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1、24直線方程式,一、空間直線方程式：,1.直線的方向向量：坐標空間中，設A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),為直線 L 上的相異兩點，,稱為直線 L 的一個方向向量。,則直線 L上的任意一點 P(x,y,z)皆可表為,2.直線的參數式：設 A(x0,y0,z0)為直線 L 的定點，,A(x0,y0,z0),L,P(x,y,z),說明：若在直線 L 上任取一點 P(x,y,z)，,反之，若點 P(x,y,z)滿足上式，,為直線 L 的參數式。,3.範例：已知直線 L 通過點 A(2,1,3)，B(4,2,1)，求 L 的參數式。,解：L 過點 A(2,1,3)，,Ans：,求 L 的
2、參數式。,馬上練習：已知直線L通過點A(3,4,1)，,4.直線的比例式：,例如：通過點 P(1,4,0)，,5.範例：已知直線 L 通過點 P(2,1,3)，Q(3,2,1)，,解：L 過點 A(2,1,3)，,注意：,馬上練習：已知直線 L 通過點 P(4,2,3)，Q(1,0,1)，,解：L 過點 P(4,2,3)，,Ans：,求 L 的對稱比例式。,求 L 的對稱比例式。,O,x,y,z,B(0,1,0),A(1,0,0),L,O,x,y,z,B(0,3,0),L,E2,L,E1,6.直線的二面式：,若E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，E2：a2x+b2y+c2z+d2=0,是兩
3、個不平行的平面，且相交於直線L，,則聯立方程式,所代表的圖形即為直線L，此聯立方程式稱為直線L的二面式。,E1,E2,L,P,7.範例：求兩平面 E1：3x+2y+z=4 和 E2：x+2y+3z=4,解：,注意：,的交線 L 之參數式。,馬上練習：求兩平面 E1：x+y2z=4 和 E2：3x+2y+z=4,的交線 L 之參數式。,Ans：,解：,8.坐標軸的方程式：,(1)x 軸為 xy 平面(z=0)，,(2)y 軸為 xy 平面(z=0)，,(3)z 軸為 yz 平面(x=0)，,x 軸的兩面式,y 軸的兩面式,z 軸的兩面式,O,x,y,z,與 xz 平面(y=0)的交線,與 yz
4、平面(x=0)的交線,與 xz 平面(y=0)的交線,O,x,y,z,B(0,1,0),A(1,0,0),L,9.範例：,解：,O,x,y,z,B(0,3,0),L,馬上練習：,Ans：,解：,注意：直線的對稱比例式也是二面式，,則 L 無法表示成對稱比例式，,但可表示成二面式,E1,E2,E=E1+kE2,L,P,10.平面族：相交於同一直線的所有平面。,若 E1：a1x+b1y+c1z+d1=0，E2：a2x+b2y+c2z+d2=0,是兩個不平行的平面，且相交於直線 L，,則直線 L 上的任一點 P(x,y,z)皆滿足,聯立方程式,因此，直線 L上的任一點 P(x,y,z)亦滿足,(a1
5、x+b1y+c1z+d1)+k(a2x+b2y+c2z+d2)=0，,即直線 L上的任一點 P(x,y,z)滿足方程式：E1+kE2=0。,所以，過 E1 與 E2 交線的平面 E(除 E2 之外),即相交於同一直線的所有平面，彼此為線性組合的關係。,皆可表為 E1+kE2=0 之形式。,11.範例：求過兩平面 E1：2xy=2 及 E2：y+2z=4 的交線，,且通點 P(2,1,1)的平面之方程式。,解：設所求 E：(2xy2)+k(y+2z4)=0，,因為 E 通點 P(2,1,1),整理得所求為 5x2y+z7=0。,馬上練習：求過兩平面 E1：2x+y4=0 及 E2：y+2z=0
6、的交線，,且垂直平面 E3：3x+2y+3z6=0 的平面之方程式。,Ans：xz2=0。,解：設所求 E：(2x+y4)+k(y+2z)=0，,(2x+y4)(y+2z)=0,整理得所求為 xz2=0。,12.範例：求包含 x 軸且通過 P(1,1,2)的平面之方程式。,解：,設所求平面 E：y+kz=0。,又 E 過 P(1,1,2),故所求為 2y+z=0。,注意：在 x 軸上取點 Q(1,0,0)，,馬上練習：求包含 z 軸且通過 P(3,4,5)的平面之方程式。,Ans：4x3y=0。,解：,故所求為 4x3y=0。,設所求平面 E：x+ky=0。,又 E 過 P(3,4,5),P(
7、3,2,6),L,Q(2t+1,2t+2,3t1),二、空間中，點與直線的關係：,1.範例：,解：從 P(3,2,6)作 L 的垂線交於點 Q(2t+1,2t+2,3t1)，,解得 t=1，,注意：,(2)在L上取點A(1,0,2)與點B(1,2,1),但是無法求得垂足 Q(投影點)的坐標。,B(1,2,1),A(1,0,2),P(3,2,6),L,Q,P(1,1,2),Q(2t+5,3t+6,2t+3),L,馬上練習：,(1)P 點到直線 L 的垂足。(2)P 點到直線 L 的距離。,Ans：(1)(7,3,1)(2)7。,解：從 P(1,1,2)作 L 的垂線交於點 Q(2t+5,3t+6
8、,2t+3)，,解得 t=1，,P,L,2.範例：,解：取 L 上一點 Q(0,1,2),注意：,設所求 E：3x+2y+z=k，,故所求為 3x+2y+z=4。,設包含L的平面為(5x+z2)+k(xy+1)=0，,將 P(1,1,5)代入得 k=2，,又 E 通過 Q(0,1,2)，,k=0+2+2=4，,Q,所求5x+z2)2(xy+1)=0，即 3x+2y+z=4。,設所求E：2xy+3z=k，,P,L,Q,馬上練習：,Ans：2xy+3z=9。,解：取 L 上一點 Q(3,0,1),又 E 通過 P(1,2,3),k=22+9=9。,故所求為 2xy+3z=9。,D,E,F,G,B,
9、H,C,A,P,Q,A,R,B,P,3.範例：ABCDEFGH為邊長等於 1 的正立方體。,若 P 點在立方體的內部且滿足,則 P 點至直線 AB 的距離為何？,解：令D為原點，A(1,0,0)，C(0,1,0)，H(0,0,1),H,B,A(1,0,2),E,將H(1+2t,t,2+t)代入E：2xy+z1=0，,三、空間中，點的投影與對稱,1.範例：求點A(1,0,2)關於平面E：2xy+z1=0的投影點與對稱點。,解：,設 A 在平面 E 上的投影為 H,(2)設 A 的對稱點為 B(x,y,z)，,A(1,2,3),H,B,E,(2)設 A 的對稱點為 B(x,y,z)，,將H(1+t
10、,22t,3+3t)代入E：2xy+z1=0，,馬上練習：求點 A(1,2,3)關於平面 E：x2y+3z13=0,Ans：,解：,設 A 在平面 E 上的投影為 H,的投影點與對稱點。,Q,P(1,1,2),L,H,2.範例：,的投影點與對稱點。,解：(1)設 P(1,1,2)在 L上的投影點為 H(t,2t1,t+3)，,(2)設 P 的對稱點為 Q(x,y,z)，,注意：,P(3,2,1),解得 t=0,Q,L,H,馬上練習：求點 P(3,2,1)關於直線 L：,的投影點與對稱點。,Ans：投影點(1,1,3)，對稱點(1,4,5)。,解：(1)設 P(3,2,1)在 L上的投影點為 H
11、(t+1,2t1,2t+3)，,(2)設 P 的對稱點為 Q(x,y,z)，,H(1,1,3)。,B,A,H,3.範例：設A(1,2,2)，B(3,4,3)，,解：,E,P,L,E,L 和 E 交於一點 P,L,E,L 和 E 平行(無交點),L,E,L 落在 E上(無限多交點),四、直線與平面的關係：,空間中直線(方向向量為)和平面(法向量為),L/E 或 L 在 E 上。,L 與 E 恰交於一點。,注意：,的相交情形有下列三種：,1.範例：,解：(1)將 L1上點 P(3t+1,3t+2,t+3)，代入E：2xy+3z3=0，,與 E：2xy+3z3=0 的交點。,得 2(3t+1)(3t
12、+2)+3(t+3)3=0,故直線 L1 與平面 E 恰交於一點 P(2,1,2)。,(2)將 L2 上點 P(3t+1,3t+2,t+3)，代入E：2xy+3z3=0，,故直線 L2 和平面 E 不相交，即平行。,得 2(3t+1)(3t+2)+3(t+3)3=0,t=1。,此時 t 無解。,0t=6，,馬上練習：,Ans：L落在平面 E上。(解得 0t=0),故 L 落在平面 E 上。,得 2(3t+3)3t+3(t1)3=0 0t=0，,解：將 L 上點 P(3t+3,3 t,t1)，代入 E：2xy+3z3=0，,此時 t 為任意實數。,2.範例：,若 L分別交 xy 平面、yz 平面
13、於 A、B 兩點，,解：,L 交 yz 平面(x=0),L 交 xy 平面(z=0),t=0 A(1,2,0)。,t=1 B(0,3,1)。,L 交 zx 平面(y=0),分交 yz 平面、zx 平面,馬上練習：,Ans：,解：,L 交 yz 平面(x=0),t=4 P(0,3,4)。,於 P、Q 兩點，,L,Q(3,4,2),L,E,P,Q,故所求(a,b)=(0,3)。,得 r=1,將 Q(2r+3,r+4,2r2)代入 E：2x+y2z5=0。,3.範例：,解：L上點 P(2t+3,3t+4,t2)代入E：2x+y2z5=0。,得 t=1,設 L上一點 Q(3,4,2)在 E上的投影點為
14、 Q,L交 E 於 P(1,1,1)。,直線 QQ 交 E 於 Q(1,3,0)。,L,E,P,E1,注意：,設包含 L 的平面 E1：(3x2y1)+k(x+2z+1)=0,(3+k)x2y+2kz+(k1)=0,又 E1E,E1：5x2y+4z+1=0,(3+k,2,2k)(2,1,2)=0,得 k=2,L,P(1,1,3),L2,Q(3t+2,2t+2,2t1),L1,解得 t=1，,五、空間中兩直線的關係：,1.範例：,解：從 L1 上一點 P(1,1,3)作 L2 的垂線,交於點 Q(3t+2,2t+2,2t1)，,3,B(5,4,3),A(2,2,1),P(1,1,3),L2,L1
15、,注意：,(2)在 L1 上取點 P(1,1,3)，,L2 上取點 A(2,2,1)與點 B(5,4,3),3,但是無法求得垂足 Q(投影點)的坐標。,Q,P(1,1,2),Q(2t+5,3t+6,2t+3),L2,L1,馬上練習：,Ans：7。,解：從 L1 上一點 P(1,1,2)作 L2 的垂線,交於點 Q(2t+5,3t+6,2t+3)，,解得 t=1，,7,P,L1,Q,L2,設所求 E：2x10y7z=k，,又 E 通過 P(1,1,3),2.範例：,解：在 L1上取點 P(1,1,3)，L2上取點 Q(2,2,1),的平面方程式。,故所求為 2x10y7z+9=0。,k=2+10
16、21=9，,P,L1,Q,L2,馬上練習：,的平面方程式。,Ans：4x13y5z+23=0。,解：在 L1上取點 P(0,1,2)，L2上取點 Q(1,1,8),設所求 E：4x13y5z=k，,又 E 通過 P(0,1,2),故所求為 4x13y5z+23=0。,k=01310=23，,P,L2,L1,3.範例：,解：,由式解得 t=1，s=3，代入 式也滿足。,故所求交點 P(3,1,5)。,的交點坐標。,P,L1,L2,Q,L,馬上練習：說明直線,是兩條歪斜線。,Ans：兩直線無交點且方向向量不平行，所為歪斜線。,解：,故兩直線無交點。又兩直線的方向向量不平行，所為兩歪斜線。,代入式並
17、不滿足，,P(7,0,3),L2,L1,4.範例：,解：,得 k=7+6=13，,故所求平面為 x2z=13。,取 L1 上一點 P(7,0,3)代入 x2z=k，,設所求 E：x2z=k，,的平面方程式。,設所求 E：5x4y3z=k，,L2,L1,P(1,2,1),馬上練習：,的平面方程式。,Ans：5x4y3z10=0。,解：,故所求平面為 5x4y3z10=0。,取 L1 上一點 P(1,2,1)代入 5x4y3z=k，,得 k=5+83=10，,P,L1,L2,Q,L,5.範例：,的距離，及其與公垂線的交點。,解：設公垂線 L 交 L1 於 P 點 P(2s1,2s+2,s),交 L
18、2 於 Q 點 Q(t+4,4t3,t+2),因此，公垂線 L 交 L1 於 P(1,0,1)，,交 L2 於 Q(3,1,1)，,交 L2 於 Q 點 Q(4t1,t+2,t+1),馬上練習：,解：設公垂線 L 交 L1 於 P 點 P(2s+3,3s+3,2s+7),Ans：公垂線 L交 L1於 P(1,6,5)，交 L2於 Q(1,2,1)，,的距離，及其與公垂線的交點。,因此，公垂線 L交 L1於 P(1,6,5)，,P,L1,L2,Q,L,交 L2於 Q(1,2,1)，,E2,P(3,1,1),E1,L2,L1,Q,6.範例：,(1)求包含 L1 且平行 L2 的平面。(2)求 L1
19、 與 L2 的距離。,解：,設所求E1：2x+y+2z=k，,取 L1 上點 Q(1,2,0)代入 E1，,得 k=2+2+0=0。,注意：距離公式僅能求兩歪斜線距離，無法求出公垂線的方程式。,故所求為2x+y+2z=0。,馬上練習：,(1)求包含 L1 且平行 L2 的平面。(2)求 L1 與 L2 的距離。,Ans：(1)x+2y+2z=23(2)6。,解：,設所求 E1：x+2y+2z=k，,取 L1上點 Q(3,3,7)代入 E1，,得 k=3+6+14=23。,故所求為x+2y+2z=23。,E2,E1,L2,L1,Q,P(1,2,1),O,x,y,z,B(0,1,0),A(1,0,0),L,7.範例：,解：,取 L 上一點 P(t,1t,0)，,交 z 軸於 O(0,0,0)。,與 z 軸上一點 Q(0,0,r)，,P,Q,O,x,y,z,B(0,3,0),L,Ans：,和 x 軸的距離，與其公垂線之交點。,馬上練習：求直線,交 x 軸於(0,0,0)。,解：,取 L上一點 P(0,2t+3,t)，,與 x 軸上一點 Q(r,0,0),交 x 軸於 O(0,0,0)。,P,Q,注意：,(2)在L上取點A(1,0,2)與點B(1,2,1),但是無法求得垂足 Q(投影點)的坐標。,
