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1、第三章 条件平差,3.2 条件方程,内容安排,一、高程控制网条件方程的列立二、导线网条件方程的列立三、测角网条件方程的列立四、测边网条件方程的列立,3.2 条件方程,四、测边网条件方程的列立,1、条件方程个数的确定,和测角网一样，在测边网中也可分解为三角形、大地四边形和中点多边形三种基本图形。,(1)对于测边三角形，决定其形状和大小的必要观测为三条边长。所以t=3，此时r=n-t=0，即测边三角形不存在条件方程。,(2)对于测边四边形，决定第一个三角形必须观测3条边长，决定第二个三角形只需再增加2条边长，所以确定一个四边形的图形，必须观测5条边长，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在一个
2、条件方程。,(3)对于中点多边形，例如中点五边形，它由五个独立三角形组成，此时t=3+2*3=9，故有r=n-t=10-9=1。,测边网中的中点多边形与大地四边形个数之和，即为该网条件方程的总数。,四、测边网条件方程的列立,2、条件方程的列立,图形条件的列出，可以用角度闭合法、边长闭合法和面积闭合法等，本节仅介绍角度闭合法。,测边网的图形条件按角度闭合法列出，其基本思想是：利用观测边长求出网中的内角，列出角度间应满足的条件，然后，以边长改正数代换角度改正数，得到以边长改正数表示的图形条件。,2、条件方程的列立,例如，图1的测边四边形中，由观测边长Si（i=1,2,36）精确地算出角值j（j=1
3、,2,3），此时，平差值条件方程为,以角度改正数表示的图形条件为,（*）,同样，图2中的测边中点三边形中，以角度改正数表示的图形条件为：,（*）,上述条件中的角度改正数必须代换成观测值（边长）的改正数，才是图形条件的最终形式。为此，必须找出边长改正数和角度改正数之间的关系式。,2、条件方程的列立,2、条件方程的列立,下面（以图3为例）给出角度改正数与边长改正数之间的关系式。,将上式中的微分换成相应的改正数，同时考虑到式中dA的单位是弧度，而角度改正数是以(”)为单位，故上式可写成：,这就是角度改正数与三个边长改正数之间的关系式，以后称该式为角度改正数方程。,2、条件方程的列立,括号中角A的对边
4、改正数 的系数为+1，,VA式的右端的括号外为；,角A的两个邻边改正数 和 的系数都是该边邻角的负余弦。,上式有如下规律：,2、条件方程的列立,2、条件方程的列立,可以得出图1中角1、2及3改正数与各边改正数之间的关系式,h1、h2及h3分别是从A点向i（i=1,2,3）角对边所作的高。,（*）,将上列三式代入*式，即得四边形的以边长改正数表示的图形条件：,2、条件方程的列立,1、以A为端点的三条边S1、S2及S3，其改正数vs1、vs2及vs3的系数都由两项组成。外边改正数vs1的系数是3所在三角形（ABD）中ABD的余弦除以其高h3，减去1所在三角形（ABC）中ABC的余弦除以其高h1；,
5、外边改正数vs3的系数有同样规律，即3所在三角形（ABD）中ADB的余弦除以其高h3，减去2所在三角形（ACD）中ADC的余弦除以其高h2；而中间边改正数vs2的系数为1、2所在的两个三角形ABC及ACD中的C角（即ACB及ACD）的余弦除以其高之和的反号。,2、其余三条边S4、S5及S6的改正数之系数，分别是A点到该边高h3、h1及h2的倒数，其中vs4的系数取负号，而vs5及vs6的系数取正号。,注意:如果图形中出现已知边时，在条件方程中，要把该边的改正数项舍去。,3、各边改正数的系数均乘以”值。,2、条件方程的列立,对于图2中的中点三边形来说，1、2及3的改正数与各边改正数的关系式为,中
6、点三边形的图形条件,上式有如下规律：1、中点三边形外周边长改正数vs1、vs2及vs3的系数，为该边高h3、h1及h2的倒数。2、中点三边形中间各边改正数vs4、vs5及vs6的系数，为该边相邻两周角余弦除以所在三角形外周边的高之和，并反号。3、各改正数的系数均乘以”值。,对于图4的中点五边形来说，它的图形条件为：,式中hi为自中点F向外周边Si所作的高。,在具体计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为cm，高h的单位为km，”取2.063，而闭合差w的单位为秒。由观测边长计算系数中的角值（如图），可按余弦定理或下式计算,例:如图315所示测边网中，有2个已知点A、B，2个待定点
7、C、D和5个边长观测植。A点和B点的坐标、边长观测值见表34。试按条件平差法计算：各待定点坐标平差值；C点坐标平差值的点位中误差；C点至D点间边长平差值的中误差和边长相对中误差；C点至D点间方位角平差值的中误差。,解 本题中n=5，t=4，r=1。1)条件方程和平差值函数式(1)1个条件方程，即1个图形条件（以B点为角顶点）如下,其线性形式为,其中,(2)平差值函数式和权函数式，如下,C点Y坐标平差值的函数式为,C点至D点间边长平差值的函数式为,C点至D点间方位角平差值的函数式为,权函数式为,权函数式为,权函数式为,C点X坐标平差值的函数式为,权函数式为,2)权的确定 取各边长为等权观测值，权均为1，各观测边长间两两独立，协因数阵为单位阵，即,由此组成法方程为,3)解算法方程,4)改正数利用改正数方程求得,5)平差值计算平差值，并代入平差值条件式检核,经检验满足所有条件方程,由条件方程知系数阵为,6)待定点坐标平差值,7)单位权中误差,8)C点坐标平差值的点位中误差,9)C点至D点间边长平差值的中误差和边长相对中误差,10)C点至D点问方位角平差值的中误差,
