 用替换时，并没有改变从（1.18)，我们可
4、以看到风险厌恶系数真正反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，准备支付的保费也越大,.效用函数族,-,把 代入均衡方程（1.11）得,其中 是X 的矩母函数,假设损失X 服从 分布，其中 表示参数为 的指数分布令 0.01，则EX=100,如果被保险人的效用函数是参数为 的指数效用函数，,因此被保险人愿意在纯保费 之上附加相当数量的额外保费,138.6100,由例中近似式(1.18)得,显然，近似表达式(1.22)随 递增，如果X 是方差有限的非负随机变量，则(1.20)所决定的保费也是递增的，具体证明如下。令,由Jensen 不等式知,取 则 且,对任意 有,由方程(1.10)发生损失X
5、之后的期望效用为,以及支付保费P之后的效用为,近似的最大保费：,（不可保的风险）某决策者使用风险厌恶系数为 的指数效用函数，他想对分布为 的风险进行投保，其中 表示参数为a,b的伽玛分布确定 并证明，何时 此时说明了什么？,因为,我们有.因而 所以，计算出的保费大于纯保费如果，则，这表明决策者愿意支付任何有限的保费按照效用理论，如果风险厌恶系数为.那么承保该风险的保险人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因为 对于这些保险人来说，这种风险是不可保的,1.4 停止损失再保险的最优性,再保险合同通常只承保保险人的一部分风险停止损失(再）保险承保损失超出指定免赔额的超额部分它的定义如下：如果发生的损
6、失为X(我们假设).则理赔支付为,对于停止损失保险合同，其纯保费 称为停止损失保费，记为,在离散情形，为阶梯函数，其在x 处的跳为；在连续情形，有导函数 两种情形下的停止损失保费都可由下式给出,为什么？,定理1.4.l（停止损失再保险的最优性）用 记当损失为 时，某再保险合同约定的理赔支付假设 对于任意 成立,则,证明,因为，所以只需证明,上式成立的一个充分条件是 以概率1 成立当 时，显然成立；当 时,我们有，有,停止损失保费不仅使自留风险的方差达到最小，而且还使被保险人的期望效用达到最大。,例1.4.2（比例再保险的最优性）假设保险人收取保费,正寻求最有利的再保险 满足，且自留风险的方差给定如下：,我们必须使再保险公司的期望利润达到最小,问题B 容易解决一些,
