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1、2023/7/20,1,现代数学概览,鲁东大学,2023/7/20,2,2023/7/20,3,现代数学的涵义,现代数学一词由两部分组成，即现代“与“数学”，要理解现代数学必须从这两个词入手。,2023/7/20,4,“数学”的涵义恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。“因而，数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的学科。现代数学中“现代”的理解 数学家陈省身所说：“康托尔建立集合论独具新意，高瞻远瞩，为数学立了就厘时微。,现代数学的涵义,2023/7/20,5,2023/7/20,6,现代数学的形成,现代数学最主要的成就就在于发现了什么是真正的数学 罗素数学史大致可以分为
2、四个质不 同的时期 精确地区分这些阶段是不可能的，因为每一个 阶段的本质特征都是在前一阶段中酝酿形成的 第 一个时期 数学形成时期 这是人类建立最基本数学概 念的时期 人类从数数开始 逐渐建立了 自然数的概念，简单 的计算法，并认识了最简单 的几何形式，逐步地形成 了理论与证 明 之间的逻辑关系 的“纯粹”数学 算术与几何还没有分开，彼此紧密地交织着,2023/7/20,7,第二个时期称为初等数学，即常量数学的时期 这个时期 的最基本 的、最简单 的成果构 成现在中学数学的主要 内容 它从公元前 5 世纪开始，也许更早一些，直到 17 世纪，大约持续 了两千年，逐渐形成 了初等数学的主要分支：
3、算术、几何、代数、三角,现代数学的形成,2023/7/20,8,第三个时期是变量数学的时期这时，对运动的研究变成 了 自然科学 的中 心问题 实践 的需要 和各 门科学本身 的发展使 自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着 的量 之间 的依赖关系的研究数学对象 的这种根本扩展决定 了数学向新 的阶段，即向 变量数 学时期 的过渡恩格斯指出：“数学中的转折点是 笛卡儿的变数 有 了变数，运动进入 了数 学，有 了变数，辩证 法进入 了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”,现代数学的形成,2023/7/20,9,第四个时期 为现代数学时期19 世纪初，数学发生 了质的变化
4、,开始了从变量的数学向现代数学过渡数学 的抽象程度进入更高 的阶段 数学常常被看作逻辑过程，并不 与哪个特别 的事物相关 这就引 出了 2O 世纪罗素的数学定义：数 学可以定义为这样一 门学科：我们不知道其 中我们说 的是什么，也 不知 道我们说 的是否 正确,现代数学的形成,2023/7/20,10,2023/7/20,11,现代数学的三个时期,现代数学的酝酿时期(19世纪中叶,1820-1870)现代数学的形成时期(19世纪末至20世纪上半叶,1870-1940)现代数学的繁荣时期(20世纪下半叶至今,1950-),2023/7/20,12,现代数学的现状-众多分支,图书分类法:中图分类,
5、中科图分类,MR.AMS分类,他国分类等.教育分类法:国务院学位委员会.研究生教育工作办制订的学科专业目录中,数学作为一个一级学科,下属的5个二级学科为基础数学,应用数学,概率统计,计算数学,运筹学与控制论.科研分类法:国家自然科学基金委员会制订的学科目录中,数学作为一个一级学科,下属的3个二级学科为0101 基础数学,0102 应用数学,0103 计算数学与科学工程计算.他们又分别有下属的3级学科,合计为:11+6+6=23个,2023/7/20,13,0101 基础数学(他的11个3级学科开列如下,他的81个4级学科分布如下)010101数论 又含6个四级学科 010102代数学 14 0
6、10103几何学 9 010104拓扑学 6 010105函数论 7 010106泛函分析 6 010107常微分方程 8 010108偏微分方程 6 010109数学物理 5 010110概率论 9 010111数理逻辑与数学基础 5,现代数学的现状-众多分支,2023/7/20,14,0102 应用数学(他的6个3级学科开列如下,他的46个四级学科分布如下)010201数理统计 又含11个四级学科 010202运筹学 11 010203控制论 9 010204若干交叉学科 5（信息论，经济数学，生物数学，不确定性理论，分形）010205计算机的数学基础 5（可解性与可计算性，机器证明，计算
7、复杂性,VLSI的数学基础，计算机网络与并行计算）010206组合数学 6,现代数学的现状-众多分支,2023/7/20,15,0103计算数学与科学工程计算(他的6个三级学科和30个四级学科分布如下)010301偏微分方程数值计算 又含7个四级学科 010302常微分方程数值解法 4 010303数值代数 5 010304函数逼近 5 010305计算几何 5 010306新型算法 4由上所列，可以说数学科学按科研分类，共有3个二级学科，23=11+6+6个三级学科，157=81+46+30个四级学科（分支）.,现代数学的现状-众多分支,2023/7/20,16,科学知识的增长是非线性的过程
8、在19世纪变革与积累的基础上，20世纪数学呈现出指数式的飞速发展现代数学不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系，并且仍在继续急剧地变化发展之中大体说来，数学核心领域(即核心数学，也称纯粹数学)的扩张，数学的空前广泛的应用，以及计算机与数学的相互影响，形成了现代数学研究活动的三大方面,现代数学的特点、现状,2023/7/20,17,现代数学的特点,高度的抽象与统一是现代数学的显著特点.交叉渗透性（不仅内部各分支相互交叉渗透，而且向多学科交叉渗透）.电子计算机正在改变着现代数学的面貌.数学与理论计算机科学的不可分割.数学哲学(数学基础)真理的积极探索.(正确
9、对待所谓的第三次数学危机).,2023/7/20,18,2023/7/20,19,1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为数学问题的著名讲演他的讲演是这样开始的：,希尔伯特,“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果?”,希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解，而整个演说的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题.,现代数学的发展趋势,20
10、23/7/20,20,以下是希尔伯特的数学问题及解决简况：,1连续统假设自然数(可数)集基数 与实数集(连续统)基数 之间不存在中间基数,1963年，美国数学家科恩(P.Cohen)证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛弗兰克尔公理系统内判别,2算术公理的相容性,1931年，哥德尔(K.Godel)证明了希尔伯特关于算术公理相容性的“元数学”纲领不可能实现相容性问题至今未决,1900年德恩(M.Dehn)证明了确实存在着等底等高却不剖分相等，甚至也不拼补相等的四面体第三问题成为最先获解的希尔伯特问题,3两等底等高四面体体积之相等,4直线为两点间的最短距离问题提得过于一般,现代数学的发展趋势,2
11、023/7/20,21,格利森()、蒙哥马利(D.Montgomery)、席平(L.Zippin)等于1952年对此问题给出了肯定解答,5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念,在量子力学、热力学等部门，公理化已取得很大成功至于概率论公理化已由科尔莫戈罗夫等建立(1933),6物理公理的数学处理,1934年，盖尔丰德(fand)和施奈德(T.Schneider)各自独立地解决了问题的后半部分即对于任意代数 数和任意代数无理数 证明了 的超越性,7某些数的无理性与超越性,包括黎曼猜想，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，均未解决,8素数问题,现代数学的发展趋势,2023/7/20,22,已由高木贞治(1
12、921)和阿廷(EArtin，1927)解决,9任意数域中最一般的互反律之证明,1970年，马蒂雅舍维奇证明了，不存在判定任一给定丢番图方程有无整数解的一般算法,10丢番图方程可解性判别,哈塞(HHasse，1929)和西格尔(CL.Siegel，1936，1951)在此问题上获得重要结果,11系数为任意代数数的二次型,尚未解决,12阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广,现代数学的发展趋势,2023/7/20,23,连续函数情形1957年已由阿诺(B.H.Arnold)解决,13不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程,1958年被永田雅宜否定解决,14证明某类完全函数系的有限性
13、,代数几何的严格基础已由范德瓦尔登(B.L.Van der Waerden，19381940)和魏依(A.Weil，1950)建立，但舒伯特演算的合理性尚待解决,15舒伯特计数演算的严格基础,有很多重要结果,16代数曲线与曲面的拓扑,已由阿廷于1926年解决,17正定形式的平方表示,现代数学的发展趋势,2023/7/20,24,部分解决,18由全等多面体构造空间,1904年伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆型方程其解必定解析该结果后又被推广到多变元椭圆组,19正则变分问题的解是否一定解析,成果丰富,20一般边值问题,长期以来人们一直认为普莱梅依(J.Plemelj)1908年已对此问题作出
14、肯定解答但八十年后发现普莱梅依的证明有漏洞1989年前苏联数学家AA鲍里布鲁克关于此问题举出了反例，使第二十一问题最终被否定解决,21具有给定单值群的微分方程的存在性,现代数学的发展趋势,2023/7/20,25,一个变数情形已由寇贝(P.Koebe)解决,22解析关系的单值化,23变分问题的进一步发展,我们看到，希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决有些问题虽未最后解决，但也取得了重要进展希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列数学分支的发展，有些问题的研究(如第二问题和第十问
15、题)还促进了现代计算机理论的成长,现代数学的发展趋势,2023/7/20,26,更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一这种趋势，最初主要是受到了两大因素的推动，即集合论观点的渗透和公理化方法的运用,(1)集合论观点19世纪末由G康托尔所创立的集合论，最初遭到许多数学家(包括克罗内克、克莱因和庞加莱等)的反对，但到20世纪初，这一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，在弗雷歇(MFrechet)等人的著作(关于泛函演算若干问题，1906)中不是数集或点集，而可以是任意性质的元素集合，如函数的集合，曲线的集合等等这就使集合论能够作为一种普遍的语言而进入数学的不同领域
16、，同时引起了数学中基本概念(如积分、函数、空间等等)的深刻变革,现代数学的发展趋势-更高的抽象化,2023/7/20,27,(2)公理化方法H外尔(Weyl)曾说过：“20世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长，公理化方法仅仅用来阐明我们所建立的理论的基础，而现在它却成为具体数学研究的工具”,现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特我们已经知道，虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的几何知识，但他的公理系统是不完备的希尔伯特在1899年发表的几何基础中则提出第一个完备的公理系统与以往相比，希尔伯特公理化方法具有两个本质的飞跃,现代数学的发展趋势-更高的抽象化,2023/7/20
17、,28,首先是希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象。,欧几里得几何对所讨论的几何对象(点、线、面等)都给以描述性定义，而希尔伯特发现点、线、面的具体定义本身在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是由于它们与所选择的公理的关系,现代数学的发展趋势-更高的抽象化,2023/7/20,29,因此希尔伯特的公理体系虽然也是从“点、线、面”这些术语开始，但它们都是纯粹抽象的对象，没有特定的具体内容正如希尔伯特本人曾形象地解释的那样：不论是管这些对象叫点、线、面，还是叫桌子、椅子、啤酒杯，它们都可以成为这样的几何对象，对于它们而言，公理所表述的关系都成立这就赋予了公理系统的最大的一般性，当赋予
18、这些抽象对象以具体内容时，就形成各种特殊的理论,现代数学的发展趋势-更高的抽象化,2023/7/20,30,其次，希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，即：相容性，独立性，完备性,由于上述的特点，希尔伯特的公理化方法不仅使几何学具备了严密的逻辑基础，而且逐步渗透到数学的其他领域，成为组织、综合数学知识并推动具体数学研究的强有力的工具,现代数学的发展趋势-更高的抽象化,2023/7/20,31,集合论观点与公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路这方面的发展，导致了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛兴这四大分支所创造的抽象语言、结构及方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数论及概率论等经典学科，推动它们在抽象的基础上革新提高、演化发展,现代数学的发展趋势-更高的抽象化,2023/7/20,32,中国现代数学的发展,现代数学的发展趋势,2023/7/20,33,
