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1、,第 2 章,极 限 与 连 续,主 讲：孙 平,教学目的：知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件。了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。,教学重点：1、函数极限（特别是“”、“”型）2、两个重要极限的计算；3、无穷大、无穷小的概念、性质和关系。教学难点：点连续及间断点的判断。,一、主要内容归纳：,（一）函数极限,1、数列极限 按一定规
2、律排列的一串数 称为数列，记为。第n项称为数列的通项。数列可看作是定义在正整数集合上的函数，即（n=1,2,3）,讨论n无限增大时 的变化趋势：,数列极限定义：一数列，若当n无限增大时，无限趋近某个固定常数A，则称当n趋于无穷时，数列 以A为极限。记为,2、函数极限,定义：函数，若当 趋近于时，函数 趋近一个确定的常数A，则称当 趋于时，函数 以A为极限。记为,注意：1、以上是一个符号系统，构成极限定义，缺一不可；2、极限过程x是指 xx0,xx0,xx0,x,x,x中的一种。,3、极限存在的充要条件,例、设函数 求x=0点的左右极限，并判断在x=0点是否存在极限,因为在x=0处左右极限不相等
3、，所以在x=0处极限不存在,解：,4、无穷小量与无穷大量,以零我极限的变量称为无穷小量；绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系是：,无穷小量的重要性质：,无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量,如 当 时，是无穷小量,5、极限的四则运算,对某一极限过程x，若limuA，limvB，则有：1、lim(uv)limulimvAB；2、lim(uv)limulimvAB 若vc(c是常量)，有lim(cu)climucA；3、推论：、limun(limu)n An（n为自然数）、lim（n为自然数）、limCC（C是常数）,两个重要极限推广形式,或,注：这里教材中相应公
4、式原来x的位置，统统被“（）”取代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更广。并给学者提供了想象空间，不具体给出函数形式。,（二）连续与间断,1、点连续,在点连续的这一定义中，以下三个条件要同时满足：、f(x)在点x0的某一邻域有定义；、f(x)在点x0有极限；、f(x)在点x0的极限值等于函数值。,2、间断点 函数的不连续点称为间断点,例：求下列函数的间断点,1、,2、,3、,解：1、x=1（无定义）2、x=0（极限不存在）3、x=0（极限值不等于函数值）,3、利用连续性求极限,由,可知,连续函数极限符号与函数符号可以交换,如,（三）极限的计算方法：,l 极限的四则运算法则；
5、l 两个重要极限；l 函数的连续性。,具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算中出现错误。,例 求下列极限,1、,解：当 时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则,2、,解：当 时分式的分子、分母的极限都为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化,3、,解：当时分式的分子、分母的极限都为0，且分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则,4、,解：先进行恒等变形，在利用第2个重要极限,5、,解：利用第一个重要极限,对照练习1、求下列极限,1、,2、,3、,4、,对照练习1、答案,1、,2、,3、,4、e2,再 见,
