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1、数 学 建 模(郭大伟等 著),安徽信息工程学院基础部,主讲:耿杰,数学建模竞赛简介,MCM之介绍,Mathematical Contest in Modeling 美国赛，中国赛，华东地区赛，芜湖中国赛：每年的九月中下旬，各省成立分赛区每次的考题只有两个题（可能是三个）,选一,竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程
2、度。,数学建模竞赛之三步骤,建立模型：实际问题数学问题；数学解答：数学问题数学解；模型检验：数学解实际问题的解决。,这三个步骤不可偏废,建立模型,问题的关键是什么？查阅资料和文献常用的建模方法：微分方程、图论、运筹优化、概率统计、计算机算法现学现用（perhaps attractive）赛题分析,前言：数学现以空前的广度和深度向一切领域渗透，数学实验是计算机技术和数学软件引入数学后出现的新事物。数学实验强调以学生动手为主，在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术，选择合适的数学软件，分析、解决一些经过简化的实际问题。由于电子计算机的出现及飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视：在工程领域、高新
3、技术领域以及数学进入的一些新领域都有用武之地。,第一章 数学建模初步,1 从现实对象到数学模型2 数学建模的重要意义3 数学建模示例,玩具、照片、飞机、火箭模型,直观模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,1、从现实对象到数学模型,我们常见的模型:,我们遇到过的简单数学模型-“航行问题”,用x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时。,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需
4、50小时,问船的速度是多少?,x=20,y=5.,航行问题建立数学模型的基本步骤:,作出简化假设(船速、水速为常数)；,用符号表示有关量(x,y表示船速和水速)；,用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程)；,求解得到数学解答(x=20,y=5)；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,建模的具体步骤大致可见右图:,建模过程示意图,对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程（包括模型的建立、求解、分析、检验等）。,数学模型(Mathematical Model)：,数
5、学建模（Mathematical Modeling)：,2、数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多新天地。,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,3、数学建模示例,例1 椅子能在不平的地面上放稳吗？,问题分析:,模型假设:,通常三只脚着地,放稳 四只脚着地.,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
6、连线呈 正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型建立:,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来。,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性，用,(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置。,四只脚着地,距离是的函数。,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g().,两个距离,椅脚与地面距离为零，,正方形ABCD绕O点旋转,f(),g()是连续函数.,对任意,f()和g()至少一个为0.,转化为数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且g(0)=0，有
7、f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解：,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由 g(0)=0，f(0)0，知 f(/2)=0,g(/2)0，令 h()=f()g(),则 h(0)0 和 h(/2)0.由 f,g的连续性知 h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使 h(0)=0,即 f(0)=g(0).因为 f()g()=0,所以 f(0)=g(0)=0.,评注和思考,建模的关键:,假设条件的本质与非本质:,考察四脚呈长方形的椅子.,和 f(),g()的确定.,世界人口增长概况:,中国人口增长概况:,研究人口变化
8、规律,控制人口过快增长,例2 如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,设今年人口 x0,年增长率 r,k年后人口为：,可见，随着时间增加，人口按指数规律无限增长。,解得,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长
9、的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设:,r固有增长率(x很小时),xm 人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),x(t)S形曲线,x增加先快后慢,参数估计:,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位:百万）,专家估计,模型检验,用模型计算2000年美国人口,与实际数据比较,实际为281.4(百万).,模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,得,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量).,例3：要在雨中从一处走到另一处，试讨论是否走得越
10、快，淋雨量越小？,问题分析:,关键是建立淋雨量与人的速度之间的关系。,模型假设:,将人体视为长方体;,人沿着直线方向匀速前进；,雨的大小和方向保持不变。,符号说明:,降雨强度，单位cm/h,人体的高度，宽度，厚度，单位m,人的速度，单位m/s,淋雨量,两地的距离，单位m,模型建立,1、不考虑降雨方向的情况：,淋雨面积：,雨中行走的时间：,降雨强度：,淋雨量：,结论：淋雨量与人的速度成反比。,经计算，,仔细分析，在雨中只跑了2分47秒，被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量，这是不可思议的。,人的最大速度为V=6m/s,若取D=1000m,I=2cm/h,h=1.5m,w=0.5m,d=0.2m,
11、模型检验,表明，用此模型描述雨中行人的淋雨量不符合实际。,2、考虑降雨方向：,设雨滴下落速度为r(m/s)，雨滴的密度为p，表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数，则 I=rp.,雨速和人速如下图所示：,雨滴下落的反方向,顶部的淋雨量为：,前面的淋雨量为：,淋雨总量：,2.1 雨从前面打来：,经计算，,可见，淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。,若取r=4m/s,I=2cm/h,例如：,则,表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。,假设以6m/s的速度在雨中跑，则,例如：,则,表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最
12、小。,假设以6m/s的速度在雨中跑，则,顶部的淋雨量为：,背（前）面的淋雨量为：,淋雨总量：,2.2 雨从背后打来：,设,结论：若tan(a)d/h，则以雨速的水平分量大小的速度前进时淋雨量最小。此时实际上只有顶部被淋雨，背部没有淋雨。,若tan(a)d/h，则人前进越快，淋雨量就越小。,若h=1.5m,d=0.2m,r=4m/s,则,故当v=rsina=2m/s时，淋雨量最小，,比较：若此时以v=6m/s行驶，则淋雨量为,模型改进与推广：,若雨线方向与跑步方向不在一个平面上，模型会有什么变化？,作业,1.对于“椅子能否在不平的地面上放稳”的例子，若将椅子改为长方形的形状，则问题如何解决？,2.对于“雨中行走”的例子，考虑雨从背后打来的情形，试问当 时,人的速度为多大时淋雨量最小？当 时，人的速度为多大时淋雨量最小？此时淋雨量是多少？（假设h=1.5m,d=0.2m,w=0.5m,D=1000m,I=2cm/h,r=4m/s）,数学建模的学习方法,案例研究阶段亲身实践阶段回馈反思阶段,
