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1、第四章 稳恒电流,4.1 电流和电流密度,4.3 欧姆定律的微分形式和电阻,目录,4.2 稳恒电流,与微观量的关系：,与 的关系：,电流的连续性方程,电流密度矢量,电流稳恒条件,电流的功和功率,欧姆定律 适用于金属导体、电解液,欧姆定律的微分形式,4.4 电动势,作业：6-2,6-4,6-6,4.1 电流和电流密度,第四章 稳恒电流,#稳恒的含义是指物理量不随时间改变,#形成电流的条件：,在导体内有可以自由移动的电荷或叫载流子（如在半导体中载流子有电子或空穴；在金属中是电子；在电解质溶液中是离子）。,在导体内要维持一个电场，或者说在导体两端要存在有电势差。,本章仅限于讨论第一、第二类（电解质溶
2、液）导体中的传导电流。不能讨论超导体。,规定正电荷流动的方向为正方向。,电流强度,单位时间内通过任一截面的电量，表示了电路中电流强弱的物理量。它是标量用 I 表示。,单位：库仑/秒=安培,它是国际单位中的基本量。,常用毫安（mA）、微安（A）,标量,必要性：当通过任一截面的电量不均匀时，用电流强度来描述就不够用了，有必要引入一个描述空间不同点电流的大小。,定义电流密度矢量 的方向为空间某点处正电荷的运动方向,它的大小等于单位时间内该点附近垂直与电荷运动方向的单位截面上所通过的电量。,电流密度矢量,单位 量纲,与微观量的关系：,设 n为单位体积内电子密度。导体在外电场 中，电子在杂乱无章的热运动
3、上叠加一个沿场强反方向上的定向漂移，设漂移速度为。在 时间内穿过 面的电子数,即电量为：,长度,质量,铜导线一般 n1028m-3，u0.15mm/sec 所以，电流密度大小为 j104 米/秒。,因为肌体对电的反应强弱主要取决于电流密度的大小，所以电流密度的概念在研究直流电的生理作用时很重要。,与 的关系：,设某点处电流密度为，为 面的法线方向。,通过一个有限截面 S的电流强度为：,也可称电流强度是电流密度矢量通过 S面的通量。,4.2 稳恒电流,电流的连续性方程,类似于电力线引入电流线来描述由 组成的电流分布，称之为电流场。,曲线上每一点的切线方向就是 的方向，曲线的疏密表示它的大小。,即
4、 电流线的数密度。,根据电荷守恒，在有电流分布的空间做一闭合曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于曲面内电量变化速率的负值。,电流稳恒条件,电流密度矢量的通量等于该面内电荷减少的速率.,电流连续性方程,（微分形式证明略）,*在没有分支的恒定电路中，通过各截面的电流必定相等；而且恒定电路必定是闭合的。,*恒定电流情况下的电荷分布（净电荷的宏观分布不随时间改变)产生恒定的电场与静电场服从同样的基本规律。,*电流线不可能在任何地方中断，即是闭合曲线。,如高斯定律和环路定理。电势差的概念相同。,*稳恒条件可说为电荷分布不随时间变化，即场不变时达到稳恒。,但在稳恒电场中导体内部的场强不等于零,4.3
5、 欧姆定律的微分形式和电阻,欧姆定律：,R(resistance)电阻，单位(ohm)欧姆,式中：为电阻率(resistivity)单位,适用于金属导体、电介液,它给出一段电路两端的电压与电流的关系。是实验规律。,电阻,量纲,实验表明：化学纯的金属电阻率，都很有规律地随温度的升高而增大。,为电导率(conductivity)单位,*应用：,电阻率的大小要依具体情况具体考虑，可查阅手册。,*电阻温度系数,摄氏温度,温度为零度时的电阻率,标准电阻要选用 小的如康铜等合金。,电阻温度计就是利用电阻与温度的关系制成。,Ag的=4103 1/C0,碳C的=5104 1/C0,电阻温度系数,当温度降到绝对
6、零度很低时，某些金属、合金以及化合物的电阻率会突然降到很小，这种现象称作超导电现象。,在这特定的温度下从正常态变为超导态，这温度叫做转变温度或居里点。,具有超导电性的物体称为超导体（superconductor),如He在4K以下电阻变为零。,迄今为止，已发现28种金属元素（地球的常态下）以及合金和化合物具有超导电性。还有一些元素只高压下具有超导电性。提高超导临界温度是推广应用的重要关键之一。超导的特性及应用有着广阔的前景。,例题一：一块扇形碳制电极厚为 t，电流从半径为 r1的端面 S1流向半径为 r2的端面 S2，扇形张角为，求：S1 和 S2面之间的电阻。,dr 平行于电流方向，dS 垂
7、直于电流方向。,例题二：同轴电缆的漏电阻。,例题三：碳膜电位器中的碳膜，它是蒸敷在绝缘基片厚为 t、内半径为 r1，外半径为 r2 的一层碳构成。A、B为引出端，环形碳膜总张角为 电流沿圆周曲线流动。求：A、B之间的电阻？,A、B 间电阻可视为由若干不同长度而截面相同的电阻并联而成。电导为：,欧姆定律的微分形式,取 dl 段，使其足够小其中电场均匀，由梯度定义：,它给出了空间电场分布与电流分布之间的关系。不仅适用于稳恒电流，也适用于非稳恒情况，所以它比欧姆定律更具有深刻的意义。,欧姆定律的微分形式,电流的功和功率,*电功率,*功,稳恒电流的情况下，在相同时间间隔 dt内，通过空间各点的电量 d
8、q相同。电场力对导线A、B内运动电荷做的功等于把电量 dq从A 移到 B所做的功。,电场单位时间做的功。,单位（焦耳/秒）瓦,单位（焦耳）,*热功率：定义为 单位时间消耗的热。,*热功率密度:单位体积所消耗的功,当电路中只有电阻元件时，消耗的电能全部转换为热能。热功率=电功率。,当电流通过电阻时，由于电子与晶格碰撞使离子振动加剧而温度升高发热的功率。,4.4 电动势,电源、非静电力,如图，在导体中有稳恒电流流动就不能单靠静电场，必须有非静电力把正电荷从负极板搬到正极板才能在导体两端维持有稳恒的电势差，,在导体中有稳恒的电场及稳恒的电流。,*提供非静电力的装置就是电源，如化学电池、硅（硒）太阳能
9、电池，发电机等。实际上电源是把能量转换为电能的装置。,静电力欲使正电荷从高电位到低电位。,非静电力欲使正电荷从低电位到高电位。,电动势,*定义描述电源非静电力作功能力大小的量，就是电源电动势。,电源内部电流从负极板到正极板叫内电路。,电源外部电流从正极板到负极板叫外电路。,把单位正电荷从负极板经内电路搬至正极板，电源非静电力做的功。,*为了便于计算规定 的方向由负极板经内电路指向正极板，即正电荷运动的方向。,单位：焦耳/库仑=（伏特）,*越大表示电源将其它形式能量转换为电能的本领越大。其大小与电源结构有关，与外电路无关。,内电路,非静电力,因为电源外部没有非静电力，所以可写为：,单位时间内非静
10、电力所做的功。,*电源的瞬时功率,电源电动势 等于电源维持单位电流时所做的瞬时功率。,中间有一素瓷板离子可以自由通过但两侧溶液不掺混。铜极板上有Cu+离子沉积，在锌极板处Zn+溶解；动态平衡下溶液内各处电位相等。,电源开路时：A、B、C、D各处电位如图所示,电位跃变由电源决定,电源开路时，路端电压等于电动势。,*电源充放电时的路端电压（以丹聂尔电池为例）,放电时,充电时,定义为内阻上压降,4.5 直流电路,闭合电路的欧姆定律,一段含源电路的欧姆定律,电路中任意两点之间的电势差：,基尔霍夫方程组,例：双电源供电电路,例：电桥,例：电势差计,4.6 电容器的充放电过程(RC电路的暂态过程),目录,
11、作业：6-8，6-12，6-14,4.3 直流电路,一段含源电路的欧姆定律,放电时,充电时,电动势,4.3 直流电路,由能量守恒及转换定律得：,为电池消耗于内电阻上的功率。,为电池的输出功率。,为电池的化学能功率。,闭合电路的欧姆定律,电路中任意两点之间的电势差：,当不能忽略电源内阻时，可把电源等效成一个电动势为，内电阻为零和一个电阻为 的串联。,#电流与巡视方向相同时，电阻上压降前为负，反之为正。,#当电动势方向与巡视方向相同时，其前为正，反之为负。,巡视方向,末端,因为,所以,通过节点电流的代数和为零。,基尔霍夫第一组：也称为节点的电流方程。,基尔霍夫方程组：,支路 branch 把任意一
12、条电源和电阻串联的电路叫做支路,回路 loop 把 n条支路构成的通路叫做回路,节点 node 三条或更多条支路的汇集点叫做节点。,基尔霍夫第二方程组：也称为回路的电压方程。,若有 个节点，则有 个电流方程。,计算结果电流为正值，说明实际电流方向与图中所设相同。若电流为负值。表明实际电流方向与图中所设相反。,三条支路,两个节点,任一回路电压降的代数和为零。,可解出 条支路的电流。,计算结果电流为正值，说明实际电流方向与图中所设相同。若电流为负值，表明实际电流方向与图中所设相反。,例：双电源供电电路,基尔霍夫第二方程组,第一方程组,常系数线性方程组可解,巡视方向,例：电桥(electric br
13、idge),*桥路平衡时，,所以：,一般情况：,ABDA回路,BCDB回路,ABEFA回路,ABCDA回路是不独立,例：电势差计电路如图,是标准电动势,是待测电动势,工作时在合上开关 后，将、合到 一侧，在保持 不动的情况下，调整电阻 使电流计 中无电流。,此时电流全部流过AB电阻丝，可列出回路电压方程：,保持R不变将、合到 一侧，调整滑动接头的位置直到电流计 中无电流，同理可得：,AB电阻丝是均匀的，它的一段电阻和长度成正比，所以：,4.6 电容器的充放电过程(RC电路的暂态过程),充电,放电,一阶线性常系数齐次微分方程,一阶线性常系数非齐次微分方程,用分离变量解方程,初始条件：,设 为时间
14、常数，,初始条件：,放电,充电,用下述关系式可求出 及 各量的值，表明 时基本结束充放电过程。,具有时间的量纲。单位:秒,相当于电容短路时的电流,电容器充电图形,电容器放电图形,电容器的充放电过程是从一个稳定状态到另一个稳定状态的过渡过程，也叫做暂态过程。它并不是稳恒过程，只有在一定条件下才能使用基尔霍夫方程组。,根据相对论，当极板上电量变化比较慢时，以致于回路的尺度比光速在时间常数内传播的距离小得很多时（c)，电场虽然变化，但在任意时刻，回路范围内的电场都十分近似地由该时刻的电荷分布所决定。因而这电场就可以按稳恒电场处理。,这种缓慢变化的电场叫似稳电场。,电容与电阻串联电路中，A、B为输入端，输入方波UAB，其宽度远大于时间常数,应用：微分电路,在电阻上取输出，输出两个正反脉冲。,如输入幅度 UAB=10伏，T=0.2秒，R=100k，C=100pF,输入、输出具有微分的关系。,充电时R上压降,放电时R上压降,
