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1、概率论与数理统计,主讲：肖碧海,第一章,概率论的基本概念,第一章主要内容,第一节 样本空间、随机事件,第二节 概率、古典概型,第三节 条件概率、全概率公式,第四节 独立性,现实世界的两类现象：,1、确定性现象,在一定条件下一定会发生的现象.,如：同性电荷相排斥,异性电荷相吸引；在标准大气压下,水温达到100摄氏度必然沸腾,温度为0摄氏度下必然结冰.,2、随机性现象,在一定条件下,试验有多种可能的结果,但事先不能预测是哪一种结果.,在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象。,如：从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿
2、的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。,随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.,随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率论所研究的对象.,则把这一试验称为随机试验，常用E表示。,对随机现象进行的观察或实验称为试验。,（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事 先可以知道试验的所有可能结果。,（3）进行一次试验之前,不能确定会出现 哪一个结果。,若一个试验具有下列三个特点：,（1
3、）在相同条件下可重复进行。,第一节 随机事件、样本空间,1、随机试验,E1:抛一枚硬币,观察正面H和反面T出现的情况.,例如：,E2:掷两颗骰子,出现的点数.,E3:在一批电视机中任意取一台,测试它的寿命.,2、随机事件与样本空间,样本空间：随机试验 E 的所有基本结果组成的集合。记为。,样本空间的元素，即 E 的每一个基本结果，称为样本点。,例1:写出下列随机试验的样本空间。,1）将一枚硬币抛掷二次，观察正 H，反T 出现的情况。,2）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。,3）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。,注：,样本空间是一个有限或无限的点集。,样本空间的元素是由试验的目的所确
4、定。,随机事件（简称事件）：随机试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件。通常用大写字母A，B,表示。,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。,基本事件（或称为样本点）：随机试验中的每一个基本结果也构成一个随机事件。,随机事件中有两个极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件。每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件。,由样本点组成的单点集。,例2:从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：,=0，1，2，3，4，5，6，7，8,引入下列随机事件:,B=取到2件至3件正品=,C=取到2件至5件正品=,D=取到的正品数不少于2且不多于5=,E=取到
5、的正品数至少为4=,F=取到的正品数多于4=,0，1，2，3,2，3,2，3，4，5,2，3，4，5,4，5，6，7，8,5，6，7，8,A=正品件数不超过3=,表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生。,3、事件间的关系及其运算,表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事件B的和（并）事件。,A=A A,事件A1，A2，An 的和记为,或A1 A2 An,表示“A1，A2，An 中至少有一个事件发生”这一事件。,表示事件A与事件B同时发生,称为事件A与事件B的积（交）事件，或记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合。,可列个事
6、件A1,A2,An 的积记为A1 A2 An 或A1A2 An，也可简记为。,在可列无穷的场合，用 表示事件“A1、A2 诸事件同时发生。”,A=A A,事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件。,则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不可能同时发生。,基本事件是两两互不相容的。,A-A=A-=A A-=,则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。事件A的逆事件记为,表示“A不发生”这一事件。,将以上几种关系用图形（文氏图）来表示：,注意：,1）不相容 与对立的区别。,2）弄清每一种关系所代表的概率含义。,A,B,B,A,A,B,B,A,A,B,B,A,对于任意两事件A，
7、B总有如下分解：,例3:将下列事件用A、B、C表示出来。,1）只有C发生。,2）A发生而B与C不发生。,3）三个事件都不发生。,4）三个事件至少有一个不发生。,5）三个事件至少有二个不发生。,7）三个事件多于两个发生。,8）三个事件不少于一个发生。,6）三个事件恰好有二个不发生。,注意：,2）有些运算可借助与文氏图来帮助理解,1）和与积两种关系的关键字：交（同时，都），并（至少）,事件的运算律,（1）交换律：AB=AB，AB=BA,（2）结合律（AB）C=A（BC）,（3）分配律：A（BC）=（AB）（A C）,（AB）C=A（BC）,A（B C）=（AB）（AC）,（4）德摩根律（De Mo
8、rgan）：,（5）,注：4），5）的证明可借助于文氏图来帮助理解。,例4：设事件A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其对立事件。,解 设B=“甲种产品畅销”，C=“乙种产品滞销”，,则 A=BC,=“甲种产品滞销”或“乙种产品畅销”,练习:设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：（1）A发生且B与C至少有一个发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生。,第二节 概率、古典概率,1、频率,定义1:在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，
9、则比值 称为事件A的频率，记为,频率具有下列性质：,(1)对于任一事件A，有,(2),历史上著名的统计学家德摩根，蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.,可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.,定义2:设事件A在n次重复试验中发生了k次,n很大时,频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称这一数值p为事件A发生的概率，记为,定义3：,2、概率的公理化定义,概率的性质：,注：不可能事件的概率为0，但逆命题不一定成立。,性质6可推广到三个事件的情形。例如设A1,A2,
10、A3为任意三个事件，则有,n个事件和的概率为,设Ai=第i封信装入第i个信封 i=1,2,3 A=没有一封信装对地址,某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？,直接计算P(A)不易，我们先来计算,例3（配对问题）,代入计算 的公式中,于是,3、古典概型,定义4：设随机试验 E 满足如下条件:试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验为古典概型，也称为等可能概型。,计算公式：,因为1，2，n是两两互不相容的，故有,1=P()=P(1 n),=P(1)+P(n),又因为每个基本事件发生的可能性相同，即,1=n P(i)
11、,设事件A包含k个基本事件，即 A=i1，i2，ik,则有 P（A）=P（i1 i2 ik）,=P(i1)P(i2)P(ik),=P(i1)P(i2)P(ik),故得事件A的概率计算公式为,例3 袋中有 a 只黑球，b 只白球，现把球一个个摸出（不放回），求第k次摸出的球是黑球的概率。（1 k ab）,10 同色球有区别。,解 设 A=第k次摸出的球是黑球,将ab个球编号区别，摸出的球依次排列在ab个位置，有 种。,（ab）！,将第k个位置放黑球，可从a中任取，其余位置各放一球有 种。,（ab1）！,20 同色球无区别。,例4 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄，求 1）第3个邮
12、筒恰好投入1封信的概率；2）有两个邮筒各有一封信的概率。,解 1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信”,两封信任意投入4个邮筒，共有 种,而事件A的不同投法有,42,2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”,例5 10把钥匙有3把能打开门，今任取2把，求能将 门打开的概率。,解,法一：,设A表示“能将门打开”,因为“取出的两把钥匙能打开门”是“恰有一把钥匙能打开”与“两把钥匙都能打开门”这两个互不相容事件的和事件。,所以A所包含的样本点数为,所以所包含的样本点数为,法二：,例(5)有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,为求P(A),先
13、求P(),例6 设有n个球每个球都以同样的概率 落到N个格子（N n）的每个格子中，试求 1）某指定的n个格子中各有一球的概率。2）任何n个格子中各有1球的概率。,解 设 A=某指定的n个格子中各有一球,B=任何n个格子中各有一球,例7：从0,1,2,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率,例8：(一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?,4、几何概型,若试验具有如下特征:,10 试验的基本事件数为无穷。,20 样本空间 和事件A均能用可度量的区域表示。,30 质点落在区域 内任一点处是等可能的。,例9(约会问
14、题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(tT)后即离去,求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定点是等可能的),例10 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，某乘客到达汽车站的时间是任意的，求该乘客候车时间不超过3分钟的概率。,解 设x表示汽车到站后乘客到站的时刻。,A=该候车时间不超过3分钟,=x|2 x 5,=x|0 x 5,例11 平面上画有等距离为a的一些平行线，向平面上任意投一长为l(la)的针,试求针与平行线相交的概率.,针与平行线相交的充要条件为,练习1 一袋中有N-1只黑球及1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑
15、球，这样继续下去，问第k次摸出黑球的概率。,解 设A表第k次摸出黑球。,练习2 一架电梯开始时有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率。(假定乘客离开的各种可能排列具有相同的概率。),1）某一层有两位乘客离开。,2）没有两位及两位以上乘客在同一层离开。,3）恰有两位乘客在同一 层离开。,4）至少有两位乘客在同一层离开。,第三节 条件概率、全概率公式,1、条件概率的定义,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解:设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的缩减样本空间中计算,例2：掷
16、三颗骰子，已知所得三个点数都不一样，求这三个点数含一点的概率。,法1：设A“所得三个点数都不一样”B“三个点数含一点”,法2：已知A已经发生，则样本空间压缩为只有P63个样本点，此时B所包含的样本点数为3 P52。,(2)在原样本空间中计算,由于,(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品,剩下的产品共19件其中3件次品,从而 P(BA)=3/19,例3：某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品,不放回地从中任取两次,一次取一件.若第一次取到的是次品,问第二次再取到次品的概率是多少?,解：令A=第一次取到次品,B=第二次取到次品,需求P(BA).,设P(A)0,则有 P(AB)=
17、P(A)P(BA)同样,当P(B)0时,有：P(AB)=P(B)P(AB),2、乘法定理,乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:,例4：一批零件只有100个，次品率为10，接近两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回去，求第二次才取得正品的概率。,解：设A=第一次取出的零件是次品 B=第二次取出的零件是正品,由乘法定理：,例3：n个人用摸彩的方法决定谁得一张电影票求1）已知前k-1（k n）个人都没有摸到，求第k 个人摸到的概率。2）求第k 个人摸到的概率。（不放回）,解：1)条件概率：设Ai第i个人摸中 i1,2，k,2)古典概率（按乘法公式计算）,例5：设袋中有a只白球,b只
18、黑球.任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继续,共取了n次,问前n1次取出黑球,后n2=n-n1 次取白球的概率是多少?,3、全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,直观解释：对一个试验，某结果的发生可能有多种原因，每一个原因对这个结果的发生作出一定的“贡献”，这结果发生的可能性与各种原因的“贡献”大小有关。,即某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai),贝叶斯公式,例6：设甲箱中有a个白球
19、，b个红球（a0,b0）乙箱中c个白球，d个红球。从甲箱中任取一球放入乙箱，然后再从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取到的球为白球的概率。,解：B=从乙箱中取到的球为白球 A1=从甲箱中取到的球为白球 A2=从甲箱中取到的球为红球,由全概率公式：,注：每次取球是古典概率,例7：袋中有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币两面都印有国徽），在袋中任取一只，将其投掷r次，已知每次都得到国徽，问这只硬币为正品的概率为多少？,由贝叶斯公式：,解：设B1,B2分别为“正品”，“次品”A为“投掷r次都得到国徽”,说明：已知某些原因，问这些原因导致某种结果的概率利用全概率公式；假如已知试验结果，要找某种原因发生的
20、可能性，即已知信息，问信息来自何方的问题，利用贝叶斯公式。,例 8 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中,i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),则 B=A1B A2B A3B,解:,可求得:,为求P(Ai),设 Hi=飞机被第i人击中,i=1,2,3,将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(
21、A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,练习1：某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?,练习2：对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开动时,机器调
22、整良好的概率为75%.试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?,解:设A=机器调整良好,B=生产的第一件产品为合格品.已知,第四节 独立性,1、事件的独立性,定义7:,定理,P(B|A)P(B),事件A的发生会影响事件B的发生,P(B|A)P(B),事件A的发生不影响事件B的发生,左右两边同乘以P(A)有：P(AB)=P(B|A)P(A)P(B)P(A),定义9:,定义8:,注：10（*）中含有,=P(B)-P(A)P(B),=P(B)1-P(A),20 若n个事件相互独立，则它们一定两两独 立，否则不然。,定理 若事件A与B独立，,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P
23、(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B),注意互斥与独立的区别：,例1 电路由电池A及两个并联的电池B,C串联而成，设电池A,B,C损坏与否是相互独立且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.2，求这电路发生间断的概率。,则所求概率为,例2：假设我们掷两次骰子,并定义事件A=第一次掷得偶数,B=第二次掷得奇数,C=两次都掷得
24、奇数或偶数,证明A,B,C两两独立,但A,B,C不相互独立.,证明：容易算出,例3：甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率.,例4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：,所求为 P(A1 A2 A3),记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,P(A1 A2 A3),1-(1-p)2n,思路：按对立事件求。1-(1-pn)2,2.贝努里试验模型,定义10:,定理1
25、:,例6:一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有一张“A”的概率。,解:设A=任取的13张牌中至少一张“A”，并设Ai=任 取的13张牌中恰有 i 张“A”，i=1，2，3，4则,例7:设在 N 件产品中有 M 件次品，现进行 n 次有放回的检查抽样，试求抽得 k 件次品的概率。,解：由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是相同条件下的重复进行，故符合n重贝努里试验的条件，令A表示和“抽到一次次品”的事件，则 P(A)=p=M/N,以 Pn(k)表示 n 次有放回抽样中，有k 次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知,例8:设某个车间共有5台车床，每台车床使用电力是间歇性的，平均起来每小时约有6分钟使用电力，假设车工们工作是相互独立的，求在同一时刻（1）恰有两台车床被使用的概率（2）至少有三台车床被使用的概率（3）至多有三台车床被使用的概率（4）至少有一台车床被使用的概率,解：A表示“使用电力”即是车床被使用，有,例9:一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有四个 选择答案，且其中只有一个答案是正确的，某同学投机取巧，随意填空，试问他答对6道题的概率。,解：设B=“至少他答对6道题”，,P(A)=1/4,故作10道题就是n重贝努里试验，,n10，,所求概率为：,
