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1、2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),1,等离子体天体物理学导论,中国科学院国家天文台颜毅华,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),2,第三部分 动力论等离子体物理 D.B.Melrose,在等离子体的动力论里，粒子由分布函数描述，其演化由运动方程所确定。等离子体中的波动谱包含弱阻尼波的分布。可以通过对这些波动进行平均而得到粒子的平均动力方程，有时也其称为准线性方程。这些动力方程描述了波（可衰减或放大）和粒子（在动量空间扩散）的慢演化。第一、二章 首先介绍准线性方程的推导第三五章 准线性方程用来处理共振散射及相关问题第六九章 介绍不同天体物理对象中的辐射过程 辐射过
2、程也可用前两章介绍的理论来处理。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),3,第一章 粒子和波的分布,1.1 等离子体的线性响应,为了推导准线性方程的一般形式，需要等离子体中的波和波粒相互作用的一般理论。本章介绍的理论可在下列著作中找到更详细的描述。Melrose D.B.(1980):Plasma Astrophysics,vol.I,II,Gordon&Breach Melrose D.B.(1986):Instability in Space and Laboratory Plasma,Cambridge University PressMelrose D.B.&McPhed
3、ran R.C.(1991):Electromagnetic Processes in Dispersive Media,Cambridge University PressKaplan S.A.&Tsytovich V.N.(1977):Plasma Astrophysics,Pergamon,考虑具有电荷q 和质量m 的类粒子（=e为电子，而=i为离子），其分布可由x-p六维相空间的代表点处的粒子密度来描述。其中x是位置向量，而p为粒子动量。等离子体的动力论表述是基于一组描述分布函数如何因波粒及粒子间相互作用而演化的动力方程。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),4,1.1
4、.1 Vlasov方程,等离子体动力论的基本方程称为Vlasov方程，包括如下内容。1）适用于每类粒子的Boltzmann方程(它是由粒子数守恒得到的)：,其中f(p,t,x)是类粒子的单粒子分布函数。方程右端项表示等离子体中的碰撞效应，并且它可在“无碰撞等离子体”中被忽略掉。2）一对根据单粒子分布函数确定电荷和电流密度的方程：,其中求和对所有粒子进行。3）在SI单位制下的Maxwell方程：,其中源项和J与方程(1.2)-(1.3)中相同。,请更正,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),5,如果存在静磁场B0，则称等离子体为磁化的。在磁化等离子体中，未摄动的分布函数仅依赖于平行
5、和垂直于磁场方向的动量分量p 和p。这是由于粒子沿着磁力线作螺旋运动，于是回旋相位是时间的线性函数，然而分布函数的未摄动部分f(0)应与时间无关，于是不能与回旋相位有关。同样的理由，在时变系统中不允许有电场的静止平行分量。电场的静止垂直分量E0表明所有粒子以速度E0B0/B02漂移。做洛伦兹变换到一个无静止电场的参考系上，可将其去掉。在Vlasov方程中，E和B是自恰场，为分布函数的泛函。尽管形式简单，(1.1)形式的方程是一组关于分布函数f的非线性耦合的积分-微分方程。,1.1.2 Fourier变换,如果可分解成两种时间尺度将有利于分析。其一是在短时标上的等离子体波动，这包括各种波模的波。
6、这些波动可由Fourier变换处理。其二是分布函数在对波动谱平均后的长时标演化。准线性方程就反映了该长时标的演化过程。对于包含波动的函数f(t,x)，其Fourier变换定义为：,逆变换是：,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),6,Maxwell方程(1.4)-(1.7)的Fourier变换形式为：,其中方程(1.13)是冗余的，因为它可由(1.10)推出。,1.1.3 线性化的Vlasov方程,在弱湍流理论中，将分布函数展成波动场的幂级数形式，可以求解Vlasov方程：,其中f0(p)是未扰动的分布函数，f1(p,t,x)是E和B的线性函数，余以此类推。在线性化和Fourie
7、r变换之后，对于未磁化的粒子，方程（1.1）成为：,由上式可以很容易地解出 f(1)。利用(1.10)将B(,k)以E(,k)表示，最后得到f(1)(,k)是E(,k)的线性函数。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),7,对(1.3)确定的电流密度作Fourier变换，可得到等离子体的线性响应，这时分布函数只取线性项f(1)。最终的线性电流可表示成：,其中ij(,k)是电导率张量。(1.16)的左端项里通过电荷连续性条件的Fourier变换：(,k)=k.J(,k)，已包括了电荷密度项。而右端项也通过(1.10)包含了磁场以及电场的效应。通常将线性响应以如下的等效介电张量来描述
8、：,1.1.4 线性响应,其中ij 是单位张量。等效介电张量Kij（或电导率张量ij）完全确定了介质的线性响应。因此，如果人们提及：,“磁声介质”、“冷等离子体”、“磁化热等离子体”,则分别意味着Kij(,k)具有用,“磁声模型”、“冷等离子体模型”、“磁化热等离子体模型”,计算时的特定形式。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),8,1.2 波的基本理论,在这里，“波”表示波动方程的平面波解。其中波动方程由Maxwell方程的时空Fourier变换推导得出，并包括了由(1.16)确定的线性响应。,1.2.1 波动方程,将Maxwell方程组的Fourier变换形式(1.10)-
9、(1.13)进一步推导，可得到单一的波动方程。注意到(1.13)是冗余的，(1.10)将B(,k)用E(,k)来表示，(1.12)则以J(,k)定义了(,k)的表达式。电流密度分解成由(1.16)给出的线性响应部分和作为源项的外部电流项。如果忽略外部电流，则剩余的方程退化为齐次波动方程：,其中=k/|k|是沿着k的单位矢量。,1.2.2 色散方程,齐次波动方程(1.18)可当成关于E(,k)的三个直角分量的联立方程组。从这个观点来看，(1.19)成为矩阵系数。于是方程组解存在的条件是该矩阵行列式为零。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),9,该行列式为：,以这种方式，齐次波动方
10、程的解的存在条件确定了色散方程：,1.2.3 色散关系,根据自变量和因变量的不同选择，可以不同的方式求解色散方程。其中一个选择是将因变量取成，于是求解（1.21）得到作为k 的函数的。对于任一个特定波模M的色散关系可写成：,于是(M(k),k)=0。常常将k 写成k=k 的形式会很便利,，其中k=|k|是波数，是沿着k的单位矢量，也称为波的传播方向、波阵法向或波的法向。在电磁理论中常常选择的另一种独立变量是折射指数n=kc/。通常以折射指数的平方作为和一个适当角度的函数来求解方程。这样，在模式M中的波的色散关系为：,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),10,1.2.4 偏振矢量
11、,当满足关于波模M的色散关系时，齐次波动方程存在一个解。于是求解波方程（1.18）得到电场E。对这个解进行归一化就定义了关于波模M的偏振矢量eM。通常，偏振矢量包含有纵向和横向分量。严格的纵向偏振矢量对应着e=。偏振矢量为纵向的波称为纵波。通常，在磁化等离子体中，任意波模的偏振矢量可写成下列形式：,在磁场B=B(0,0,1)沿着z轴的坐标系里，k在x-z平面里与B成角度，则有：,参数LM，TM分别反映偏振的纵向和横向分量。通常横向偏振是椭圆的，而TM是椭圆的轴比。TM=1（-1）对应着右旋（左旋）圆偏振；TM=0 对应着沿着a 的线偏振；而TM=对应着沿着t 的偏振。手征性按照E 相对于的螺旋
12、方向定义。,1.2.5 电能与总能量之比,任意波模的另一个特征参量是电能与总能量之比RM。总能量包括电能、磁能和与波的受迫粒子运动相协的动能（有时称为“骑行”-sloshing about）。对于具有以(1.24)式表示的偏振矢量的波，其电能与总能量之比为：,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),11,1.3 特殊波模,在动力论等离子体物理中将出现几种不同的波动模式，以下是相关波的简要介绍（参见:Stix1962;Akhieser等1967;Lifshitz&Pitaevskii1981）。,在含有电子（电荷-e，质量me）和单一离子（电荷+Zie，质量mi）的非磁化等离子体中，
13、等离子体参数包括：,1.3.1 非磁化等离子体中的波,电子数密度 n e 离子数密度 n i=ne/Zi(电中性)电子温度 Te离子温度 Ti（两者可不同）,等离子体频率 p=(e2ne/0me)1/2离子等离子体频率 pi=(Zi2e2ni/0mi)1/2 热速度 Ve=(Te/me)1/2和 Vi=(Ti/mi)1/2,这些参数确定了：,其中Boltamann常数设为一。电子德拜(Debye)长度为De=Ve/p而离子声速为vs=piDe。在处理各向同性热等离子体中的波时，有三种模式：一个横波模，两个纵波模,横(传)波：横电磁波（记为T）的电矢量垂直于传播方向，并且对于高频p，在真空里退化
14、为电磁波。其色散关系是：,(1.27)中的折射指数小于1，并且在=p时为0，称为截止。在n20 的频率上（此处对应着p），波是消散的。所有入射到消散波区的波动能量都被反射。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),12,Langmuir波：朗缪尔(Langmuir)波（记为L）是电子等离子体振荡，其色散关系是：,只有相速度是好几倍Ve的Langmuir波才能存在。因为它们在低相速时被Landau阻尼所抑制。朗道阻尼是对应于琴伦柯夫(Cerenkov)辐射时的吸收过程，将在第二章里介绍。,离子声波：离子声波（记为S）只在低于pi 的范围内存在。其色散关系是：,除非Te1，或Zi1，否
15、则这些波将被热离子的朗道阻尼所强烈抑制，实际上不能存在。,1.3.2 磁离子波,磁离子理论是关于波在低温磁化电子气体中的理论。在这种等离子体模型中，只考虑电子在均匀磁场中的运动，并忽略这些电子的热运动。通常假定离子形成带正电荷的背景场，但实际上不起作用。在该理论中只有两个独立参数：p 和电子回旋频率 e=eB/me。在这种情况下的色散方程可写成关于n2 的二次方程。两种解分别称为寻常和非常波模（Ordinary or Extraordinary modes）。每种解都有被消散波区构成的禁带所分离的两个分支。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),13,如图所示，两个高频分支称为o
16、模和x模。它们相当于横波在各向同性等离子体中的磁分裂结果。它们分别在p和下述情况下截止：,两个低频分支称为z模和哨声模。对于p e，当n2 时，它们分别在p和e处谐振。接近谐振时，z模可当作朗缪尔波的磁化形式；然后需要在动力论中考虑热效应。哨声波的作用后文在述。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),14,1.3.3 磁流体波,在无碰撞等离子体中的磁流体波（hydromagnetic waves）非常类似于磁化可压缩流体中的磁流体力学波（MHD waves）。在可压缩MHD波中，有两个特征速度：声速cs和阿尔芬速vA 在MHD理论中，有3个波模：阿尔芬波模、和快、慢磁声波模 阿尔
17、芬波是磁场中的扭转波，而快慢磁声波分别对应变化了的磁声波和气体声波。对于无碰撞等离子体中的磁流体波：MHD理论中的声速cs由离子声速vs取代。此处仅介绍vA vs时的阿尔芬模和磁声模。,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),15,1.4 波的分布,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),16,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),17,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),18,第二章 波粒共振,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),19,2.1 非磁化等离子体中的共振,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),20
18、,2.1.1 琴伦克夫锥,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),21,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),22,2.1.2 半经典解释,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),23,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),24,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),25,2.1.2 尾瘤不稳定性,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),26,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),27,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),28,2.2 磁化等离子体中的共振,2023/7/28,等离子体天
19、体物理课程讲义(6),29,2.2.1 半经典解释,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),30,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),31,2.2.2 共振椭圆,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),32,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),33,2.3 自发辐射概率,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),34,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),35,2.3.1 爱因斯坦系数,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),36,2.3.2 动力论方程,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),37,2.4 准线性方程,2.4.1 吸收系数,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),38,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),39,2.4.2 非磁化粒子在动量空间的扩散,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),40,2.4.3 磁化粒子在动量空间的扩散,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),41,2023/7/28,等离子体天体物理课程讲义(6),42,
