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1、第五章 数组和广义表 数组和广义表可看成是一种特殊的线性表，其特殊在于:表中的数据元素本身也是一种线性表,5.1 数组的定义 数组是我们最熟悉的数据类型，在早期的高级语言中，数组是唯一可供使用的数据类型。由于数组中各元素具有统一的类型，并且数组元素的下标一般具有固定的上界和下界，因此，数组的处理比其它复杂的结构更为简单。多维数组是向量的推广。例如，二维数组：a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn,Amn=,可以看成是m由个行向量组成的向量，也可以看成是n个列向量组成的向量。数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。因此，除了结构的初始化和销毁之外，数组只有存取元
2、素和修改元素值的操作。,5.2 数组的顺序表示和实现 由于计算机的内存储结构是一维的，因此用一维内存来表示多维数组，就必须按某种次序将数组元素排成一列序列，然后将这个线性序列存放在存储器中。又由于对数组一般不做插入和删除操作，也就是说，数组一旦建立，结构中的元素个数和元素间的关系就不再发生变化。因此，一般都是采用顺序存储的方法来表示数组。,5.1 数组的类型定义,5.3 稀疏矩阵的压缩存储,5.2 数组的顺序表示和实现,5.4 广义表的类型定义,5.5 广义表的表示方法,5.6 广义表操作的递归函数,5.1 数组的类型定义,ADT Array 数据对象：Daj1,j2,.,ji,jn|ji=0
3、,.,bi-1,i=1,2,.,n 数据关系：RR1,R2,.,Rn Ri|0 jk bk-1,1 k n 且k i,0 ji bi-2,i=2,.,n ADT Array,基本操作:,二维数组的定义:,数据对象:D=aij|0ib1-1,0 jb2-1数据关系:R=ROW,COL ROW=|0ib1-2,0jb2-1 COL=|0ib1-1,0 jb2-2,基本操作：,InitArray(&A,n,bound1,.,boundn),DestroyArray(&A),Value(A,&e,index1,.,indexn),Assign(&A,e,index1,.,indexn),InitArr
4、ay(&A,n,bound1,.,boundn)操作结果：若维数 n 和各维长度合法，则构造相应的数组A，并 返回OK。,DestroyArray(&A)操作结果：销毁数组A。,Value(A,&e,index1,.,indexn)初始条件：A是n维数组，e为元素变量，随后是n 个下标值。操作结果：若各下标不超界，则e赋值为 所指定的A 的元素值，并返 回OK。,Assign(&A,e,index1,.,indexn)初始条件：A是n维数组，e为元素变量，随后是n 个下标值。操作结果：若下标不超界，则将e的值赋 给所指定的A的元素，并返回 OK。,5.2 数组的顺序表示和实现,类型特点:1)只
5、有引用型操作，没有加工型操作；2)数组是多维的结构，而存储空间是 一个一维的结构。,有两种顺序映象的方式:1)以行序为主序(低下标优先)；2)以列序为主序(高下标优先)。,例如：,称为基地址或基址。,以“行序为主序”的存储映象,二维数组A中任一元素ai,j 的存储位置 LOC(i,j)=LOC(0,0)+(b2ij),a0,1,a0,0,a0,2,a1,0,a1,1,a1,2,a0,1,a0,0,a0,2,a1,0,a1,1,a1,2,L,L,推广到一般情况，可得到 n 维数组数据元素存储位置的映象关系,称为 n 维数组的映象函数。数组元素的存储位置是其下标的线性函数。,其中 cn=L，ci-
6、1=bi ci,1 i n。,LOC(j1,j2,.,jn)=LOC(0,0,.,0)+ci ji,i,=1,n,假设 m 行 n 列的矩阵含 t 个非零元素，则称 为稀疏因子。通常认为 0.05 的矩阵为稀疏矩阵。,5.3 稀疏矩阵的压缩存储,何谓稀疏矩阵？,以常规方法，即以二维数组表示高阶的稀疏矩阵时产生的问题:,1)零值元素占了很大空间;,2)计算中进行了很多和零值的运算，遇除法，还需判别除数是否为零。,1)尽可能少存或不存零值元素；,解决问题的原则:,2)尽可能减少没有实际意义的运算；,3)操作方便。即：能尽可能快地找到与 下标值(i，j)对应的元素，能尽可能快地找到同 一行或同一列的
7、非零值元。,1)特殊矩阵 非零元在矩阵中的分布有一定规则 例如:三角矩阵 对角矩阵,2)随机稀疏矩阵 非零元在矩阵中随机出现,有两类稀疏矩阵：,特殊矩阵 所谓特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵，下面我们讨论几种特殊矩阵的压缩存储。1、对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：aij=aji 0i,jn-1则称A为对称矩阵。如图5.1便是一个5阶对称矩阵。对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间，这样，能节约近一半的存储空间。不失一般性，我们按“行优先,顺序”存储主对角线（包括对角线）以下的元素，其存储形
8、式如图所示：1 5 1 3 7 a00 5 0 8 0 0 a10 a 11 1 8 9 2 6 a20 a21 a23 3 0 2 5 1.7 0 6 1 3 an-1 0 a n-1 1 a n-1 2 a n-1 n-1 图 5.1 对称矩阵 在这个下三角矩阵中，第i行恰有i+1个元素，元素总数为：n(n+1)/2 因此，我们可以按图中箭头所指的次序将这些元素存放在一个向量sa0.n(n+1)/2-1中。为了便于访问对称矩阵A中的元素，我们必须在aij和sak,之间找一个对应关系。若ij，则ai j在下三角形中。ai j之前的i行（从第0行到第i-1行）一共有1+2+i=i(i+1)/2
9、个元素，在第i行上，ai j之前恰有j个元素（即ai0,ai1,ai2,aij-1），因此有：k=i*(i+1)/2+j 0kn(n+1)/2 若ij，则aij是在上三角矩阵中。因为aij=aji，所以只要交换上述对应关系式中的i和j即可得到：k=j*(j+1)/2+i 0 kn(n+1)/2 令 I=max(i,j)，J=min(i,j)，则k和 i,j的对应关系可统一为：k=I*(I+1)/2+J 0 kn(n+1)/2,因此，aij的地址可用下列式计算：LOC(aij)=LOC(sak)=LOC(sa0)+k*d=LOC(sa0+I*(I+1)/2+J*d 有了上述的下标交换关系，对于任
10、意给定一组下标(i，j)，均可在sak中找到矩阵元素aij，反之，对所有的k=0,1,2,n(n-1)/2-1，都能确定sak中的元素在矩阵中的位置(i,j)。由此，称san(n+1)/2为阶对称矩阵A的压缩存储，见下图：k=0 1 2 3 n(n-1)/2 n(n+1)/2-1例如a21和a12均存储在 sa4中，这是因为 k=I*(I+1)/2+J=2*(2+1)/2+1=4,2、三角矩阵 以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。上三角矩阵如图所示，它的下三角（不包括主对角线）中的元素均为常数。下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方均为常数，如图所示。在大多数情况下，三角矩阵常数为零。
11、a00 a01 a 0 n-1 a00 c c c a11 a 1 n-1 a10 a11 c.c c a n-1 n-1 an-1 0 an-1 1 an-1 n-1(a)上三角矩阵(b)下三角矩阵 图5.2 三角矩阵,三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2个，因此，三角矩阵可压缩存储到向量sa0.n(n+1)/2中，其中c存放在向量的最后一个分量中，上三角矩阵中，主对角线之上的第p行(0pj,k=,下三角矩阵的存储和对称矩阵类似，sak和aij对应关系是：i(i+1)/2+j ij n(n+1)/2 ij 3、对角矩阵 对角矩阵中，所有的非零元素集中在以
12、主对角线为了中心的带状区域中，即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零。下图给出了一个三对角矩阵，a00 a01 a10 a11 a12 a21 a22 a23.图5.3 对角矩阵 an-2 n-3 an-2 n-2 an-2 n-1 an-1 n-2 an-1 n-1,k=,非零元素仅出现在主对角(aii,0in-1上，紧邻主对角线上面的那条对角线上(aii+1,0in-2)和紧邻主对角线下面的那条对角线上(ai+1 i,0in-2)。显然，当i-j1时，元素aij=0。由此可知，一个k对角矩阵(k为奇数)A是满足下述条件的矩阵：若i-j(k-1)/2，则元
13、素 aij=0。对角矩阵可按行优先顺序或对角线的顺序，将其压缩存储到一个向量中，并且也能找到每个非零元素和向量下标的对应关系。,在三对角矩阵里附满足条件i=0，j=0、1，或i=n-1j=n-2、n-1或1in-1,j=i-1、i、i+1的元素aij外，其余元素都是零。对这种矩阵，我们也可按行优序为主序来存储。除第0行和第n-1行是2个元素外，每行的非零元素都要是3个，因此，需存储的元素个数为3n-2。,K=0 1 2 3 4 5 3n-2 3n-1 数组sa中的元素sak与三对角带状矩阵中的元素aij存在一一对应关系，在aij之前有i行,共有3*i-1个非零元素，在第i行，有j-i+1个非零
14、元素，这样，非零元素aij的地址为：,LOC(i,j)=LOC(0,0)+3*i-1+(j-i+1)*d=LOC(0,0)+(2i+j)*d 上例中，a34对应着sa10。k=2*i+j=2*3+4=10 a21对应着sa5 k=2*2+1=5由此，我们称sa0.3*n-2是阶三对角带状矩阵A的压缩存储表示。,上述的各种特殊矩阵，其非零元素的分布都是有规律的，因此总能找到一种方法将它们压缩存储到一个向量中，并且一般都能找到矩阵中的元素与该向量的对应关系，通过这个关系，仍能对矩阵的元素进行随机存取。5.3.2 稀疏矩阵。,随机稀疏矩阵的压缩存储方法:,一、三元组顺序表,二、行逻辑联接的顺序表,三
15、、十字链表,#define MAXSIZE 12500 typedef struct int i,j;/该非零元的行下标和列下标 ElemType e;/该非零元的值 Triple;/三元组类型,一、三元组顺序表,typedef union Triple dataMAXSIZE+1;int mu,nu,tu;TSMatrix;/稀疏矩阵类型,如何求转置矩阵？,用常规的二维数组表示时的算法,其时间复杂度为:O(munu),for(col=1;col=nu;+col)for(row=1;row=mu;+row)Tcolrow=Mrowcol;,用“三元组”表示时如何实现？,1 2 14,1 5-5
16、,2 2-7,3 1 36,3 4 28,2 1 14,5 1-5,2 2-7,1 3 36,4 3 28,首先应该确定每一行的第一个非零元在三元组中的位置。,cpot1=1;for(col=2;col=M.nu;+col)cpotcol=cpotcol-1+numcol-1;,Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M,TSMatrix/FastTransposeSMatrix,转置矩阵元素,Col=M.datap.j;q=cpotcol;T.dataq.i=M.datap.j;T.dataq.j=M.datap.i;T.dataq.e=M.datap.e;
17、+cpotcol,分析算法FastTransposeSMatrix的时间复杂度：,时间复杂度为:O(M.nu+M.tu),for(col=1;col=M.nu;+col)for(t=1;t=M.tu;+t)for(col=2;col=M.nu;+col)for(p=1;p=M.tu;+p),三元组顺序表又称有序的双下标法，它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。然而，若需随机存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。,二、行逻辑联接的顺序表,#define MAXMN 500 typedef struct Triple dataMAXSIZE+1;int
18、rposMAXMN+1;int mu,nu,tu;RLSMatrix;/行逻辑链接顺序表类型,修改前述的稀疏矩阵的结构定义，增加一个数据成员rpos，其值在稀疏矩阵的初始化函数中确定。,例如：给定一组下标，求矩阵的元素值,ElemType value(RLSMatrix M,int r,int c)p=M.rposr;while(M.datap.i=r/value,矩阵乘法的精典算法:for(i=1;i=m1;+i)for(j=1;j=n2;+j)Qij=0;for(k=1;k=n1;+k)Qij+=Mik*Nkj;,其时间复杂度为:O(m1n2n1),Q初始化；if Q是非零矩阵/逐行求积
19、for(arow=1;arow=M.mu;+arow)/处理M的每一行 ctemp=0;/累加器清零 计算Q中第arow行的积并存入ctemp 中；将ctemp 中非零元压缩存储到Q.data；/for arow/if,两个稀疏矩阵相乘（QMN）的过程可大致描述如下：,Status MultSMatrix(RLSMatrix M,RLSMatrix N,RLSMatrix/MultSMatrix,ctemp=0;/当前行各元素累加器清零 Q.rposarow=Q.tu+1;for(p=M.rposarow;p MAXSIZE)return ERROR;Q.dataQ.tu=arow,ccol,
20、ctempccol;/if,处理 的每一行,M,分析上述算法的时间复杂度,累加器ctemp初始化的时间复杂度为(M.muN.nu)，求Q的所有非零元的时间复杂度为(M.tuN.tu/N.mu)，进行压缩存储的时间复杂度为(M.muN.nu)，总的时间复杂度就是(M.muN.nu+M.tuN.tu/N.mu)。,若M是m行n列的稀疏矩阵，N是n行p列的稀疏矩阵，则M中非零元的个数 M.tu=Mmn，N中非零元的个数 N.tu=Nnp，相乘算法的时间复杂度就是(mp(1+nMN)，当M0.05 和N0.05及 n 1000时，相乘算法的时间复杂度就相当于(mp)。,三、十字链表,3 0 0 50-
21、1 0 02 0 0 0,1,1,3,1,4,5,2,2,-1,3,1,2,5.4 广义表的类型定义,ADT Glist 数据对象：Dei|i=1,2,.,n;n0;eiAtomSet 或 eiGList,AtomSet为某个数据对象 数据关系：LR|ei-1,eiD,2in ADT Glist,基本操作:,广义表是递归定义的线性结构，,LS=(1,2,n)其中：i 或为原子 或为广义表,例如:A=()F=(d,(e)D=(a,(b,c),F)C=(A,D,F)B=(a,B)=(a,(a,(a,),广义表是一个多层次的线性结构,例如：,D=(E,F),其中:E=(a,(b,c)F=(d,(e)
22、,D,E,F,a,(),d,(),b,c,e,广义表 LS=(1,2,n)的结构特点:,1)广义表中的数据元素有相对次序；,2)广义表的长度定义为最外层包含元素个数；,3)广义表的深度定义为所含括弧的重数；注意：“原子”的深度为 0“空表”的深度为 1,4)广义表可以共享；,5)广义表可以是一个递归的表。递归表的深度是无穷值，长度是有限值。,6)任何一个非空广义表 LS=(1,2,n)均可分解为 表头 Head(LS)=1 和 表尾 Tail(LS)=(2,n)两部分。,例如:D=(E,F)=(a,(b,c)，F),Head(D)=E Tail(D)=(F),Head(E)=a Tail(E)
23、=(b,c),Head(b,c)=(b,c)Tail(b,c)=(),Head(b,c)=b Tail(b,c)=(c),Head(c)=c Tail(c)=(),结构的创建和销毁 InitGList(,基本操作,状态函数 GListLength(L);GListDepth(L);GListEmpty(L);GetHead(L);GetTail(L);,插入和删除操作 InsertFirst_GL(,遍历 Traverse_GL(L,Visit();,5.5 广义表的表示方法,通常采用头、尾指针的链表结构,表结点:原子结点：,tag=1 hp tp,tag=0 data,1)表头、表尾分析法：
24、,构造存储结构的两种分析方法:,若表头为原子，则为,空表 ls=NIL,非空表 ls,tag=1,指向表头的指针,指向表尾的指针,tag=0 data,否则，依次类推。,L=(a,(x,y),(x),a,(x,y),(),1,L,L=(),0 a,1,1,1,1,1,0 x,(),x,2)子表分析法：,若子表为原子，则为,空表 ls=NIL,非空表,1,指向子表1 的指针,tag=0 data,否则，依次类推。,1,指向子表2 的指针,1,指向子表n 的指针,ls,例如:,a(x,y)(x),LS=(a,(x,y),(x),ls,5.6 广义表操作的递归函数,递归函数 一个含直接或间接调用本函
25、数语句的函数被称之为递归函数，它必须满足以下两个条件：,1)在每一次调用自己时，必须是(在某 种意义上)更接近于解;,2)必须有一个终止处理或计算的准则。,例如:梵塔的递归函数,void hanoi(int n,char x,char y,char z)if(n=1)move(x,1,z);else hanoi(n-1,x,z,y);move(x,n,z);hanoi(n-1,y,x,z);,二叉树的遍历,void PreOrderTraverse(BiTree T,void(Visit)(BiTree P)if(T)Visit(T-data);(PreOrderTraverse(T-lchi
26、ld,Visit);(PreOrderTraverse(T-rchild,Visit);/PreOrderTraverse,一、分治法(Divide and Conquer)(又称分割求解法),如何设计递归函数？,二、后置递归法(Postponing the work),三、回溯法(Backtracking),对于一个输入规模为 n 的函数或问题，用某种方法把输入分割成 k(1kn)个子集，从而产生 l 个子问题，分别求解这 l 个问题，得出 l 个问题的子解，再用某种方法把它们组合成原来问题的解。若子问题还相当大，则可以反复使用分治法，直至最后所分得的子问题足够小，以至可以直接求解为止。,分
27、治法的设计思想为:,在利用分治法求解时，所得子问题的类型常常和原问题相同，因而很自然地导致递归求解。,例如:,梵塔问题:Hanoi(n,x,y,z),可递归求解 Hanoi(n-1,x,z,y),将 n 个盘分成两个子集(1至n-1 和 n)，从而产生下列三个子问题：,1)将1至n-1号盘从 x 轴移动至 y 轴；,3)将1至n-1号盘从y轴移动至z轴；,2)将 n号盘从 x 轴移动至 z 轴；,可递归求解 Hanoi(n-1,x,z,y),又如:,遍历二叉树:Traverse(BT),可递归求解 Traverse(LBT),将 n 个结点分成三个子集(根结点、左子树 和右子树)，从而产生下列
28、三个子问题：,1)访问根结点；,3)遍历右子树;,2)遍历左子树；,可递归求解 Traverse(RBT),广义表从结构上可以分解成,广义表=表头+表尾,或者,广义表=子表1+子表2+子表n,因此常利用分治法求解之。算法设计中的关键问题是，如何将 l 个子问题的解组合成原问题的解。,广义表的头尾链表存储表示：,typedef enum ATOM,LIST ElemTag;/ATOM=0:原子,LIST=1:子表typedef struct GLNode ElemTag tag;/标志域 union AtomType atom;/原子结点的数据域 struct struct GLNode*hp,
29、*tp;ptr;*GList,tag=1,hp tp,ptr,表结点,例一 求广义表的深度,例二 复制广义表,例三 创建广义表的存储结构,广义表的深度=Max 子表的深度+1,例一 求广义表的深度,可以直接求解的两种简单情况为：空表的深度=1 原子的深度=0,将广义表分解成 n 个子表，分别(递归)求得每个子表的深度，,int GlistDepth(Glist L)/返回指针L所指的广义表的深度 for(max=0,pp=L;pp;pp=pp-ptr.tp)dep=GlistDepth(pp-ptr.hp);if(dep max)max=dep;return max+1;/GlistDepth
30、,if(!L)return 1;if(L-tag=ATOM)return 0;,1,1,1,L,for(max=0,pp=L;pp;pp=pp-ptr.tp)dep=GlistDepth(pp-ptr.hp);if(dep max)max=dep;,例如:,pp,pp-ptr.hp,pp,pp,pp-ptr.hp,pp-ptr.hp,例二 复制广义表,新的广义表由新的表头和表尾构成。,可以直接求解的两种简单情况为：空表复制求得的新表自然也是空表;原子结点可以直接复制求得。,将广义表分解成表头和表尾两部分，分别(递归)复制求得新的表头和表尾，,若 ls=NIL 则 newls=NIL否则 构造结
31、点 newls,由 表头ls-ptr.hp 复制得 newhp 由 表尾 ls-ptr.tp 复制得 newtp 并使 newls-ptr.hp=newhp,newls-ptr.tp=newtp,复制求广义表的算法描述如下:,Status CopyGList(Glist/CopyGList,分别复制表头和表尾,CopyGList(T-ptr.hp,L-ptr.hp);/复制求得表头T-ptr.hp的一个副本L-ptr.hpCopyGList(T-ptr.tp,L-ptr.tp);/复制求得表尾T-ptr.tp 的一个副本L-ptr.tp,语句 CopyGList(T-ptr.hp,L-ptr.
32、hp);等价于 CopyGList(newhp,L-ptr.tp);T-ptr.hp=newhp;,例三 创建广义表的存储结构,对应广义表的不同定义方法相应地有不同的创建存储结构的算法。,假设以字符串 S=(1,2,n)的形式定义广义表 L，建立相应的存储结构。,由于S中的每个子串i定义 L 的一个子表，从而产生 n 个子问题，即分别由这 n个子串(递归)建立 n 个子表，再组合成一个广义表。,可以直接求解的两种简单情况为：由串()建立的广义表是空表；由单字符建立的子表只是一个原子结点。,如何由子表组合成一个广义表？,首先分析广义表和子表在存储结构中的关系。,先看第一个子表和广义表的关系:,1
33、,L,指向广义表的头指针,指向第一个子表的头指针,再看相邻两个子表之间的关系:,1,1,指向第i+1个子表的头指针,指向第i个子表的头指针,可见，两者之间通过表结点相链接。,若 S=()则 L=NIL；否则，构造第一个表结点*L，并从串S中分解出第一个子串1，对应创建第一个子广义表 L-ptr.hp；若剩余串非空，则构造第二个表结点 L-ptr.tp，并从串S中分解出第二个子串 2，对应创建第二个子广义表；依次类推，直至剩余串为空串止。,void CreateGList(Glist/脱去串S的外层括弧/else,由sub中所含n个子串建立n个子表;,do sever(sub,hsub);/分离
34、出子表串hsub=i if(!StrEmpty(sub)p-ptr.tp=(Glist)malloc(sizeof(GLNode);/建下一个子表的表结点*(p-ptr.tp)p=p-ptr.tp;while(!StrEmpty(sub);p-ptr.tp=NULL;/表尾为空表,创建由串hsub定义的广义表p-ptr.hp;,if(StrLength(hsub)=1)p-ptr.hp=(GList)malloc(sizeof(GLNode);p-ptr.hp-tag=ATOM;p-ptr.hp-atom=hsub;/创建单原子结点else CreateGList(p-ptr.hp,hsub)
35、;/递归建广义表,后置递归的设计思想为:,递归的终结状态是，当前的问题可以直接求解，对原问题而言，则是已走到了求解的最后一步。,链表是可以如此求解的一个典型例子。例如：编写“删除单链表中所有值为x 的数据元素”的算法。,1)单链表是一种顺序结构，必须从第一个结点起，逐个检查每个结点的数据元素；,分析:,2)从另一角度看，链表又是一个递归结构，若 L 是线性链表(a1,a2,an)的头指针，则 L-next是线性链表(a2,an)的头指针。,a1,a2,a3,an,L,例如:,a1,a2,a3,an,L,a1,a2,a3,an,L,已知下列链表,1)“a1=x”，则 L 仍为删除 x 后的链表头
36、指针,2)“a1x”，则余下问题是考虑以 L-next 为头指针的链表,a1,L-next,L-next=p-next,p=L-next,void delete(LinkList/delete,删除广义表中所有元素为x的原子结点,分析:比较广义表和线性表的结构特点：,相似处：都是链表结构。,不同处：1)广义表的数据元素可能还是个 广义表；2)删除时，不仅要删除原子结点，还需要删除相应的表结点。,void Delete_GL(Glist/考察第一个子表 if(head-tag=Atom)&(head-atom=x)/删除原子项 x的情况 else/第一项没有被删除的情况/Delete_GL,p=
37、L;L=L-ptr.tp;/修改指针free(head);/释放原子结点free(p);/释放表结点Delete_GL(L,x);/递归处理剩余表项,1,L,0 x,1,p,L,head,if(head-tag=LIST)/该项为广义表 Delete_GL(head,x);Delete_GL(L-ptr.tp,x);/递归处理剩余表项,1,L,0 a,1,1,head,L-ptr.tp,回溯法是一种“穷举”方法。其基本思想为：,假设问题的解为 n 元组(x1,x2,xn)，其中 xi 取值于集合 Si。n 元组的子组(x1,x2,xi)(in)称为部分解，应满足一定的约束条件。对于已求得的部分
38、解(x1,x2,xi)，若在添加 xi+1Si+1 之后仍然满足约束条件，则得到一个新的部分解(x1,x2,xi+1),之后继续添加 xi+2Si+2 并检查之。,例一、皇后问题求解,设四皇后问题的解为(x1,x2,x3,x4),其中：xi(i=1,2,3,4)Si=1,2,3,4约束条件为：其中任意两个xi 和xj不能位于棋盘的同行、同列及同对角线。,按回溯法的定义，皇后问题求解过程为：解的初始值为空；首先添加 x1=1,之后添加满足条件的 x2=3，由于对所有的 x31,2,3,4都不能找到满足约束条件的部分解(x1,x2,x3),则回溯到部分解(x1),重新添加满足约束条件的x2=4,依
39、次类推。,void Trial(int i,int n)/进入本函数时，在nn棋盘前i-1行已放置了互不攻/击的i-1个棋子。现从第 i 行起继续为后续棋子选择/满足约束条件的位置。当求得(in)的一个合法布局/时，输出之。if(in)输出棋盘的当前布局;else for(j=1;j=n;+j)在第 i 行第 j 列放置一个棋子;if(当前布局合法)Trial(i+1,n);移去第 i 行第 j 列的棋子;/trial,回溯法求解的算法一般形式：,void B(int i,int n)/假设已求得满足约束条件的部分解(x1,.,xi-1)，本函/数从 xi 起继续搜索，直到求得整个解(x1,x
40、2,xn)。if(in)else while(!Empty(Si)从 Si 中取 xi 的一个值 viSi;if(x1,x2,xi)满足约束条件 B(i+1,n);/继续求下一个部分解 从 Si 中删除值 vi;/B,综合几点：1.对于含有递归特性的问题，最好设计递归形式的算法。但也不要单纯追求形式，应在算法设计的分析过程中“就事论事”。例如，在利用分割求解设计算法时，子问题和原问题的性质相同；或者，问题的当前一步解决之后，余下的问题和原问题性质相同，则自然导致递归求解。,2.实现递归函数，目前必须利用“栈”。一个递归函数必定能改写为利用栈实现的非递归函数；反之，一个用栈实现的非递归函数可以改
41、写为递归函数。需要注意的是递归函数递归层次的深度决定所需存储量的大小。,3.分析递归算法的工具是递归树，从递归树上可以得到递归函数的各种相关信息。例如：递归树的深度即为递归函数的递归深度；递归树上的结点数目恰为函数中的主要操作重复进行的次数；若递归树蜕化为单支树或者递归树中含有很多相同的结点，则表明该递归函数不适用。,例如:n=3的梵塔算法中主要操作move的执行次数可以利用下列递归树进行分析:,move(3,a,b,c),move(2,a,c,b),move(2,b,a,c),move(1,a,b,c),move(1,c,a,b),move(1,b,c,a),move(1,a,b,c),上图
42、递归树的中序序列即为圆盘的移动操作序列。,又如:求n!的递归函数的递归树已退化为一个单枝树;而计算斐波那契递归函数的递归树中有很多重复出现的结点。,n,n-1,1,0,。,F5,F4,F3,F3,F2,F2,F1,F1,F0,F1,F0,。,4.递归函数中的尾递归容易消除。例如：先序遍历二叉树可以改写为：void PreOrderTraverse(BiTree T)While(T)Visit(T-data);PreOrderTraverse(T-lchild);T=T-rchild;/PreOrderTraverse,void delete(LinkList,又如:,void delete(L
43、inkList,可改写为,5.可以用递归方程来表述递归函数的 时间性能。例如:假设解n个圆盘的梵塔的执行 时间为T(n)则递归方程为：T(n)=2T(n-1)+C，初始条件为：T(0)=0,1.了解数组的两种存储表示方法，并掌握数组在以行为主的存储结构中的地址计算方法。2.掌握对特殊矩阵进行压缩存储时的下标变换公式。3.了解稀疏矩阵的两类压缩存储方法的特点和适用范围，领会以三元组表示稀疏矩阵时进行矩阵运算采用的处理方法。,4.掌握广义表的结构特点及其存储表示方法，读者可根据自己的习惯熟练掌握任意一种结构的链表，学会对非空广义表进行分解的两种分析方法：即可将一个非空广义表分解为表头和表尾两部分或者分解为n个子表。5.学习利用分治法的算法设计思想编制递归算法的方法。,
