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1、4 泰勒公式与极值问题,首页,一、高阶偏导数,设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导函数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f(x,y)的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列,四个二阶偏导数:,首页,类似可以定义更高阶的偏导数.,z=f(x,y)的三阶偏导数共有八(23)种情形：,首页,又如 z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,再关于 y 的一阶偏导数为,首页,例1 求函数,解,的二阶偏导数及,首页,注意 从上面两个例子看到，有,但这一结论并不总成立.,首页,例如,二者不等,首页,定理17.7,例如 对三元函数 u=f(
2、x,y,z),说明,本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.,首页,例6 证明函数,证,利用对称性,有,满足拉普拉斯方程,首页,注意 多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分,方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧,与常用导数符号.,首页,得,首页,首页,首页,例 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解,首页,二、中值定
3、理和泰勒公式,凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于 D,若 D 为区域，则对任何,恒有,凸区域,非凸区域,内，则称 D 为凸区域.,首页,一元函数中值定理回顾,首页,证,令,由定理的条件知(t)在 0,1 上连续，在(0,1)内可微.,由复合函数的求导法则,于是,由于 D 为凸区域，所以,从而有,于是根据一元函数中值定理，,存在 使得,首页,首页,二、二元函数的泰勒公式,一元函数泰勒公式回顾,首页,其中,一般地,表示,表示,首页,这正是二元函数的拉格朗日中值公式.,Rn 称为其拉格朗日型余项.,首页,证 令,其中,由定理的假设，在 0,1 在满足一元函数泰勒定理条件，于是有,下面计算,首
4、页,利用多元复合函数求导法则可得:,首页,一般地,将上述导数代入公式：,即得二元函数泰勒公式.,首页,若在泰勒公式中只要求余项,首页,首页,带入型余项的泰勒公式中：,首页,首页,即,令 x=1.08,y=3.96,则有x-1=0.08,y-1=-0.04,把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比,较，这个结果更接近于真值 1.356307.,首页,三 极值问题,定义 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,注意：函数的极值点只可能是定义域的内点.,首页,例如,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在
5、点(0,0)无极值.,首页,若,例如,定理17.10(必要条件),函数,存在偏导数,证,取得极值,取得极值，,取得极值，,稳定点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,故,则称(x0,y0)为 f 的稳定点或驻点.,所以,所以,首页,在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值;,所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数,不存在的点取得.,首页,时,具有极值,定理17.11(充分条件),的某邻域内具有二阶连续偏导数,令,则:1)当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,且,首页,证 由
6、二元函数的泰勒公式,并注意,则有,所以,首页,其中,是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是,(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,可见,从而z0,因此,的正负号可由 确定。,首页,从而 z0,(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则,时,有,异号;,同号.,可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,首页,+,+,若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时,可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB2 0 时,若 A0,则,若 A0,则 B0,为零或非零,首页,此时,因此,不能断定(x0,y0)是否为极值点.,首页,并求出偏导数不存在的点
7、.,求出二阶偏导数的值：,首页,例,求函数,解 第一步 求稳定点,得稳定点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,故 f 在(1,0)有极值,又因,首页,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,故 f 在(-3,2)有极值,又因,首页,例 讨论函数,及,在点(0,0)是否取得极值.,解 显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此(0,0)不是,因此,为极小值.,正,负,0,并且在(0,0)都有,可能为,的极值点.,首页,例8 求 在原
8、点是否有极值。,首页,最大值最小值（简称最值）问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,稳定点、偏导数不存在的点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,首页,例,解 设水箱长,宽分别为 x,y 米,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2 米3 的有盖,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,时,才能使用料最省?,米,首页,例 有一宽为
9、24cm 的长方形铁板,把它折起来做成,解 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,首页,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,首页,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系 yf(x).,需要解决两个问题:,1.确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2.确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,最小二乘法,首页,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数 f(x).,最小二乘法原
10、理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方,法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体,首页,特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a,b,令,满足:,使,得,解此线性方程组 即得 a,b,首页,例,为了测定刀具的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀,具的厚度,得实验数据如下:,找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.,解 通过在坐标纸上描点可看出它们,大致在一条直线上,列表计算:,故可设经验公式为,首页,得法方程组,解得,故所求经验公式为,为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:,首页,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,偏差平方和为,首页,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,偏差平方和为,首页,作业：P.141 1,首页,设 f 在 a,b 连续，在(a,b)可导，则存在,使得,中值公式也可表示为：,一元函数中值定理,首页,一元函数,的泰勒公式:,设函数,在 x0 的某邻域,首页,
