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1、第三章 极限与函数的连续性,一、数列的极限二、函数的极限三、函数的连续性四、无穷小量无穷大量的比较,极限概念的萌芽可追溯至公元前300年，当时我国著名哲学家庄子的著作中便有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（庄子天下篇）的论述。在南北朝（429-500）时期，祖冲之利用极限的思想计算圆周率，取得了很大的成功。他利用圆内接多边形的面积逼近圆的面积，即所谓“割圆术”，该方法被写入他与儿子祖恒合著的缀术中。不幸的是，该书在北宋中期失传。,我国古代极限思想,祖冲之,一、概念的引入,3-2 数列的极限,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,思想：用多边形无限逼近：,二、数列的极限,1、数列的概念
2、,定义 自变量为正整数的函数,将其函数值按自变量 n 由小到大排成一列数,称为数列，将其简记为,称为数列的通项或一般项,(1),(3),(4),(2),即,数列,数列,数列,数列,数列（1）当n无限增大时,无限趋近于0，即数列（1）以0为它的变化趋向；,数列（2）当n无限增大时,无限趋近于 常数1,即数列（2）以1为它的变化趋向；,数列（3）当n无限增大时，其奇数项为1，偶数项为-1，随着n 的增大，它的通项在-1,+1之间变动，没有确定的变化趋向；,数列（4）当n 无限增大时，un=2n-1无限增大.,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接
3、近”意味着什么?如何用数学语言?,通过上面演示实验的观察:,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,例1,证,所以,例2,证,例3,证,利用定义证明极限应注意的问题,一、有时对 规定范围是方便的，如，但要注意，可小不可大。,二、正整数 与 有关，有时将其写成，但它不 唯一，注意 可大不可小。,三、直接解不等式 求 有时较困难，若将 进行适当放大，问题则可变得简单。,1.有界性,例如,有界,无界,2.数列极限的性质,定理3.2 收敛的数列必有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,定理 3.3 设，且，则存在正整数，当 时，恒有,2
4、.保号性,ii)若，则存在正整数，当 时，恒有,推论 设，i)若，则存在正整数，当 时，恒有,3.四则运算封闭性,定理 3.4 设 为无穷小量，是有界数列，则,定理 3.5(保序性)设，且，则存在正整数，当 时，恒有,定理 3.6(极限不等式)设，且对任意正整数，有，则,无穷小量的定义,思考：下面两个说法是否正确，为什么？,设，且，则存在正整数，当 时，恒有,2.设，且对任意正整数，有，则,考虑：和.,4.唯一性,定理 3.7 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,定理3.8（夹迫性）设，且 则,证明：,定理3.9.单调收敛准则,单调下降有下界的数列必有极限.,单调上
5、升有上界的数列必有极限.,通常说成：单调有界的数列必有极限.,证,由平均值不等式即得,例4,先证单调上升，即证,又,等比数列求和,放大不等式,每个括号小于 1.,综上所述,数列xn是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它记为 e,即,e 称为欧拉常数.,(1)无穷小量的定义,无穷小量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很小的数.,3、无穷小量与无穷大量,(2)无穷大量的定义,定义无穷大量时,用的是绝对值,去掉绝对值符号,则可以定义正无穷大量和负无穷大量.,去掉绝对值符号会怎么样？,由无穷大量与无界量的定义是否可得出:,无穷大量一定是无界量,反之,无界量一定是无穷大量?,无穷大量一定是无界量.无界量不一定是无穷大量.,无穷大量的运算性质,
