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1、,第一章 矢量分析,简要介绍矢量分析和场论基础。散度、旋度和梯度的基本概念；算符运算公式；散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。,1.1 矢量代数运算1.2 场论-梯度、散度和旋度1.3 矢量微分算子1.4 矢量积分定理1.5*并矢及其运算规则1.6*正交曲线坐标系,主要内容,一、矢量与矢量场,1、矢量及表示,2、标量场与矢量场,矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.,1.1 矢量代数运算,标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变
2、化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场等,二、矢量代数,2.点乘（标量积、投影积）-对应分量相乘的和,3.叉乘（矢量积）行列式展开,1、矢量和,4、矢量代数公式,（1）（2）（3）（4）,1、直角坐标系（x,y,z）,方向单位矢量：,矢量表示：,位置矢量：,三、常用坐标系,方向单位矢量：,矢量表示：,位置矢量：,2、圆柱坐标系(),方向单位矢量：,矢量表示：,位置矢量：,3、球面坐标系(),圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系,4、坐标变换,一、标量场的梯度,1.等值面（线）,由所有场值相等的点所构成的面，即为等值
3、面。即若标量函数为，则等值面方程为：,1.2 场论梯度、散度和旋度,式中：为垂直于等值面（线）的方向。,3、梯度的物理意义,1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；,2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。,2、梯度的定义,1）在直角坐标系中：,2）在柱面坐标系中：,3）在球面坐标系中：,4、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式,1、矢量线（力线）,2、矢量场的通量,矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；,若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：,为矢量 沿有向曲面S 的通量。,二、
4、矢量场的通量 散度,矢量场的通量,物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。,讨论：1）面元 定义；,2）,3)通过闭合面S的通量的物理意义：,a)若，闭合面内有产生矢量线的正源；,b)若，闭合面内有吸收矢量线的负源；,c)若，闭合面无源。,若S为闭合曲面,在场 空间中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：,3、矢量场的散度的定义,1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；,2)矢量场的散度是一个标量；,3)矢量场的散度是空间坐标的函数；,4、散度的物理意义,(无源）,(正源),负源),4)矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。,讨论：在矢量场中
5、，,1）若，则该矢量场称为有源场，为源密度；,2）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。,1)在直角坐标系下：,5、散度的计算,已知矢量，求 穿过一个球心在原点，半径为a的球面的通量和散度。,【例题1.2.1】,已知,求：矢量,在R0处的散度。,【例题1.2.2】*,1、矢量的环流,环流的定义：,在场矢量 空间中，取一有向闭合路径l，则称 沿l积分的结果称为矢量 沿l的环流。即：,讨论：1）线元矢量 的定义；,3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动,2),反映矢量场漩涡源分布情况。,三、矢量场的环流 旋度,在场矢量 空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲
6、线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义 在点M处沿 方向的环量面密度,表示矢量场 在点M处沿 方向的漩涡源密度；,2.环流面密度,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用 表示，即：,式中：表示矢量场旋度的方向；,3.矢量场的旋度,1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；,2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量 场在该点处的漩涡源密度；,4.旋度的物理意义,1)在直角坐标系下：,5.旋度的计算,1.3 矢量微分算子,一、微分算子的定义,微分算子 是一个“符号”矢量，,梯度,散度,1、直角坐标系,旋度,注意：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢量来按照
7、矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某些性质对就不成立。,从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。,例如：普通矢量有，但是，即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含有算子的算式做进一步的补充定义。,2、圆柱坐标系,3、在球坐标系,【例题1.3.1】,求矢量场 沿xy平面内一闭合回路C的线积分，此闭合回路由（0，0）和（）之间的一段抛物线 和两段平行于坐标轴的直线段组成。再计算 的旋度。,【例题1.3.2】,求二维标量场 的梯度，并取一闭合
8、回路C，证明,证明：,说明：,【例题1.3.3】,若,二、含有 算子算式,证明：,证明：,三、二重算子,【例题1.3.4】证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。,四、包含 算子的恒等式,（1）（2）（3）（4）（5）（6）,（7）（8）（9）（10）,（11）（12）（13）（14）（15）,1.4 矢量积分定理,一、高斯散度定理,证明：,从散度定义，可以得到：,则在一定体积V内的总的通量为：,式中：S为包围V的闭合面,式中：S为包围体积V的闭合面,得证！,证明,由旋度的定义,对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有,证明：,得证！,意义：矢量场的旋度在曲面上
9、的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。,二、斯托克斯定理,【例题1.4.1】,矢量场 中有一半球面 计算斯托克斯定理中两边的积分值。,三、平面格林定理,四、标量格林定理,(1),(2),格林第一定理,格林第二定理,令：,证明：第一定理,代入式（1）后求得,又有,代回前一式得,证明：第二定理,令式（1）中的 换位置，得,将上式与（1）式相减，求得,得证,六 并矢格林定理,五 矢量格林定理,七 其他积分定理,证明(1),在高斯散度定理中令,C 是常矢量,将以上二式代回高斯定理，得,C 提出积分号外，得,C 是非零常矢量，可约去，得证,证明(2),在高斯散度定理中令,C 是常矢量,将以
10、上二式代回式高斯定理，得,C 提出积分号外得,C 是非零常矢量，可约去，得证,证明(3),。,（1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在 别的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它 矢量场的激励源？（3）如何唯一的确定一个矢量场？,现在我们考虑如下问题,1、定理内容：空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即：其中 为无散场，为无旋场。,八、矢量场的Helmholtz定理,Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是
11、无旋场，由通量源激发，满足：,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,1)调和场,若矢量场 在某区域V内，处处有：和 则在该区域V内，场 为调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均 为零的矢量场。,2、矢量场的分类,若矢量场 在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，则称在该区域V内，场 为有源无旋场。,2)有源无旋场为保守场，其重要性质为：,1)为矢量场通量源密度；,保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。,讨论：,2)有源无旋场,说明：式中 为矢量场漩涡源密度。,3)无源有旋场,若矢量场 在某区域 V 内，在某些位置或整个空间内，有 则在该区域V内，场 为有源有旋场。,有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场之和，即：,4)有源有旋场,已知,矢量F 的通量源密度矢量F 的旋度源密度场域边界条件,在电磁场中,电荷密度电流密度J场域边界条件,（矢量A 唯一地确定）,研究电磁场的一条主线。,5）亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义,1.1 1.6 1.10 1.11 1.13 1.17 1.25 1.26,第一章 习题(8个),
