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1、1.2 理论分析,一、误差分析,由例1.1可见，Euler法比梯形法精度高。为了讨论方法的精度，我们引入局部截断误差与整体截断误差这两个概念。,1、局部截断误差,Euler法是由,称为Euler法的局部截断误差。,由数值积分可知，梯形法的局部截断误差为,可见梯形法的局部截断误差的阶比Euler法高一阶。,定义：若一种数值方法的局部截断误差为,则称该方法具有p阶精度或是p阶方法。,从以上分析可知，Euler法是一阶方法（或具有一阶精度），梯形法是二阶方法（或具有二阶精度），梯形法比Euler法精度高，例1.1计算结果也表明了这一点。,2、整体截断误差,下面分析Euler法的整体截断误差，因,所以
2、,其中,，递推得,注意到,于是,类似于上述讨论，同学们可分析梯形法整体截断误差满足,可见，局部截断误差阶比整体截断误差高一阶。,二、收敛性研究,，这就是收敛性问题。,可见，收敛性问题就是考查,。,由式(2-1),(2-2),(2-3)知，Euler法及梯形法均收敛。式(2-1),(2-2),(2-3)称为误差估计式。要考察一个算法的收敛性情况，必须先作出该算法的误差估计。,三、稳定性研究,问题：解对初值的连续依赖性如何？,在实际计算中，初值往往都是测量值或实验值，包括舍入误差，所以初值一般不能精确给出，这个误差在计算中将依次传递下去，如果传递误差能够被控制，则说该算法稳定；否则就说该算法不稳定，显然不稳定的算法是不能用的，稳定的算法才可能有用。下面给出稳定性定义。,则称该算法稳定。,下边讨论Euler法的稳定性。,两式相减，得,故有估计式,可见，Euler法是稳定的。,同学们可类似讨论梯形法的稳定性。,一种算法是否实际可用，必须回答下边两个问题：(1)收敛性。(2)稳定性。当然在考查收敛性时首先得做出误差估计。这些问题是微分方程数值解法中必须研究的理论问题，具有重要意义。一个格式既是收敛的又是稳定的才是有用的。上边讨论了Euler法的收敛性及稳定性，同学们讨论了梯形法的收敛性及稳定性，这两个算法都是收敛的，稳定的。,
