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1、第三节、期权对价格变化的敏感性指标(The“Greeks”)及期权套期保值,一、期权对价格变化的敏感性指标(The“Greeks”)期权价格的敏感性（“Greeks”）是指期权价格决定因素的变动对期权价格的影响程度，即当影响期权价格因素发生一个微小变化时，期权价格的变动程度，或是期权价格对其决定因素变动的反应程度。常用的“Greeks”有：delta(),gamma(),vega(),和 theta()，pho,1、The Delta(),Delta()表示期权标的物价格的变动对期权价格的影响程度。例如一个期权的delta 是 0.5，说明标的物价格上升1$，期权价格上升50 美分。一般地，无
2、收益资产欧式看涨和看跌期权的delta 为：无收益资产欧式看涨期权的delta:0 1，无收益资产欧式看跌期权的delta:-1 0无风险利率水平越高，无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的delta也越高。（根据N(d1)的公式分析）。,1、The Delta(),有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的delta 为：for call option：for put option：期货欧式看涨和看跌期权的delta 为：for call option：for put option：0，期权价格与标的物价格同向变动 0，期权价格与标的物价格反向变动-1 1，期权价格变动小于标的物价格变动,其它资产的de
3、lta,标的资产本身的delta为1债券的delta为0（假设与股票市场无关）股票远期合约的delta：无收益资产与支付已知现金收益资产的delta为1，因为：f=S-Ke-r(T-t)，f=(S-I)-Ke-r(T-t)对于支付已知收益率的资产，其股票远期合约的delta为：e-q(T-t)，因为 f=Se-q(T-t)Ke-r(T-t)对各种期货的delta 无收益资产与支付已知现金收益资产，其期货的delta为e r(T-t)，因为：F=Ser(T-t)，F=(S-I)er(T-t)对于支付已知收益率的资产，其期货的delta为：e(r q）(T-t)因为F=Se(r-q)(T-t),证
4、券组合的delta,Where wi denotes the weight coefficient of the ith asset,and denotes the delta of ith asset.当一个证券组合的delta为0时，我们称之为 delta 中性组合,The geometric interpretation of the partial derivative,Option Price and Delta,2、The Gamma,Gamma()表示当期权标的物价格发生很小变动时，对期权delta变化的影响程度。例如一个期权的 gamma是 0.1，说明标的物价格上升1$，期权
5、的delta上升0.1。一般地，无收益资产欧式看涨和看跌期权的gamma为（long position）：(for call and put options)根据计算公式，平价期权Gamma最大，同时，当有效期很短时（T-t）越小，Gamma越大）,2、The Gamma,有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的Gamma 为：期货欧式看涨和看跌期权的Gamma 为：(for call and put option)其它资产的Gamma 标的资产、债券、远期合约、期货的Gamma 值均为0（根据它们的delta 值求得）当一个证券组合的为Gamma 0时，我们称之为 Gamma中性组合,The cu
6、rvature of the curves in the figures,A positive gamma example Positive Gamma underlying Asset Price A negative gamma exampleNegative Gamma Underlying Asset Price,3、Vega,Vega反映标的物价格的波动性对期权价格的影响程度，即标的资产的价格波动性的微小变化导致期权价格的变化。例如，一个期权vega 是2，则说明当标的资产的价格波动性增加1%，期权的价格增加2美分。一般地，当一个证券组合的vega为 0时，我们称之为 vega 中性
7、组合,Vega的计算,无收益资产欧式看涨和看跌期权的Vega 为有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的Vega为：期货欧式看涨和看跌期权的Vega 为：(for call and put option)当一个证券组合的vega为 0时，我们称之为 vega 中性组合,其它资产的Vega,标的资产本身的Vega为0（认为标的资产与标准差无关）标的资产远期合约的Vega为0 因为各类资产的远期合约价值均与与标准差无关 f=S-Ke-r(T-t)，f=(S-I)-Ke-r(T-t)f=Se-q(T-t)Ke-r(T-t)对各种期货的Vega为0 因为各类资产的期货价值均与与标准差无关：F=Ser(T-t
8、)，F=(S-I)er(T-t)，F=Se(r-q)(T-t）债券的Vega为0 当一个证券组合的vega为0时，我们称之为vega中性组合,4、Rho,Rho反映的是利率变化对期权价格的影响程度。其计算公式为：无收益资产欧式看涨期权的Rho 为无收益资产欧式看跌期权的Rho 为：这两个公式对于支付连续收益率和期货期权同样适用（对N(d2)做适当的调整即可）对应于国外利率的欧式外汇看涨期权的Rho 为：对应于国外利率的欧式外汇看跌期权的Rho 为：,Rho的特点,看涨期权的Rho一般为正，看跌期权的Rho一般为负（说明利率对看涨期权的价格有正的影响，对看跌期权有正负的影响）；Rho与S-X有关
9、，一般越是实值的期权，Rho的绝对值越大，越是虚值的期权，Rho的绝对值越小；Rho与权利期间有关，且同方向变化。一般权利期间越长，Rho的绝对值越大，权利期间越短，Rho的绝对值越小；在到期日，Rho为0。,其它资产的Rho,标的资产本身的Rho为0（认为标的资产与利率无关）标的资产远期合约的Rho为:rho=(T-t)Ke-r(T-t)f=S-Ke-r(T-t)，f=(S-I)-Ke-r(T-t)f=Se-q(T-t)Ke-r(T-t)对各种期货的Rho为：rho=(T-t)F(F=Ser(T-t)，F=(S-I)er(T-t)，F=Se(r-q)(T-t）)当一个证券组合的Rho为 0时
10、，我们称之为 Rho中性组合,二.Greeks 在风险管理中的应用,（1）一般方法组合套利的基本思想是组合的净值必须与风险因子（如标的资产的价格）之间没有敏感性。如果我们的证券组合由三个资产组成，记：V：证券组合的价值；ni：第i个资产的数量 Ai：第i个资产的市场价值 保值的目标是求ni，使得当影响资产价格的因素发生变化时，证券组合的价值不变。即，求n1,n2 and n3，使得当影响资产价格的因素x变化时，证券组合的价值基本不变。一般地，我们可以用n 个资产构成的组合对n-1个风险因子进行套期保值。例如，可以用3个资产构成的组合对股票价格和利率两个风险因子进行套期保值。,（2）Delta套
11、期保值,含义：当一个组合的为0时，称为 套期保值的组合。例如,可以用3个资产构成的组合对股票价格和利率两个风险因子进行套期保值。对于标的资产价格 S的一个微小变化，组合价值基本上为常数的基本条件为：V portfolio S=0 例如，卖出股票的一份看涨期权，假设 S=50,K=50,T=10weeks(time to maturity),=0.5,and r=0.03,则：c(S,K,r)=0.554.问题：你应当购买多少份股票可实现Delta 套期保值?设我们购买ns 股票,因为股票的 是1,对于Delta 套期保值,我们选ns，使得：ns 1+(1)0.554=0这样我们应当购买0.55
12、4份股票.Question:Can we use a bond to Delta-hedge an option?,(3)Gamma 套期保值,含义：当一个组合的为0时，称为 套期保值的组合。例如,3个资产构成的组合，其值为：如果一个组合已经delta-hedged，即S的微小变化，其价值基本上是常数，为什么还需要Gamma-hedge？Example（previous example）1份看涨期权的空头+0.554 份的股票，此组合为Delta hedged.我们看一下股票价格的不同变化对组合的影响。Small change:当S 从 50 to 51,根据 B-S公式，看涨期权空头的价值变
13、化（减少了）为：$5.064-4.492=$0.572,股票的价值则上升了 0.554，总的损失为：0.572-0.554=$0.018,仅是股票价格变化的1.8%.,Example,Large change:当S从50 to 60,根据 B-S公式，看涨期权空头的价值变化（减少了）为：$11.577-4.492=$7.09,股票的价值则上升了 5.54，总的损失为：$7.09-5.54=$1.55,是股票价格变化的15.5%.从上例可以看出，Delta hedging的效果只有在股票价格变化微小时才是好的。在Delta hedging的基础上，再进行Gamma hedging 可以改进hed
14、ging的质量。为此，我们应用Taylor expansion:购买0.554份股票可以帮助我们保值第一项，但不能保值第二项，Gamma hedging 可以保值第二项。当=$10时,第二项为$1.8,它基本上可以弥补$1.55的损失(差异在Taylor expansion 的第三、四项),问题：,1、Can Gamma-hedging alone be more effective than Delta-hedging?2、Can we use a fixed stock position to Gamma-hedge an option?3、Can we use another call
15、option on the same stock but with different strike price of say,K=$55,to Gamma-hedge our written call option(with K=$50)?,（4）Delta和Gamma套期保值的综合运用,设计一个组合，使其既Delta中性又 Gamma中性。Example:应用以上的例子，有一个看涨期权的空头，其=0.554,=0.0361，应用股票和第二个看涨期权（标的物相同，K=55，T=10 weeks），构造一个Delta-和 Gamma-hedged 的组合。根据 Black-Scholes公式,
16、第二个看涨期权的=0.382，=0.0348.假设需要ns 份股票，n2 第二个看涨期权。这样：组合的价值为：V=ns S+n2 C2-C1组合的Delta和Gamma分别为：ns+0.382 n2 0.554=00+0.0348 n2 0.0361=0 解之得：ns=0.158，n2=1.037.,分析,看保值效果如何：V=ns S+n2 C2-C1当S从 50 to 51,组合价值的变化仅为0.1%;当S从 50 to 60,组合价值的变化(increases)为20 cents，大大低于$1.55 的水平（only Delta hedged）问题：Why do we usually ne
17、ed 3 assets to form a portfolio that is both Delta-hedged and Gamma-hedged?In general,we need n assets to form a portfolio that is neutral to small variations of n-1 factors.,5、交易费用与套期保值,为了保证组合处于 中性，要不断调整组合，然而频繁调整组合会增加交易费用。在实际中，常使用 等参数来评估组合的风险，然后根据对 等的预测，来考虑是否有必要对组合进行调整，如果风险对自己有利或可以接受，则不调整，否则，则进行调整。
18、例如，某管理者的5月份投资组合中有股票A，10000股，他准备将股票A的市场风险减少一半，即将股票A的由10000减少为5000（不卖出股票），此时，市场中的有关信息如下表：求使期权交易现金头寸为0的交易策略。,分析,有两种期权可以选择，为降低组合的，可以购买看跌期权；为了降低保值成本，可以出售看涨期权为看跌期权融资。设x,y 分别为看涨期权与看跌期权合约份数，则有：股票的-看涨期权的+看跌期权的=5000 购买看跌期权的费用支出-出售看涨期权的收入=0 10000-0.377x-0.196y=5000 0.5y-1.06x=0 x=6309.0,y=13375.0 即大约需要出售63份看涨期权，购买134份看跌期权。,
