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1、第二章 稳态热传导,主讲人：郭智群,第二章 稳态热传导,工程应用的两个基本目的：1、计算所研究过程中传递的热流量；2、准确预测物体中的温度分布。拟解决的问题：,温度分布如何描述和表示？温度分布和导热的热流存在什么关系？如何得到导热体内部的温度分布？,目录,2.1 导热基本定律2.2 导热问题的数学描写2.3 典型一维稳态导热问题的分析解2.4 通过肋片的导热2.5 具有内热源的一维导热2.6 多维稳态导热的求解,导热基本定律,各类物体的导热机理气体：导热是气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果。,导热基本定律,导电固体：自由电子的迁移和晶格的振动。非导电固体：晶格的振动，即原子、分子在其平衡位置
2、附近的振动来实现。,液体：说法不一。,晶格结构,较热的分子振动,整个晶格结构振动,导热基本定律,温度场（temperature field）各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称为温度分布。,导热基本定律,温度分布的图示法,导热基本定律,等温线：二维温度场中同一瞬间相同温度各点连成的线称为等温线。等温面（三维温度场）,导热基本定律,等温线性质：1、永远不会相交；2、只可能在物体边界中断或者完全封闭；3、等温线疏密反映热流密度的大小；4、热量传递发生在不同等温面之间。,导热基本定律,导热基本定律回顾第一章，两个表面均维持均匀温度的平板导热：,傅里叶定律的文字表达：在导热过程中，单位时间内通过给
3、定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积A，而热量传递的方向与温度升高的方向相反。,（1-1）,式中：gard t空间某点的温度梯度；通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；,导热基本定律,导热基本定律,导热系数1、定义：,导热系数是物性参数，与物质结构和状态密切相关；它反映了物质微观粒子传递热量的特性；工程计算所采用的各种物质的导热系数都是用专门的实验测定得到。,导热系数的定义式由傅里叶的数学表达式给出。数值上，导热系数等于在单位温度梯度作用下物体内热流密度是矢量的模。,导热基本定律,2、不同物质导热系数排序：,几种典型材料的导热系数：（常温20条件下）,
4、导热基本定律,3、温度对导热系数的影响：从图上可以看出：纯金属的导热系数随温度升高而减小；（如：铅、钾）大多数液体（除水和甘油）的导热系数随温度升高而减小。（如：氨水、氟利昂）气体的导热系数随温度升高而升高。（如：甲烷、空气）,导热基本定律,在比较广阔的温度区间内的实用计算中，大多数材料的都容许采用线性近似关系，即：,式中：,a、b常量；t温度；0该直线段的延长线 在纵坐标上的截距；,导热基本定律,4、保温材料 1992年国家标准规定：凡平均温度不高于350时导热系数不大于0.12W/(mk)的材料称为保温材料。常用的保温材料主要有：复合硅酸盐、玻璃棉、岩棉、泡沫石棉等。它们都具有重量轻、隔热
5、好以及施工方便等特点。保温材料多呈多孔性结构，其导热机理也不再是单纯的热传导。超级保温材料：多层间隔、夹层抽真空。,导热基本定律,导热基本定律,2.1.5 工程导热材料的一般分类,均匀、各向同性均匀、各向异性不均匀、各向同性不均匀、各向异性,导热基本定律,使用傅里叶定律需要注意：1）适用于连续介质假设；2）适用于稳态和非稳态、有内热源和无内热源、常物性和物性随温度变化的情况；3）对各向异性材料需要做一定的修改；,由本节讨论可得：一旦物体中的温度分布已知，就可以按傅里叶定律计算出各点的热流密度矢量。因此，求解导热问题的关键是要获得物体中的温度分布。,目录,2.1 导热基本定律2.2 导热问题的数
6、学描写2.3 典型一维稳态导热问题的分析解2.4 通过肋片的导热2.5 具有内热源的一维导热2.6 多维稳态导热的求解,导热问题的数学描写,定解条件,导热问题的数学描写,方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，依据能量守恒关系，建立该处温度与其他变量之间的关系式。,条件假设：（1）物体是各向同性的连续介质;（2）导热系数、比热和密度已知；（3）内热源均匀分布，为 W/m3;（4）导热体与外界没有功的交换。,一、推导过程物理问题描述：三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外其他形式的热量，如化学反应能、电能等）。,导热问题的数学描写,2.2.1 导热微分方程,导热问题的数学描写,在直角
7、坐标系中，从导热物体中任意取出一个微元平行六面体来做该微元体的能量收支平衡分析。按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡:,导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（即内能）的增量,在直角坐标系中进行分析，令（x）x 为热流量在x方向上热流分量x在x点的值，其余类推。由傅里叶定律，得到导入微元体的热流量为：,导热问题的数学描写,导热问题的数学描写,在直角坐标系中进行分析，令（x）x+dx 为热流量在x方向上热流分量x在x+dx点的值，其余类推。得到导入微元体的热流量为：,微元体内热源的生成热=,导热问题的数学描写,微元体热力学能（即内能）的增量=,
8、式中：微元体的密度；c 微元体的比热容；单位时间内单位体积中内热源的生成热；时间;,导热问题的数学描写,导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（即内能）的增量,导入微元体的总热流量-导出微元体的总热流量=微元体热力学能（即内能）的增量-微元体内热源的生成热,导热问题的数学描写,导入微元体的总热流量-导出微元体的总热流量=,导入与导出的净热量：,导热问题的数学描写,将得到各项代入热平衡关系式，可得：,微元体热力学能的增量-微元体内热源的生成热=,非稳态项,内热源项,三个坐标方向净导入的热量扩散项,导热问题的数学描写,经整理可得：,式（2-7）是笛卡尔坐标
9、系中三维非稳态导热微分方程的一般形式，其中、c、均可以是变量。,(2-7),导热问题的数学描写,二、简化形式：1、导热系数为常数,式中：a=/c称为热扩散率或热扩散系数；2、导热系数为常数、无内热源,数学上，上式称为泊松方程，是常物性、稳态、三维且具有内热源稳态的温度场控制方程式。4、常物性、无内热源、稳态,导热问题的数学描写,3、常物性、稳态,上式称为拉普拉斯方程。,导热问题的数学描写,三、圆柱坐标导热微分方程,导热问题的数学描写,四、球坐标导热微分方程,导热问题的数学描写,2.2.2 定解条件一、定义 导热微分方程是通用表达式，描写物体的温度随时间和空间变化关系；使微分方程获得适合某一特定
10、问题的解的附加条件，称为定解条件。,导热问题的数学描写,二、边界条件分类,1、第一类边界条件：指定边界上的温度分布。如右图中：,对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：,导热问题的数学描写,2、第二类边界条件：指定边界上的热流密度值。如右图中：,对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：,导热问题的数学描写,3、第三类边界条件：指定边界上物体与周围流体间的表面传热系数h及周围流体的温度tf。如右图中：,对于非稳态导热，上式中表面传热系数h和流体温度tf均可为时间的已知函数。,导热问题的数学描写,在处理复杂的实际工程问题时，还会遇到下列两种情况：（1）辐射边界条件：如果导热物体
11、表面与温度Te的外界环境只发生辐射换热，则应有：,式中：n壁面的外法线方向；导热物体表面的发射率。,（2）界面连续条件：对于发生在不均匀材料中的导热问题，不同材料的区域分别满足导热微分方程。界面处应该满足温度与热流密度连续的条件：,导热问题的数学描写,导热系数越大，在相同温度梯度下可以传导更多的热量；越小，单位体积的物体温度升高1所需的热量越小；因此，热扩散率a越大，材料中温度变化传播得越迅速。,导热问题的数学描写,2.2.3 热扩散率的物理意义,热扩散率a是材料传播温度变化能力大小的指标，也因此称为导温系数。,导热问题的数学描写,2.2.4 傅里叶定律及导热微分方程的适用范围,对一般工程上的
12、非稳态导热，热流密度不是很高，过程作用时间足够长，尺度范围也足够大，傅里叶定律及导热微分方程是完全适用的。以下三种情况除外：1）导热物体接近绝对零度（0K）时（温度效应）；2）过程作用时间极短，与材料本身固有的时间尺度接近（时间效应）；3）空间尺度极小，与微观粒子的平均自由行程接近时（尺度效应）；,目录,2.1 导热基本定律2.2 导热问题的数学描写2.3 典型一维稳态导热问题的分析解2.4 通过肋片的导热2.5 具有内热源的一维导热2.6 多维稳态导热的求解,稳态导热：一维稳态导热：典型一维稳态导热：,典型一维稳态导热问题的分析解,通过平壁的导热,通过圆筒壁的导热,通过球壳的导热,典型一维稳
13、态导热问题的分析解,2.3.1 通过平壁的导热1、单层平壁条件：平壁的长度和宽度都远大于其厚度，且平壁两侧保持均匀边界条件。,首先，讨论导热系数为常数的情形。如右图所示，单层平壁厚度为，无内热源，两个表面分别维持均匀恒定的温度t1、t2。,1、无内热源、导热系数为常数，两侧均为第一类边界数学描述：,典型一维稳态导热问题的分析解,对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解：,导热微分方程,第一类边界条件,典型一维稳态导热问题的分析解,利用两个边界条件得到积分常数C1、C2：,将两个积分常数代入微分方程的通解，可得平壁内的温度分布如下：,线性分布,典型一维稳态导热问题的分析解,温度成线性分布，温度变
14、化率（即温度分布曲线的斜率）为：,将上式代入傅里叶定律的表达式:,典型一维稳态导热问题的分析解,对于一块给定材料和厚度的平壁，已知热流密度时，测定了平壁两侧的温差后，可以根据下式得出实验条件下材料的导热系数：,该式是稳态法测定导热系数的主要依据。,典型一维稳态导热问题的分析解,各种转移过程的共同规律性可归结为：,式中：热流量导热过程的转移量；温压t转移过程的动力；分母/(A)转移过程的阻力；/面积热阻(按单位面积计)RA。,典型一维稳态导热问题的分析解,2、多层平壁多层平壁就是由几层不同材料叠在一起组成的复合壁。,讨论如左图的三层平壁导热，假定层与层之间接触良好，没有引入附加热阻。各层厚度分别
15、为：1、2、3，各层的导热系数1、2、3，多层壁面两外表面的温度t1、t4,采用热阻分析法，将各层的热阻进行叠加。,典型一维稳态导热问题的分析解,各层热阻表达式：,热流密度计算式：,各层热阻叠加等于总热阻：,当导热系数是温度的线性函数，即 时，只要取计算区域平均温度下的导热系数，代入计算式，就可以获得正确的结果。（如例题2-1）,典型一维稳态导热问题的分析解,以此类推，可以得到n层多层壁计算式：,典型一维稳态导热问题的分析解,2.3.2 通过圆筒壁的导热1、单层圆筒壁,讨论如右图所示，内外半径分别为r1、r2的圆筒壁，其内外表面维持均匀恒定温度t1、t2。采用圆柱坐标系（r、z），该问题即为沿
16、半径方向的一维导热问题。假定导热系数 为常数，可得导热微分方程：,典型一维稳态导热问题的分析解,边界条件：,对导热微分方程连续积分两次，得其通解：,将边界条件代入通解，得到积分常数为：,典型一维稳态导热问题的分析解,将积分常数代入通解，可得温度分布：,对上式求导，得到温度变化率：,对数曲线,代入傅里叶定律表达式：,热流密度与半径成反比,典型一维稳态导热问题的分析解,2、多层圆筒壁,运用串联热阻叠加的原则，假设层间接触良好，可得左图所示多层圆筒壁的导热热流：,典型一维稳态导热问题的分析解,2.3.3 通过球壳的导热,对于内、外半径分别为r1、r2，球壳材料导热系数为常数，无内热源，球壳内、外壁面
17、分别维持均匀恒定温度t1、t2,数学描述：,边界条件：,典型一维稳态导热问题的分析解,热流量：,温度分布：,热阻：,典型一维稳态导热问题的分析解,2.3.4 带第二类、第三类边界条件的一维导热问题,一个电熨斗，电功率1200W，底面竖直置于环境温度为25的房间中，金属底板厚5mm，导热系数15W/(mK)，面积300cm2。考虑辐射作用在内的表面传热系数为80W/(m2K)，需要确定稳态条件下底板两表面的温度。,首先，假设电熨斗绝热层性能良好，因而加热器的功率全部通过底板散到环境中去，再将这个问题近似处理为一维平板导热，底板右侧处理为对流边界条件，左侧为给定热流密度边界条件。,典型一维稳态导热
18、问题的分析解,导热微分方程：,上述方程的通解是：,由左侧边界条件可得：,由右侧边界条件可得：,典型一维稳态导热问题的分析解,代入通解得：,代入给定数值得：,典型一维稳态导热问题的分析解,讨论：本例中左侧为第二类边界条件（已知热流密度），右侧围第三类边界条件（已知传热系数和周围流体温度）带第二类、第三类边界条件的一维导热问题与第一类边界条件求解区别在于确定任意常数C1、C2所利用的条件不同。,典型一维稳态导热问题的分析解,2.3.5 变截面或变导热系数的一维导热问题,当导热系数为变数或者导热面积沿热流密度矢量方向改变时，可采用直接对傅里叶导热定律表达式做积分的方法。,以一维为例，傅里叶定律的表达
19、式为：,分离变量后积分，得,典型一维稳态导热问题的分析解,得到变截面一维导热热流量计算式：,同理可得，变导热系数热流量表达式：,令 为 在 至 范围内的积分平均值，可得：,典型一维稳态导热问题的分析解,在工程计算中，材料的导热系数对温度的依变关系往往表示成下列线性关系：,或,在这种情况下，就是算术平均温度 下，的 值。,因此，只要将计算公式中的导热系数，取用算术平均温度下的导热系数值，即可解决变导热系数的导热问题。,目录,2.1 导热基本定律2.2 导热问题的数学描写2.3 典型一维稳态导热问题的分析解2.4 通过肋片的导热2.5 具有内热源的一维导热2.6 多维稳态导热的求解,通过肋片的导热
20、,由上式对流换热方程式可以得到，强化换热的三种方式：1）增加温差 2）增加表面传热系数h 3）增加换热面积A,通过肋片的导热,通过肋片的导热,通过肋片导热的特点是肋片中沿导热热流方向上热流量是不断变化的。因此，肋片导热主要问题是：,1）肋片上的温度分布；2）通过肋片散热的热流量；,通过肋片的导热,通过肋片的导热,2.4.1 通过等截面直肋的导热,求解目的：确定肋片中的温度分布以及通过该肋片的散热量。,已知：肋根温度t0，且肋根温度大于环境温度。该肋片与周围环境之间有热交换，并已知包括对流传热及辐射传热在内的复合换热的表面传热系数h。,首先假定：（1）材料导热系数、表面换热系数h以及沿肋高方向的
21、截面积Ac均为常数；（2）肋片温度在长度方向不发生变化，可取单位长度来分析；（3）换热热阻远大于导热热阻，在任一截面肋片温度是均匀的；（4）肋片顶端视为绝热，即,通过肋片的导热,1、物理模型：,经过上述简化所研究的问题就变成了一维稳态导热问题。且可知，肋片各截面的温度沿高度方向逐步降低。,通过肋片的导热,2、数学描写,将通过边界所交换的热量折算成整个截面积的体积源项取长度为dx的微元段来分析。令参与换热的截面周长为P，则表面的总散热量为：,通过肋片的导热,导热微分方程：,边界条件：,数学描述,通过肋片的导热,3、分析求解,引入过余温度，可得关于过余温度的齐次方程：,其中，为一个常量。,通过肋片
22、的导热,二阶线性齐次常微分方程通解为：,其中，C1、C2由两个边界条件确定，即：,最后，可得肋片中的温度分布：,通过肋片的导热,当x=H时，可得肋端温度计算式：,当x=0时，将过余温度代入傅里叶定律的表达式，可得肋根处的热流量：,通过肋片的导热,需要了解的是：1）上述理论解是根据肋片末端绝热的边界条件推导得出，不适于必须考虑肋片末梢端面散热的少数场合；2）实际上沿整个肋表面换热系数常常不是均匀的，可以按其平均值计算。如果严重不均匀，可以采用数值求解方法；3）在应用中很多问题可以简化成肋片导热问题，建立数学模型时应勤作思考。(如例题2-8),通过肋片的导热,2.4.2 肋效率与肋面总效率,1、肋
23、效率,等截面直肋的效率,等截面直肋和三角形肋片的效率曲线,环肋片的效率曲线,2、其他形状肋片的效率,通过肋片的导热,通过肋片的导热,肋片散热量的工程计算方法：1）由图线或计算公式得到肋效率f；2）计算出理想情况下的散热量；3）由式，计算得到实际散热量。,环肋的散热量详见例题2-7。,通过肋片的导热,3、肋片总效率,肋化表面示意图,如左图所示，肋片的表面积为Af，两个肋片之间根部表面积为Ar，则所有肋片与根部面积之和为A0=Af+Ar。,计算该表面的对流换热量：（以t0-tf为温差）,通过肋片的导热,其中，,称为肋面总效率。显然，肋片总效率高于肋片效率。,通过肋片的导热,2.4.3 肋片的选用与
24、最小重量的肋片,一方面，采用增加肋片是在一定的材料消耗下极大地增加传热面积的方法，可以有效增大传热量。,另一方面，采用肋片的方法增加了通过固体的导热热阻，总的传热系数可能会受到影响。,（1-6）,（1-11）,通过肋片的导热,因此，是否采用在基础表面上增加肋片，取决于加肋片后总的传热阻力是否增大。即导热阻力（/）与表面对流传热阻力（1/h）之比。,毕渥数（Biot），记为Bi:,通过肋片的导热,对于等截面直肋，当Bi0.25时（为肋片半厚），加肋总是有利。一般工程应用中，肋片采用高导热系数的金属制造，当换热介质为空气时，采用肋片对强化换热总是有效的。（例如：空调的蒸发器、冷凝器中的整体翅片，航
25、天器中广泛采用的三角形肋片）,通过肋片的导热,2.4.4 接触热阻,两个名义上相互接触的固体表面，实际上接触仅发生在一些离散的面积元上。在未接触界面的间隙中常常充满了空气，热量将以导热的方式穿过这种气隙层。这样增加了热量传递的阻力，称为接触热阻。,通过肋片的导热,在实验研究与工程应用中，消除接触热阻很重要。取决于材料性质、表面粗糙度和界面上所受的正压力等。填充导热系数大的材料，如铜、银、导热油和硅油等。,通过肋片的导热,在常规的压力与表面粗糙程度下，几种典型材料的单位面积接触热阻：,目录,2.1 导热基本定律2.2 导热问题的数学描写2.3 典型一维稳态导热问题的分析解2.4 通过肋片的导热2
26、.5 具有内热源的一维导热2.6 多维稳态导热的求解,具有内热源的一维导热,2.5.1 具有内热源的平板导热,如左图所示平壁具有均匀的内热源，其两侧同时与温度为tf的流体发生对流传热，表面传热系数为h，现要确定平壁中任一x处的温度及通过该截面的热流密度。由于对称性，只研究一半壁厚即可。这一问题的数学描写为：,具有内热源的一维导热,微分方程通解为,通过边界条件求得C1、C2，得平壁中的温度分布：,导热微分方程,数学描写,对称性,由此可见，与无内热源平壁导热相比，热流密度不再是常数，温度分布也不再是直线，而是抛物线。当给定壁面温度tw时，可以看成是表面传热系数趋近于无穷大，从而流体温度等于壁面温度
27、的特例。因此，当两侧均给定壁温时，其温度分布为:,具有内热源的一维导热,任一位置x处的热流密度仍然可以由温度分布按傅里叶定律得出：,具有内热源的一维导热,2.5.2 具有内热源的圆柱体导热,如左图所示，一半径为r1的圆柱体，具有均匀的内热源，导热系数为常数，外表面维持在均匀且恒定的温度t1，现要确定圆柱体中的温度分布及最高温度。,微分方程两端各乘以r并积分，得出：,具有内热源的一维导热,导热微分方程,数学描写,由r=0处边界条件，得c1=0，再次积分得：,具有内热源的一维导热,得圆柱体中的温度分布：,由边界条件r=r1,t=t1，得c1=0，再次积分得：,圆柱体中的最高温度出现在圆心处：,目录
28、,2.1 导热基本定律2.2 导热问题的数学描写2.3 典型一维稳态导热问题的分析解2.4 通过肋片的导热2.5 具有内热源的一维导热2.6 多维稳态导热的求解,多维稳态导热的求解,一维稳态导热问题求解的是常微分方程，而多维导热问题需要求解的是偏微分方程，求解过程复杂。常用一下几种方法：,2.6.1 稳态导热问题求解方法简述,1、分析解法：求解简单导热问题2、数值解法：获得代表性地点上的温度值3、模拟方法：通过电势场来获得温度场,多维稳态导热的求解,2.6.2 计算导热量的形状因子法,形状因子法适用范围：当导热物体主要是由两个等温的边界组成时，求解目的只在于获得通过物体所传导的热量，可以采用形状因子法。对于一个任意形状的物体，其材料导热系数为常数，无内热源，具有温度均匀、恒定的等温表面t1、t2，若其他表面绝热。其导热量计算公式可以如下表示：,S取决于物体的几何形状及尺寸大小，称为形状因子，单位是m，详见表2-2（P.78）。,本章小结,本章小结,典型一维稳态导热分析解汇总,作业,2-3、2-9、2-17、2-46,
