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1、,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极值与,最大值最小值,第三章,一、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点,称 为函数的极大值;,(2),则称 为 的极小点,称 为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如(P147例4),为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1(极值第一判别法)
2、,且在空心邻域,内有导数,(自证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放暂停,例1.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,机动 目录 上页 下页 返回 结
3、束,定理3(判别法的推广),则:,数,且,1)当 为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当 为奇数时,为极值点,且,不是极值点.,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,利用 在 点的泰勒公式,可得,例如,例2中,极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理1,定理3 的条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,机
4、动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:显然,且,故函数在,取最小值 0;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例3.求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同,由于,令,(自己练习),在闭区间,上的最大值和最小值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(k 为某一常数),例4.铁路上 AB
5、段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20,AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货,D 点应如何选取?,解:设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故 AD=15 km 时运费最省.,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的
6、选择.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用开始移动,例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作,解:克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,为多少时才可使力,设摩擦系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值.,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,清楚(视角 最大)?,观察者的眼睛1.8 m,例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:设观察者与墙的距离为 x m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者
7、站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,(4)判别法的推广(Th.3),定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,2.连续函数的最值,1.设,则在点 a 处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,机动 目录 上页 下页 返
8、回 结束,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P162 1(1),(5);3;5;13;15,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题 1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,
