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1、,第四节 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,四、小结 思考题,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,特点：,一、空间曲线的一般方程,【注】空间曲线用一般方程表示,表达式形式不唯一.见后附注,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,【例1】方程组 表示怎样的曲线？,【解】,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,【例2】方程组 表示怎样的曲线？,【解】,上半球面,圆柱面,交线如图.,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数
2、方程,动点M 从A 点出发，经过 t 时间，运动到 M 点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,【解】,P,圆柱面,a,x=y=z=,acos,b,M(x,y,z),asin,M,N,Q,螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的 角度成正比,螺旋线又称圆柱螺线,螺线从点 P Q,当 从 0 2，,叫螺距,【例4】将下列曲线化为参数方程表示:,【解】(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,三、空间曲线在坐标面上的投影,1.设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得,则C 在xoy 面上的投影曲线 C 为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在
3、zox 面上的投影曲线方程,投影柱面,如图:【总结】投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,【例5】求曲线 在坐标面上的投影.,【解】,(1)消去变量 z 后得,在 面上的投影为,所以在 面上的投影为线段.,（2）因为曲线在平面 上，,（3）同理在 面上的投影也为线段.,1,【解】,得交线L：,【例6】,由,.,1,L,.,.,.,投影柱面,【解】,得交线L：,由,【例6】,L:,附注空间曲线作为投影柱面的交线,(消去z),y 2=4x,y2=4x,L:,(),消去z,(消去x),.,y2+(z 2)2=4,y2+(z 2)2=4,y2=4x,
4、y2=4x,附注空间曲线作为投影柱面的交线(1),L：,L:,L,(),转动坐标系，有下页图,.,消去z,(消去x),.,y2+(z 2)2=4,y2=4x,y2+(z 2)2=4,y2=4x,说明了L 的一般方程表达形式不唯一,附注空间曲线作为投影柱面的交线(1),L：,L,y2+(z 2)2=4,y2=4x(消去z),y 2+(z 2)2=4(消去x),y2=4x,附注空间曲线作为投影柱面的交线,2.空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,【例7】,【解】,【注意】空间立体或曲面在坐标面上的投影是该坐标面上的一块区域,或一段曲线.故一般用不等式表示.,所围的立体在 xoy 面上的
5、投影区域为:,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域.,四、小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,空间曲线在坐标面上的投影,(如,圆柱螺线),空间立体或曲面在坐标面上的投影,一般用不等式（组）表示投影区域,思考与练习,P37 题 1，2，7（展示空间图形）,题1,(2),(1),答案:,(3),P37 题2(1),【思考】,交线情况如何?,交线情况如何?,P37 题2(2),P37 题 7,备用题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,【解】,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,
