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1、第二章 控制系统的状态空间描述(复习),2.1 状态空间分析法2.2 由系统框图导出状态空间描述2.3 由系统机理导出状态空间描述2.4 由输入输出描述导出状态空间描述及其几种标准形式 2.5 离散时间线性系统的状态空间描述2.6 线性定常系统的特征结构2.7 由状态空间描述求传递函数2.8 状态矢量的线性变换2.9 组合系统的状态空间描述,第三章 线性系统的运动分析,3.1 状态方程的齐次解3.2 状态转移矩阵3.3 线性系统的运动分析3.4 连续系统的时间离散化3.5 线性离散系统的运动分析,概 述建立了系统的数学描述之后，接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给
2、定输入信号的响应问题，也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质，如能控性、能观性、稳定性等。本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题，即状态空间模型-状态方程和输出方程的求解问题。根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组，通常是很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。状态转移矩阵的引入，从而使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。,所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用，满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程
3、就是指状态方程中输入项的作用，状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。,3.1状态方程的齐次解,齐次状态方程：,，控制输入为零。,(1)若A为标量有：,初始时刻 t0=0,则,(2)若A为方阵，,证明略,3.2 状态转移矩阵,意义：说明齐次方程的解仅是初始状态的转移。,称为矩阵指数函数，简称矩阵指数,又称为状态转移矩阵，记为：求解齐次状态方程的问题，核心就是计算状态转移矩阵的问题。,状态转移矩阵的性质,状态转移矩阵 具有如下运算性质：,1),2),3),4),表明 与 可交换，且,在式 3）中，令 便可证明；表明 可分解为 的乘积，且 是可交换的
4、。,证明:由性质3）有,根据 的这一性质，,对于线性定常系统，显然有,5),证明：由于,则,即由,转移至,的状态转移矩阵为,6),证明：由,和,得到,7),8)若,，则,证明：,例 已知状态转移矩阵为,，试求,。,解：根据状态转移矩阵的运算性质有,9)若,，则,则有：,几个特殊矩阵指数,(1)若A为对角矩阵,证:,由 定义知,则有：,则有：,矩阵指数(状态转移矩阵)的计算,(1)定义法：,按照定义直接计算，适合于计算机实现,(2)拉氏变换法：,有：,例 用Laplace 变换法计算矩阵指数：,解：,则有：,(3)标准型法：,解:1)特征值,例 已知矩阵,试计算矩阵指数,2)计算特征向量：,3)
5、构造变换阵P：,则有：,设 具有 个重特征值 则有,解:1)计算特征向量和广义特征向量。,例 已知矩阵,试计算矩阵指数,得：,2)计算矩阵指数：,(4)化有限项法,根据：,根据凯莱-哈密顿定理,表明：是、的线性组合,不断地进行下去，可以看出：,、都是、的线性组合,其中，为待定系数。的计算方法为：,1)特征根两两互异：,2)有 个重特征值,两端对 求1至 阶导数得：,解方程组可求得,例 已知系统,试用化有限的方法求矩阵 的矩阵指数,解：矩阵 的特征方程为：,特征值,对于 有,对于 有,因为-1是重根，故需补充方程：,从而可联立求得：,3.3 线性系统的运动分析,非齐次状态方程的解=自由运动+强迫
6、运动。,第一个部分是由初始状态所引起的自由运动，它是系统的初始状态对系统状态的转移的影响，与初始时刻后的输入无关，称为状态的零输入响应。第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动，它与输入有关，与系统的初始状态无关，称为状态的零状态响应。,线性时不变系统状态方程的解,单位脉冲输入信号作用下，系统的状态解,例 设系统状态方程为,且,试求在,作用下状态方程的解。,解 由于,前面已求得,特征值对状态响应的影响 状态响应的运动模式主要由特征值所决定。对实数特征值，运动模式为指数函数形式；对共轭复数特征值，运动模式为指数正余弦函数形式。若特征值具有负实部，则运动模式随时间单调的或震荡的衰减至稳态过程；若特征
7、值具有正实部，则运动模式随时间单调的或震荡的扩散到无穷大而不能到达稳态。因此，特征值对系统运动行为具有主导性作用。特征向量对状态响应的影响 状态响应可看成是各个特征值相应运动模式的一个线性组合，特征向量的影响体现于对不同运动模式的“权重”上。特征向量对状态响应的影响本质上属于“量”而非“质”的范畴，即只能影响各个运动模式在组合中的比重，一般不影响各个运动模式本身。,3.4 连续系统的时间离散化,离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。整个系统工作于单一的离散状态。对于这种系统，其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量，如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等。系统工作在连续和离散两种状态的
8、混合状态。对于这种系统，其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量，又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。,对于第2种情况的系统，其状态方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程组。为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法，要求整个系统统一用离散状态方程来描述。由此，提出了连续系统的离散化问题。,为使连续系统的离散化过程是一个等价变换，必须满足如下条件和假设。在离散化之后，系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。保持器为零阶的，即加到系统输入端的u(t)在采样周期内不变，且等于前一采样时刻的瞬时值,故有u(t)=u(kT)kTt(
9、k+1)T采样周期T的选择满足香农采样定理，即采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。,精确法,近似离散化,例 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程:,解 由近似离散化法计算公式，对本例有,于是该连续系统的离散化状态方程为,精确法的计算结果为,对上述近似离散化法的精度可检验如下:当T=1s时，,近似法的计算结果为,近似法的计算结果为,当T=0.001s时，精确法的计算结果为,从上述计算结果可知，近似离散法只适用于较小的采样周期。将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似，因此近似离散化方法其实
10、是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。由上述推导过程可知，一般说来,采样周期T越小，则离散化精度越高。但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜太小。,3.5 线性离散系统的运动分析,3.5.1 递推法,用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)时，只需在状态方程中依次令k=0,1,2,从而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0)x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1),Z变换法,试求系统状态在输入u(k)=1时的响应。,解 1.用递推法求解。分别令k=1,2,3,则由状态方程有,类似地,可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。,2.用Z变换法求解。先计算(zI-G)-1,由Z变换,有u(k)=1 U(z)=z/(z-1)因此,有X(z)=(zI-G)-1zx(0)+HU(z),令k=0,1,2,3代入上式,可得,
