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1、,第六节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间直线及其方程,第七章,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.参数式方程,设,得参数式方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向
2、向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(锐角),的方向向量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,(请看P332 例2),从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返
3、回 结束,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,相交,求此直线方程.,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,例4.,机动 目录
4、上页 下页 返回 结束,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点.,即,故所求直线方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面束,设有两不平行平面：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1：,2：,则交线方程为,三元方程：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于任意的,不成比例.,所以，对任意，,不全为零.,从而（3）表示一个平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在L上任取一点P，则P点的坐标同时满足,(1),(2)两个平面方程，因此也满足方程(3).所以，,方
5、程是(3)通过L的平面.反之，通过直线L的任意平,面(2)除外)均包含在由方程(3)所表示的平面族内.,通过直线L的所有平面的全体称为平面束.方程（3）,就是通过L的平面束方程.实际上,该平面束缺少了,一个平面，就是平面(2).方程(3)可改写成：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求直线,解:过直线,该平面与,的平面束方程为,其中是待定常数，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在平面,上的投影直线方程.,垂直的条件是,从而=-1，,将其带入到（1）式的投影方程,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.平面束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
