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1、3.1 晶体中的结合力和结合能 3.2 元素和化合物晶体结合的规律性 3.3 弹性应变和晶体中的弹性波,参考：黄昆固体物理学 第2章p49-77 Kittel 8版 第3章 p36-66,第三章 晶体结合,本章介绍原子、分子是以怎样相互作用结合成晶体的。晶体结合的方式与固体的结构以及物理化学性质都有密切关系，因此确定晶体的结合形式也是研究材料性质的基础。,说明：晶体结合力的研究主要考虑价电子行为，更多的是化学问题，这里只作为基础知识，简单介绍一些所涉及物理问题。弹性一节十分重要，既是学习晶格振动理论的必要基础，又对理解晶体力学性质很有帮助。,3.1 晶体的结合力和结合能,晶体结合的一般概念 晶
2、体的弹性性质三.晶体结合的基本类型四.离子晶体的结合能五.分子晶体的结合能,自然界的矿物中绝大多数物质都以晶态存在，说明晶体的能量比构成晶体的粒子处在自由状态时的能量总和要低的多,因此可以给出：,U0是晶体在 0K 时的总能量，EN是N个自由粒子能量之和，因此 Eb是0K时把晶体分解为相距无限远、静止的中性自由原子所需要的能量，称作内聚能（Cohesive energy）或结合能（binding energy)。取EN 0，做能量基点，则有：,一.晶体结合的一般概念,严格计算晶体总能量需要求解复杂的多粒子体系的定态薛定谔方程，这是十分困难的。但我们可以近似把原子对间相互作用能量之和当作晶体的总
3、相互作用能。物质以晶态存在是由于构成固体的原子之间存在着相当大的相互作用力，尽管不同晶体这种结合力的类型和大小不同，但两个粒子之间相互作用力（势）与它们间距离的关系在定性上是相同的。,斥力势,引力势,u(r),r,晶体中粒子的相互作用可以分为2大类：斥力和引力。较大距离上引力为主，很接近时斥力为主，无限远处，相互作用为零，晶态是粒子间斥力、引力处于平衡时的状态。,总相互作用势,结合能,一对粒子之间的相互作用势一般可以表示为引力势和斥力势之和,其中，都是待定的正值（0）系数,可由实验确定。这里第一项为吸引能，第二项为排斥能，若两粒子要稳定结合在一起，则必须满足 n m。,处于稳定态的条件是：,给
4、出平衡位置,平衡时的能量,从上式可以看出晶体有平衡态的条件是：n m 更符合实际斥力势变化规律的表达式为指数形式：,N个原子组成晶体后的总相互作用能，忽略边界的差异，可以近似表示为：,严格说，晶体作为一个封闭系统的内能应包括：a.（上面给出的）晶格相互作用能U(V)，它是体积的函数。b.晶格振动能U(T,V)，T0K 时能量的增加。c.零点能，这是量子效应。d.晶格缺陷能上一章讨论了振动能，本章只考虑晶格能，以后还将考虑：电子气能量，磁自旋波能量等。,正确地给出各种晶体相互作用能的具体表达式是固体理论的任务之一，以此来解释晶体弹性性质是对理论表达式正确与否的最好验证。1.压缩系数 与体弹性模量
5、 K：,由热力学知道：,考虑到：,两式相比较，有：,展开式中的第一项在平衡点为零。,二.晶体的弹性性质,注解：体积弹性模量：按胡克定律，在弹性限度内，物体形变产生的内应力与相对形变成正比，比例系数称弹性模量。由热力学第一定律 dU=TdS pdV，若不考虑热效应，即 TdS=0（实际上只有当T=0K时才严格成立），有,外部压强,一般情况下，晶体受到的只是大气压力P0，上述关系 确定了晶体处于平衡态时的体积。,抗张强度：晶体所能负荷的最大张力叫抗张强度，负荷超过抗张强度时，晶体就会断裂。从两个原子之间的相互作用势看，张力就是两原子间的最大吸引力：,确定出：,因此晶体的抗张强度：,体弹性模量和抗张
6、强度都是可测量，晶体相互作用能的理论表达式和计算结果应该可以解释其数值。,斥力,引力,在固体物理研究的早期阶段，人们曾集中了很大精力去计算晶体的结合能，了解晶体结合能的形式与性质，对晶体进行分类。今天固体物理更多的不是从电子在实空间的分布，而是从电子在倒易空间的情况来分类固体和理解晶体性质，因此研究结合能的重要性只是在于得到晶体的基态能，判断晶体是否稳定。关于原子结合的成键理论是量子化学的研究成果，量子化学和能带论都是在量子力学的基础上发展起来的，但量子化学强调了实空间原子的几何位形、电子的局域化、电子密度的集中和电荷的转移，而能带论则强调了公有化的价电子以及在波矢空间的色散关系。我们依照传统
7、的固体物理对成键理论只做简要介绍，但越来越证明：成键理论和能带论是相互补充的两个概念，量子化学也将成为固体理论的有效组成部分。,参考：顾秉林等固体物理学p184 冯端：凝聚态物理新论p19-21,原子之间的斥力除去同性电荷之间的排斥力以外，主要来源于量子力学的一个基本原理：Pauli 不相容原理，两个电子云的交迭会产生强大的排斥力。虽然可以笼统地说，“固体的内聚力全部归因于电子的负电荷与原子核正电荷之间的静电吸引作用”，但形式上有别：以正负离子间库仑力为结合力来源的离子键；以公用电子对为结合力来源的共价键；以弥散在离子间公有电子为结合力来源的金属键；以范德瓦尔斯力为结合力来源的分子键；以及氢键
8、。以结合力的形式不同可以将晶体分为5类，但多数晶体是两种或多种结合力的混合型，所以分类不可能是严格的，我们只讨论典型晶体。,三.晶体结合力的基本类型,1.离子晶体：离子晶体一般由电负性相差较大的两种元素的原子结合而成。电负性小的原子将其外层价电子转移给电负性大的原子，形成正负离子，正负离子靠库仑相互作用结合起来。典型的正负离子的电子壳层饱和，电子云的分布基本上是球对称，没有方向性和饱和性，因而在形成晶体时满足刚性球密堆积原则，并可作为点电荷来处理。典型的结构有两种：NaCl型（6配位）和 CsCl 型（8配位）。由于正负离子间的相互作用较强，所以离子晶体的结合能一般比较大，熔点较高，强度大，硬
9、度高，但质地较脆。,。,唐有棋化学与社会p73,2.共价晶体：共价晶体是靠共价键结合而成的晶体。典型的共价键晶体有：Si,Ge,金刚石,SiC,ZnS等。原子之间的共价键结合是依靠相邻原子电子云的重叠而形成共用电子对，各原子间的共价键有一定的方向性和饱和性，从而规定了原子间结合的方位和配位数。共价晶体的结构稳定、共价键能由中等到很高的都存在，因此共价键晶体的熔点、硬度和强度由中等到很高都有。成键的电子均束缚在原子之间，不能自由运动，因此共价键晶体不导电。,3.金属晶体：金属晶体由金属原子结合而成。由于金属原子的电负性小，容易失去其价电子而变成正离子，而这些价电子则归整块金属所共有，称为公有化电
10、子。通过公有化电子与带正电的离子实之间的库仑相互作用将这些带正电的离子实结合起来。由于金属原子失去其价电子后，每一个离子实的电子云分布基本上是球对称的，符合球密堆原则，原子的配位数较大，可达 8 到 12。由于金属中存在着大量的自由电子，因而金属具有高的导电性和传热性。金属键没有方向性，因而金属可以接受锻压等加工。,4.分子晶体：构成晶体的结构单元是分子，分子内的原子靠共价键结合，但分子与分子之间依靠Van der Waals力而结合成晶体。如固态的N2,H2,干冰（固态CO2)等都是分子晶体。范德华力是分子偶极矩之间的作用力，也包括非极性分子的瞬时偶极、诱导偶极之间的作用力。Van der
11、Waals结合相当弱，结合能较低，因此这类分子晶体的熔点很低（Kr:117 K；Ar:84 K）。它们的质地软，可以压缩，也不导电。,5.氢键晶体：氢键由氢原子与其他电负性较大的原子（如F、O等）或原子团而形成的。一个氢原子在与一个原子A键合的同时，由于电子对偏向A原子，使得氢原子变成一个带正电的质子，因此，还能与另外一个负电性很强的B 原子相互作用，形成一个附加键，称作氢键。含有这种氢键的化合物就是氢键晶体。例如冰和铁电晶体磷酸二氢钾（KH2PO4）等。氢键晶体的结合能虽比离子晶体和共价晶体要低得多，但其作用仍不可忽略，比如含有氢键物质得熔点和沸点要比没有氢键的同类化合物要高。,以上分类的详
12、细叙述见于固体化学等书，实际晶体往往不是一种纯粹的化学建在起作用，而是包含几种键型。,晶体结合的主要类型,+,+,说明：该表取自朱建国等固体物理学p59 反映了不同键能的相对大小,Kittel固体物理导论8版 p38,39,40,42,55分别收集了周期表中各元素的内聚能、熔点、体积弹性模量、电离能和离子半径的数值，很有参考意义。此外p15 的元素晶体结构表，p16 的元素密度值也都值得我们经常使用。这都是国内教材中不易寻找的资料。,NaCl 晶体中，任意两离子间的相互作用能依照库仑定律可以写作：其中e为电子电荷，同性电荷离子之间相斥，取号；异性电荷离子之间相吸，取号。若晶体中有N个原胞（即N
13、个正离子和N个负离子）组成，那么晶体的互作用能为：,式中同性电荷取正值，异性电荷取负值,取,是两离子间的最短距离，取其做单位。,式中同性电荷取负值异性电荷取正值,四.离子晶体的结合能,令：它们都是只和晶体几何因素有关的常数，其中 称作Madelung常数,于是，有N个原胞的NaCl晶体的相互作用能可以表示为：,其中，是待定系数,但它们之间不是独立的：,晶体处于稳定态时的能量,注意各书定义的差别，,若晶体结构已知，即可以算出马德隆常数，离子间距 r0由衍射实验确定，可以通过测量体弹性模量 K 计算出 n 值。因此利用上述公式可以给出离子晶体结合能理论值。它与实验值的比较见黄昆书p55。比较可知，
14、离子晶体相互作用能（结合能）的理论值与实验值符合得很好，这说明把离子晶体的相互作用看成是由以正负离子为单元，主要依靠离子间的库仑作用而结合是符合实际情况的。,弹性模量 K和斥力系数 n关系的证明：根据定义 令：,所以：,将 代入能量表达式中有：,故,下表引自黄昆书 p55,引自方俊鑫书 p81,参考：Kittel 8版p50-51；黄昆 p55,Madelung常数的计算Evjen中性组合法,选取一个负离子为原点，用中性组合法来计算Madelung常数，可以收到快速收敛的效果。以二维情况为例：,式中同性电荷取负值异性电荷取正值,NaCl结构Madelung常数的计算：参考二维做法，一层一层计算
15、，逐步扩大，收敛很快。,一个晶胞范围内和加倍范围后的数值：,通过分析分子晶体的作用力特点（见Kittel 8版p43，黄昆书p69），可以给出其原子对之间的相互作用势：也可表示为如下形式：后者，通常称作Lennard-Jones 势。两种表达式中系数间的关系是：,或：,惰性气体分子晶体（不包括固体氦）是最简单的分子晶体，上述讨论就从两个惰性气体原子间的相互作用开始.,（只适用于单原子分子）,五.分子晶体的结合能,设晶体中有N个饱和原子或饱和分子，则晶体的互作用能为,设最近邻两饱和原子间的距离为 r0，令 有,其中,均为只与晶体结构有关的常数,由：,可以得到：,很多分子晶体具有面心立方结构，代入
16、相关数据，有：由此看出系数 可以度量原子实相互排斥的半径。将 值带回能量公式，平衡态时的能量值为:,同样代入fcc结构数据，每个原子的平均能量是：,还可以求出体弹性模量：,是可以反映结合能大小的量,对于fcc，将所对应的0、A6和A12代入以上各式可得：，,由气相实验数据可确定 和，再根据以上各式计算出r0、U0和K的理论值，然后再与实验值比较（书p70）。比较可知，Xe的结合能的理论值与实验值符合得相当好，随着原子量的减小，结合能的理论值大于实验值越来越明显，而Ne的偏差最大。这是由于原子的零点振动造成的。D.N.Bernards考虑了零点振动能的修正，Ne、Ar和Kr的结合能将分别减少28
17、、10和6。若考虑了零点振动能的修正，则理论与实验符合得相当好。这表明这个理论对于分子晶体也是相当成功的。注：惰性气体固体除去氦(hcp)外，都是fcc 结构。,以上参考顾秉林书p193-197,摘自黄昆书p70,惰性气体元素的固体结合能,六.共价晶体和金属结合能的计算远比离子晶体结合能的计算要复杂的多，需要许多量子力学知识。上世纪70年代以后发展了局域密度泛函理论，在这个理论基础上对各类半导体和金属材料的结合能、晶格常数、体弹性模量进行了计算，与实验结果符合的很好。这些已经很难在我们课程里做介绍了。,上述两表充分反映了近年来密度泛函理论的发展。其主要贡献者Kohn获1998年Nobel化学奖
18、。引自朱建国等固体物理学（2005）p50,52。,设晶体中有N个饱和原子或饱和分子，则晶体的互作用能为,设最近邻两饱和原子间的距离为 r0，令 有,其中,均为只与晶体结构有关的常数,由：,可以得到：,很多分子晶体具有面心立方结构，代入相关数据，有：由此看出系数 可以度量原子实相互排斥的半径。将 值带回能量公式，平衡态时的能量值为:,同样代入fcc结构数据，每个原子的平均能量是：,还可以求出体弹性模量：,是可以反映结合能大小的量,对于fcc，将所对应的0、A6和A12代入以上各式可得：，,由气相实验数据可确定 和，再根据以上各式计算出r0、U0和K的理论值，然后再与实验值比较（书p70）。比较
19、可知，Xe的结合能的理论值与实验值符合得相当好，随着原子量的减小，结合能的理论值大于实验值越来越明显，而Ne的偏差最大。这是由于原子的零点振动造成的。D.N.Bernards考虑了零点振动能的修正，Ne、Ar和Kr的结合能将分别减少28、10和6。若考虑了零点振动能的修正，则理论与实验符合得相当好。这表明这个理论对于分子晶体也是相当成功的。注：惰性气体固体除去氦(hcp)外，都是fcc 结构。,以上参考顾秉林书p193-197,上述两表充分反映了近年来密度泛函理论的发展。其主要贡献者Kohn获1998年Nobel化学奖。引自朱建国等固体物理学（2005）p50,52。,3.2 元素和化合物晶体
20、结合的规律性 一.结合规律分析：参见黄昆书 2.5 节（p71）,晶体中的原子以那种方式结合，除了受温度、压力等外界条件外，主要取决于组成晶体原子的束缚或得到电子的能力原子的电负性（electronegativity)，它是用来综合标志原子得失电子能力的物理量。其数值见下表，一个普遍的规律是周期表中同一周期的原子电负性从左到右不断加强，周期表由上到下，负电性逐渐减弱。马利肯(Mulliken)定义：原子电负性0.18（电离能电子亲和能）,上面的系数0.18只是为了使Li的电负性为1。电负性有不同定义，除去马利肯的定义外，还有鲍林（Pauling）和菲利蒲（Philips）等定义方式，其数值不尽
21、相同。,引自朱建国一书,电负性数值与前表不尽相同，但规律是一致的,引自Kittel 一书 p42，是电离能数据。,周期表左右两端元素电负性差别大，所以元素最易形成离子化合物，例如NaCl,CsCl 等。随着，族元素之间负电性差别的减小，它们之间的化合物由离子性化合物逐渐过渡到共价性化合物，所以AlP,GaAs,InSb等都具有类似金刚石结构的闪锌矿结构，也是半导体材料。黄昆书中相关数值不够完整，可以参见上面表格。这节内容虽简单，但其知识在材料制备中十分有用。,从中可以看到一些晶体结合的规律：碱金属电负性最低，最易失去电子，所以形成金属。族元素具有较强的电负性，它们束缚电子比较牢固，获得电子的能
22、力也强，最易形成共价键，族元素是典型的共价晶体，它们按C,Si,Ge,Sn,Pb的顺序，电负性不断减弱，金刚石的电负性最大、共价性最强，Pb的电负性最弱，已是金属键结合，中间的Si,Ge是典型的半导体。,二.离子半径：参考Kittel书p54 在晶体生长和材料制备过程中，经常需要寻找替代和参杂原子，选择替代原子不仅要考虑它的价数，还必须考虑离子的尺寸。因此离子半径（自洽半径）是一个重要的物理量。（严格来说，电子的状态要用波函数表示，因而无法用一严格的刚性球的边界来限制，引入半径的概念是为了在讨论和预测原子间距时方便）原子半径主要由核外电子云来决定，当原子形成晶体后，其电子云的分布已经不同于自由
23、原子状态，而且同一原子在不同的晶体结构中会有不同的电子云分布，因此只能分别给出金属半径，共价半径，离子半径，和范德瓦尔斯半径等。X射线衍射可以很准确的测出两个原子之间的距离(105),但无法判定它们各自的半径。金属半径可以定义为两核距离的一半；离子晶体中，正负离子半径一般不相等，通常采用Goldschmidt 和 Pauling 方法定义。,见王矜奉固体物理教程 P74,该表摘自Kittel 书p55,3.3 弹性应变和弹性波在晶体中的传播,一.晶体的弹性应变二.膨胀率、体弹性模量、压缩率三.弹性波在晶体中的传播,晶体的弹性应变：在处理固体的弹性问题时，常忽略固体是离散原子的集合，而当作连续介
24、质处理，在弹性波波长大于106厘米（即频率f1012）的情形，显然这种近似是允许的。以下讨论限于胡克定律适用的范围，即固体应变与应力成正比的范围内。先给出相关定义：固体结构由 6个晶胞参数确定，若发生一个小的均匀形变，可以假定晶体的每个原胞都将以同样的方式发生形变，因此也可以用 6个参数表述固体的形变。,固体形变的背景知识：固体的形变有线度变化和体积变化之分，大多数情况下，体积变化也伴随着形状变化。固体的形变可以由外力引起，也可能是温度所致。形变时固体的原子从初始的平衡位置移到一个新位置，必然会受到原子之间相互作用力的反抗，从而在固体内部产生弹性恢复力，它与作用到物体上的外力相抗衡。弹性形变指
25、引起形变的力消失或停止后，形变立即消失、点阵中的离子可逆地回到初始的平衡位置的情况。应变：固体的形变不能用质点的位移来表示，只能用质点的相对位移来表示，量度的是单位形变，它等于绝对形变与原始值之比，称应变。应力：是指固体受到外力时，内部产生的抵抗形变的弹性回复力。量度是作用到单位面积上的力。应变是无量纲量。,在晶体中应变和应力都应该是一个对称的二级张量：,考虑到因此只有6个独立变量：,在非正交坐标系的情况下，再使用原晶胞参数会带来极大的不方便，所以改用 6 个新的参数 代表伸缩应变；代表切应变。,应力张量也有 6个独立的分量：,胡克定律表明，对于足够小的形变，其应变与应力成正比。其比值称作弹性
26、常数或弹性劲度常量。,在胡克定律成立的条件下，弹性能密度是应变的二次函数，上述36个弹性模量将减少为21个。如果考虑到晶体的对称性，还可以进一步减少。例如立方晶系只需要 3个独立变量即可，见Kittel P59-60证明。对称性最低的三斜晶系则需要21个常数才可描述。7个晶系的弹性模量见方俊鑫书p94。,各向同性介质，只需要 2 个独立参量：前者称杨氏模量Y，后者称切变模量G。,室温下几种立方晶体的绝热弹性模量,部分金属的绝热弹性模量及上表见Kittel 8版 p64,二.膨胀率、体弹性模量、压缩率 与形变相联系的单位体积的变化称为膨胀率。在形变很小时，膨胀率：,均匀膨胀时：可以证明立方晶系的
27、体弹性模量：,三.弹性波在晶体中的传播：见Kittel p61-64 各向同性连续介质中的弹性波：设：表示点 处的弹性位移，其纵向运动方程为：,推导中利用了：,及胡克定律：,其解为：,频率波矢关系称作色散关系，弹性波是线性关系,晶体是各向异性的，弹性模量不是仅用 Y 和 G 所能描绘的，要用张量 来表示，因此方程要复杂的多，不同晶向的传播速度是各不相同的。下面仅以只有 3 个弹性模量的立方晶系为例说明，,传播方向和振动方向都在 方向所以是纵波传播速度。,振动方向在 方向，与传播方向垂直，所以是横波传播速度。,振动方向在 方向，也是横波。两个横波速度相同。,振动方向 纵波传播，,振动方向 横波传播,振动方向 横波传播,振动方向 纵波传播，,振动方向 横波传播，两个速度相同。,声波范围：（弹性波，机械波）可闻声波：16 Hz 2104Hz 次声波：16 Hz 超声波：2104 Hz 其上限取决于介质性质 晶体或液体 1013（相当于红外波段）标准状态下的气体 109,见 Blakemore：Solid State Physics P89,注意：该表数值和按上页表中计算出的体弹性模量数值稍有差别,电磁波波谱图,谢谢！,
