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1、第九章 期权定价,本章内容,第一节 期权价格的特性第二节 期权定价的理论基础第三节 布莱克舒尔斯期权定价模型第四节 二叉树期权定价摸型,第一节 期权价格的特性,期权的内在价值期权的时间价值期权价格的影响因素期权价格的上限期权价格的下限提前执行美式期权的合理性期权价格曲线的形状看涨期权与看跌期权之间的平价关系,期权的内在价值,期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。欧式看涨期权的内在价值为(ST-X)的现值。无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r(T-t),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-
2、D-Xe-r(T-t)。无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于S-D-Xe-r(T-t)。,无收益资产欧式看跌期权的内在价值为X e-r(T-t)-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值为X e-r(T-t)+D-S。无收益资产美式期权的内在价值等于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于X+D-S。当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。,期权的内在价值,期权的时间价值（Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐
3、含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当S=X e-r(T-t)时，期权的时间价值最大。当S-X e-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图13.1所示。,期权的时间价值,期权的时间价值,标的资产的市场价格与期权的协议价格期权的有效期标的资产价格的波动率无风险利率标的资产的收益,期权价格的影响因素,看涨期权价格的上限在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。因此，对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权
4、价格，S代表标的资产价格。,期权价格的上限,看跌期权价格的上限美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格X，因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。,期权价格的上限,无收益资产欧式看涨期权价格的下限为推导出期权价格下限，考虑如下两个组合 组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金；组合B：一单位标的资产。T时刻：组合A 的价值为：而组合B的价值为ST。,期权价格的下限,由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:c
5、+Xe-r(T-t)S 所以 cS-Xe-r(T-t)由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为,期权价格的下限,有收益资产欧式看涨期权价格的下限只要将上述组合A的现金改为+D，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：,期权价格的下限,无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加一单位标的资产 组合D：金额为 的现金在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X）组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：,期权价格的下限,由
6、于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：,期权价格的下限,有收益资产欧式看跌期权价格的下限只要将上述组合D的现金改为+D，就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。,期权价格的下限,提前执行无收益资产美式期权的合理性看涨期权由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此可以直观地判断提前执行是不明智的。为了精确地推导这个结论，考虑如下两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上金额为 的现金 组合B：一单位标的资产T时刻组合A的价值为max（ST，X），而组合B的价值为S
7、T，可见组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。即如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。,提前执行美式期权的合理性,若在 时刻提前执行，则此时组合A的价值为：，而组合B的价值为。由于 因此 即：若提前执行美式期权，组合A的价值将小于组合B。比较两种情况可得：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：C=c 可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：,提前执行美式期权的合理性,看跌期权为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，考察如下两种组合：组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 组合B：金额为 的现金若不
8、提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，组合A的价值大于等于组合B。若在时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为Xe-(T-)，因此组合A的价值也高于组合B。,提前执行美式期权的合理性,因此，是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。由于美式期权可提前执行，因此其下限为：,提前执行美式期权的合理性,提前执行有收益资产美式期权的合理性看涨期权由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，据此可知：在有收益情
9、况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权才有可能最优。先考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行，则期权多方获得Sn-X的收益。如不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。在tn时刻期权的价值（Cn）,提前执行美式期权的合理性,因此，如果 即：则在tn提前执行是不明智的。相反，如果，则在tn提前执行有可能是合理的。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。同样，在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：,提前执行美
10、式期权的合理性,看跌期权由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。通过同样的分析，可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：,提前执行美式期权的合理性,无收益资产看涨期权价格曲线如下图所示。有收益资产看涨期权价格曲线与上图类似，只是把X e-r(T-t)换成X e-r(T-t)+D即可。,期权价格曲线的形状,无收益资产欧式看跌期权价格曲线如下图所示有收益资产期权价格曲线与上图相似，只是把 换为 即可。,期权价格曲线的形状,无收益资产美式看跌期权价格曲线对有收益
11、美式看跌期权价格曲线，只是把X换成D+X。,期权价格曲线的形状,无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金 组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系。它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。如果上式不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使上式成立。,看涨期权与看跌期权之间
12、的平价关系,有收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系在标的资产有收益的情况下，只要把前面组合A中的现金改为+D，就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：,看涨期权与看跌期权之间的平价关系,无收益资产美式看涨期权与看跌期权的平价关系由于Pp，可得：对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此：为了推出C和P更严密的关系，考虑以下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金 组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)，而此时组合A的价值为。因此组合A的价值大于组合B。如果美式期权在时刻提前执行，则在时刻，
13、组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于X。因此组合A的价值也大于组合B。,看涨期权与看跌期权之间的平价关系,也就是说，无论美式组合是否提前执行，组合A的价值都高于组合B，因此在t时刻，组合A的价值也应高于组合B，即：C+XP+S由于c=C，因此，C+XP+S C-PS-X我们可得：由于美式期权可能提前执行，因此不能得到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但可以得出结论：无收益美式期权必须符合上述不等式。,看涨期权与看跌期权之间的平价关系,有收益资产美式看涨期权与看跌期权平价关系只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：S-D-XC-PS-D-Xe-r（T
14、-t）,看涨期权与看跌期权之间的平价关系,第二节 期权定价的理论基础,弱式效率市场假说与马尔可夫过程标准布朗运动普通布朗运动证券价格的变化过程伊藤过程和伊藤引理证券价格自然对数变化过程,弱式效率市场假说与马尔可夫过程,1965年，法玛（EFFama）提出了效率市场假说，该假说认为投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反映全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的，或称随机的，因此效率市场假说又称随机漫步理论。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。效率市场假说提出后，许
15、多学者运用各种数据对此进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。,弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间是否连续，随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程，前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程，后者指变量可以在连续的时间段变化的过程。根据变量取值范围是否连续划分，随机过程可分为离散变量随机过程和连续变量随机过程，前者指变量只能取某些离散值，而后者指变量可以在某一范围内取任意值。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个
16、过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。,弱式效率市场假说与马尔可夫过程,设 代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在 时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两个特征：特征1：和 的关系满足 特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。从特征1可知，本身也具有正态分布特征，其均值为0，标准差为，方差为。从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。,标准布朗运动,考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形。用z(T)z(0)表示变量z在T中的变化量，它可被看作是在N个长度为t 的小的时
17、间间隔中z的变化总量，其中N=T/t，因此：其中i(i=1，2，N）是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，是相互独立的，因此z(T)-z(0)也具有正态分布特征，其均值为0，方差为Nt=T，标准差为。,标准布朗运动,由此可以发现两个特征：在任意长度的时间间隔T中，遵循标准布朗运动的变量的变化值具有均值为0，标准差为 的正态分布。对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。当 0时，就可以得到极限的标准布朗运动：,标准布朗运动,引入两个概念：漂移率、方差率漂移率（Drift Rate）是指单位时间内变量z均值的变化值。方差率（Variance Rate）是指单位时间的方差。
18、标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等于它的当前值。方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间段后，z的方差为1.0T。令漂移率的期望值为a，方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动：,普通布朗运动,普通布朗运动,在短时间后，x值的变化值为：因此，x也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。,证券价格的变化过程可以用普遍布朗运动来描述。但由于投资者关心的是证券价格的变动幅度而不是变动的绝对值，因此可以用证券价格比例的方式来定义证券价格的布朗运动：其
19、中S表示证券价格，表示证券在单位时间内以连续复利计算的预期收益率，表示证券收益率单位时间的方差，表示证券收益率单位时间的标准差，即证券价格的波动率（Volatility），dz遵循标准布朗运动。,证券价格的变化过程,证券价格的变化过程,可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：则可得：衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。相反，证券价格的波动率对于衍生证券的定价则是相当重要的。由于比例变化不具有可加性，因此不能象以前一样推导出在任意时间长度T后证券价格比例变化的标准差为。,普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量X的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，可得到伊藤过程（Ito
20、Process）：其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。伊藤引理。在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：,伊藤过程和伊藤引理,标的资产价格变化：衍生证券的价格是标的证券价格S和时间t的函数。根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：比较上述两式可知：衍生证券价格G和标的证券价格S都受同一个基本的不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。,伊藤过程和伊藤引理,可用伊藤引理来推导证券价格自然对数lnS变化所遵循的随机过程。令，可得出证券价格对数G所遵循的随机过程
21、为：令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻的证券价格，ST表示T时刻的证券价格，则在Tt期间G的变化为：lnST-lnS这意味着：根据正态分布的特性，从上式可以得到：,证券价格自然对数变化过程,这表明ST服从对数正态分布。lnST的标准差与成比例，这说明证券价格对数的不确定性（用标准差表示）。lnST的标准差与未来时间的长度的平方根成正比，这就解决了前面所说的证券价格比例变化的标准差与时间不成正比的问题。根据上式和对数正态分布的特性可知，ST的期望值为：。这与作为预期收益率的定义相符。ST的方差为:,证券价格自然对数变化过程,第三节 布莱克舒尔斯期权定价模型,布莱克舒
22、尔斯微分方程风险中性定价原理布莱克舒尔斯期权定价公式有收益资产的期权定价公式,布莱克舒尔斯微分方程,推导布莱克舒尔斯微分方程需要用到如下假设：证券价格遵循几何布朗过程，即和为常数；允许卖空标的证券；没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；不存在无风险套利机会；证券交易是连续的，价格变动也是连续的；在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。,标的资产价格与衍生证券价格变化过程：构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。用代表该投资组合的价值，则：,布莱克舒尔斯微分方程,布莱克舒尔斯微分方程,在时间后，该投资组合的价值变化为：在没有套利
23、机会的条件下：代入 和，则可得布莱克舒尔斯微分分程：,布莱克舒尔斯微分分程适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。需要注意的是，当S和t变化时，的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔中才是无风险的。在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据 的变化而相应调整标的证券的数量。当然，推导布莱克舒尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心 中的变化。,布莱克舒尔斯微分方程,根据微分方程,取决于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。表明无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。由此，
24、可以利用布莱克舒尔斯微分方程所揭示的这一特性，作出一个可以简化推导工作的简单假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。这就是风险中性定价原理。,风险中性定价原理,在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：对上式右边求值是一种积分过程，结果为：其中，,布莱克舒尔斯期权定价公式,布莱克舒尔斯期权定价公式,例：设某股票在最近3个月没有股利发放，其当前价格为100美元，股票价格的波动率为30%，3个月无风险利率的年利率为8%。求：协议价格为90美元的该股票的欧式看涨期权价格。已知：X=
25、90,S=100,=0.3,r=0.08,T=3/12 将上述数据代入公式，可得:d1=0.9107,d2=0.7607,查标准正态分布的累积分布函数表可得：N(d1)=0.8188,N(d2)=0.7766 根据期权定价可是可得：c=13.37美元,风险中性定价原理,根据欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系,可得:SN(d1)是Asset-or-noting call option的价值,-e-rTXN(d2)是X份cash-or-nothing看涨期权空头的价值。N(d2)是在风险中性世界中期权被执行的概率，或者说ST大于X的概率，Xe-r(T-t)N(d2)是X的风险中性期望值的现值。S
26、N(d1)是得到ST的风险中性期望值的现值。是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值,-e-rTXN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。,有收益资产欧式期权的定价公式 在收益已知情况下，可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当标的证券已知收益的现值为I时，用（SI）代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。,有收益资产的期权定价公式,有收益资产的期权定价公式,有收益资产美式期权的定价 美式看涨期权。当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法
27、是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，若不合理，则按欧式期权处理；若在tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。,有收益资产的期权定价公式,美式看跌期权。由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。,第四节 二叉树期权定价摸型,无收益资产期权的定价有收益资产期权的定价,二叉树期权定价摸型,由于美式看跌期权无法用布莱克舒尔斯期权定价公式进行精确定价，因此要用其它
28、替代方法，如二叉树期权定价模型，该模型是由科克斯（J.Cox）、罗斯(S.Ross)和鲁宾斯坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出的。,无收益资产期权的定价,二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格从开始的S运动到两个新值Su和Sd中的一个，如图13.22所示。其中，u1，d1，且u=1/d T时间内证券价格的变动,无收益资产期权的定价,为了对期权进行定价，二叉树模型也应用风险中性定价原理并假定：所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现来计算现值。,参数p、u和d的确定 参数p、u和d的值必须满足这
29、个要求，即：根据本章第2节的讨论，在一个小时间段内证券价格变化的方差是。根据方差的定义，变量X的方差等于X2的期望值与X期望值平方之差，因此：,无收益资产期权的定价,由上可得：,无收益资产期权的定价,证券价格的树型结构 应用二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如下图所示:图13.23 证券价格的树型结构,无收益资产期权的定价,当时间为0时，证券价格为S。时间为t时，证券价格要么上涨到Su，要么下降到Sd；时间为2 t时，证券价格就有三种可能：Su2、Sud（等于S）和Sd2，以此类推。一般而言，在时刻i t，证券价格有i+1种可能，它们可用符号表示为：。其中j=0，1，2，i,无收益资产
30、期权的定价,倒推定价法 由于在T时刻的期权价值是已知的。所以在二叉树模型中，期权定价从树型结构图的末端T时刻开始，采用倒推法定价。例：S0=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5 months=0.4167;Dt=1 month=0.0833,则可得：u=1.1224;d=0.8909;a=1.0084;p=0.5076据此可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如下图：,无收益资产期权的定价,在时刻，股票在第j个结点（j=0，1，2，i）的价格等于。例如，F结点（i=4，j=1）的股价等于。在最后那些结点处，期权价值等于。例如，G结点的期权价格等于5035.36=14.64。从最后一列
31、结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是时间内期权价值期望值的现值。如E结点处的期权价值等于：而F结点处的期权价值等于：然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在E结点，提前执行将使期权价值为0，所以不应提前执行。而在F结点，如果提前执行，期权价值等于50.0039.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股价到达F结点，就应提前执行。用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为4.48元。,无收益资产期权的定价,美式看跌期权的定价公式 假定期权不被提前执行，则
32、在风险中性条件下：其中j=0，1，2，N 如果考虑提前执行的可能性的话，式中的必须与期权的内在价值比较，由此可得：按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说当每一区间Dt趋于0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成30个就可得到较为理想的结果。,无收益资产期权的定价,支付连续复利收益率资产的期权定价 当标的资产支付连续复利收益率q的收益时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为rq，因此可得：对于股价指数期权来说，q 为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，q为国外无风险利率。对于期货期权来说，布莱克曾证明，在对期货期权定价时期货的价格可以和支付连续
33、红利率r的证券同样对待，因此对于期货期权而言，q=r，即：因此，也就可用于美式期货看跌期权的定价。,有收益资产期权的定价,支付已知收益资产的期权定价 已知红利率。若标的资产在未来某一确定时间将支付已知收益率，只要调整在各个结点上的证券价格就可算出期权价格。调整方法如下：如果时刻i Dt在除权日之前，则结点处证券价格仍为：如果时刻i Dt在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：j=0，1，,i 对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，也可进行同样处理。若i为0时刻到时刻之间所有除权日的红利支付率，则时刻结点的相应的证券价格为：,有收益资产期权的定价,已知红利额。若标的资产在未来某一确定日期将支
34、付已知数额的收益，则除权后树枝将不再重合，这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大，特别是如果支付多次已知数额收益的话。为了简化起见，仍可以把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一个除息日，而且 x时刻不确定部分的价值S*为：当x 时 当x=时,有收益资产期权的定价,其中D表示收益金额。设 为S*的标准差，假设 是常数，这样就可用通常的方法构造出模拟S*的二叉树了。通过把未来收益现值加在每个结点的证券价格上，就会使原来的二叉树转化为另一个模拟S的二叉树。在iDt时刻，当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：j=0，1，2，i 当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：j=0，1，2，i,有收益资产期权的定价,
