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1、2.3 拉普拉斯方程，分离变量法Laplaces equation,method of separate variation,本节内容主要是研讨Poisson 方程的求解解析方法。电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导体的表面上。因此，在没有电荷分布的区域V里,Poissons equation 就转化为 Laplaces equation，即产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上，它,们的作用通过边界条件反映出来：给定 给定 或导体总电量所以，讨论的问题归结为：怎样求解（通解）Laplaces equation.怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。Laplaces equati
2、on可以用分离变量法求通解，其求解条件是：方程是齐次的。边界应该是简单的几何面。（能用分离变量法条件：求区无电荷，边界规则）,一、分离变量法求Laplaces equation的通解（1）在直角坐标系中设在数学物理方法中，该方程的通解的（A、B、C为待定系数）,或者写成（2）在柱坐标系中设该方程的通解为,其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是，故通解为,这里A，B，C，D为待定系数。（3）在球坐标系中设其通解为,这里 为缔合勒让德（Legendre)函数 对于具有轴对称的问题，m=0(取此轴为极轴）且这里 为勒让德函数，、
3、为待定系数 对于球对称的问题，m=0,n=0。且2、利用边界条件定解 说明两点：,第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplaces equation.第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：边界条件：及导体的总电荷,3、举例说明定特解的方法例1一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。Solution:第一步：分析题意，找出定解条件 根据题意，具有球对称性，电势不依赖于极角 和方位角，只与半径r有关。,即故定解条件为：边界条件：(i)因
4、为导体球接地，有(ii)因整个导体球壳为等势体，有,(iii)球壳带电量为Q，根据Gauss theorem得到 第二步，根据定解条件确定通解和待定常数 由方程式(1)、(2)可看出，电势不依赖于，取n=0；不依赖于，取,故得到导体球壳内、外空间的电势：,由（3）式得从而得到,由（4）式得由（5）式得即将（13）式代入（12）式，即得,令因此得到：将A、B、C、D系数代入到（6）、（7）式，即得电势的解：,导体球上的感应电荷为,例2介电常数为的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。Solution:第一步：根据题意，找出定解条件 由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿
5、外电 场方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势 满足Laplaces equation。以 代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，故,附:均匀电场,的电势,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二步：根据定解条件确定通解和待定常数 由于问题具有轴对称性，即 与 无关，故由（2）式得比较两边系数，得,由（6）式得从中可见故有：,再由（3）、（4）式或者（7）、（8）式得到：比较 的系数，得,由（15）、（16）式给出：由（13）、（14）式给出,由此得到电势为相应地，球内、外的电场强度为,其中 第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为因此，球外区域的电场为：而,同理得到,由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场 为弱，这是极化电荷造成的。在球内总电场作用下，介质球的极化强度的介质球的总电偶极矩为,例3.两无限大平行导体板，相距为，两板间电势 差为V(与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4)定常数：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
