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1、第二章 控制系统的数学模型,本章主要内容：控制系统的模型建立系统的微分方程模型建立系统的传递函数模型建立系统的动态结构图并化简自动控制系统的传递函数定义,一、控制系统的模型,模型：经原系统简化了的系统，并能反映系统所代表的全部重要特征。模型的分类,数学模型定义：控制系统的输入输出变量以及中间变量之间关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指标，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。,常用的有微分方程、传递函数、动态结构图、状态方程等,建模的方法分析法：从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，推导出输入量
2、和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型。实验法：对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统输出响应，从而建模。,微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。,二、控制系统的微分方程模型,例：RC无源网络 解：Uc是被控量，Ur是给定量 列出方程组如下：,Ur=UC+RI I=C,例：列写直流调速系统的微分方程解：输入：Ur 输出：w列出方程如下：Tm：电动机的时间常数Kf：测速机输出电压斜率Km：电动机增益时间常数（电压转速传递函数）,消去中间变量得,建立系统微分方程模型的一般步骤：,根据实际
3、工作情况，确定系统和各元件的输入，输出变量；从输入端开始，按照信号的传递顺序，依照各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写处在变化（运动）过程中的动态方程（一般为微分方程）；消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；标准化：与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系数回代为具有一定物理意义的形式。,例：求 RC 网络中，当Ur为单位阶跃输入信号时，被控信号Uc的变化曲线。解：方法一（1）先求对应齐次线性方程的通解,求线性微分方程的解,由给定输入信号时的输出信号来分析系统性能。方法1：常规解法,（2）使用常数变易法求非齐次线性方程的特解 即,两端积分得,代
4、入非齐次方程中得,（3）得非齐次方程的解为,方法2.用拉氏变换求解线性微分方程,Laplace变换 Lf(t)=F(s)从时域复域,定义：,举例：,常用函数的Laplace变换：,终值定理：,拉普拉斯变换基本定理：,微分定理：,延迟定理：,初值定理,例：求 RC 网络中，当Ur为单位阶跃输入信号时，被 控信号Uc的变化曲线。解：方法二 借助拉氏变换求解微分方程,问题：如何求uc(t)?,拉氏反变换先将拉氏变换进行部分分式分解，然后再用指数函数的拉氏反变换。,首先将F（s）的分母多项式A（s）进行因式分解，即写为,1A（s）=0无重根,2.有重根情况,将诸待定常数求出后代入F(s)式，取反变换求
5、得f(t),注：,如上例：,例：已知，求f(t).,解：,用拉氏变换求解微分方程,1.将微分方程进行拉氏变换(积分下限为0-），得到以S为变量的代数方程；2 解代数方程，得系统输出变量的象函数表达式；3 进行拉氏反变换，得微分方程的解。,微分方程转化为多项式,用拉氏变换求解微分方程的优点,微分定理：,三、控制系统的传递函数模型,定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量 的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。,1、传递函数的概念和定义,设初始值uc(0)=0,从微分方程模型到传递函数,2零初始条件的含义：输入作用是在t=0 以后才作用于系统，系统在输入作用前相对静止，3、传递函数的性质：G(S)取
6、决于系统的结构与参数，与输入量的形式和 大小无关.,传递函数分子的阶次一般都小于分母的阶次。,传递函数的零、极点 传递函数分子多项式=0 的根零点传递函数分母多项式=0 的根极点,例：系统的闭环传递函数为 S+2 G（S）=-（S+3）（S+1+j）(S+1-j)零点：-2 极点：-3，-1-j,-1+j,3、典型元部件的传递函数,比例环节（无惯性环节）微分方程：Xc（t）=k Xr（t）传递函数：G（S）=k 具体对象：比例放大器、电位器,积分环节微分方程：传递函数：,具体对象：a.电容,c比例积分(PI调节器 proportion integral),b运算放大器电路,微分环节,具体对象：
7、a 电感 b.理想微分,微分方程：,传递函数：,il,ul,一阶惯性环节微分方程：传递函数：具体对象：具有一个储能元件的电路,一阶微分环节,微分方程：,传递函数：,PD调节器(ProportionDifferential),二阶振荡环节,微分方程,传递函数,具体对象：RLC无源网络,二阶微分环节,微分方程,传递函数,时滞环节,微分方程：Xo（t）=Xi（t-）传递函数：G（S）=e s 具体对象:延时环节,延迟环节是一个非线性的函数，有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：,4.建立复杂系统的传递函数：,由系统的微分方程取拉氏变换,电路系统，由复阻抗直接建立,动态结构图化简,例1
8、：列写直流调速系统的传递函数解：输入：Ur 输出：w列出微分方程如下：,消去中间变量得,得,零初始条件，取拉氏变换得,例2：试建立如下系统的传递函数模型。,作业1:46页 2-1，2-4:,作业2:补充题：系统在输入信号 作用下,测得响应为,又知系统的初始状态均为零状态,试求系统的传递函数.,四、动态结构图 1、组成 信号线（有方向性）分支点（各处相等）相加点（有加减号）方框（传递函数）,例：建立直流调速系统的结构图,2、建立,1 建立各元部 件的微分方程,3、化简,串联方框的等效,证：U(S)=G1(S)R(S)C(S)=G2(S)U(S)消去U(S)得C(S)=G1(S)G2(S)R(S)
9、=G(S)R(S)G(S)=G1(S)G2(S),并联方框的等效,证：C1(S)=G1(S)R(S)C2(S)=G2(S)R(S)C(S)=C1(S)+C2(S)=G1(S)+G2(S)R(S)=G(S)R(S)G(S)=G1(S)+G2(S),方框反馈连接的等效,证：C(S)=G(S)E(S)B(S)=H(S)C(S)E(S)=R(S)-B(S)消去中间变量E(S)和B(S)，得：C(S)=G(S)R(S)-H(S)C(S),G(s)：主通道的传递函数H(s)：反馈通道的传递函数,整理后得：,G(S)C(S)=R(S)=(S)R(S)1+G(S)H(S),G(S)(S)=1+G(S)H(S)
10、,例1：化简方框图,例2：化简方框图,相加点移动规则,后移,前移,相加后输出点信号大小保持不变。,分支点移动规则,前向通道传递函数的乘积保持不变。,前移,后移,注意：相临的信号相加点位置可以互换；见下例,同一信号的分支点位置可以互换：见下例,相加点和分支点在一般情况下，不能互换。,所以，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。,结构图等效变换方法,1 三种典型结构可直接用公式,2 相邻相加可互换位置,3 相邻分支点可互换位置,注意事项：,1 不是典型结构不可直接用公式,2 相加点分支点相邻时，不可互换位置,4 化简的原则：不改变系统的传递函数,例：化简方框图,4框图变换,此例说明交叉点左右移动
11、对传递函数的影响，跨越求和点要注意。,交叉反馈,2,1,顺馈的例子：,变换框图：,+,也可把它看成是双输入系统,五、自动控制系统的传递函数(掌握）闭环控制系统的典型结构,1、系统的开环传递函数 GK(S)=G1(S)G2(S)H(S),系统的开环传递函数 开环系统的传递函数。,2、r(t)作用下系统的闭环传递函数 令n(t)=0 CR(S)G1(S)G2(S)(S)=R(S)1+G1(S)G2(S)H(S),3、n(t)作用下系统的闭环传递函数 令r(t)=0 CN(S)G2(S)N(S)=N(S)1+G1(S)G2(S)H(S),系统的总输出 C(S)=CR(S)+CN(S)G1(S)G2(
12、S)R(S)G2(S)N(S)=+1+G1(S)G2(S)H(S)1+G1(S)G2(S)H(S),例:有扰动输入的情况,c)为使y不受扰动f的影响应如何选？,闭环系统的误差传递函数 系统的误差：e(t)=r(t)b(t)E(S)=R(S)B(S),4、r(t)作用下系统的误差传递函数,令n(t)=0 Er(s)1er(S)=R(s)1+G1(S)G2(S)H(S),5、n（t）作用下系统的误差传递函数,令r（t）=0 En(s)G2(S)H(S)en(S)=N(s)1+G1(S)G2(S)H(S),系统的总误差E(S)=r(S)R(S)+n(S)N(S)R(S)G2(S)H(S)N(S)=1
13、+G1(S)G2(S)H(S),特点：传递函数的分母均相同（D(s)=1+Gk(s)特征多项式，特征方程，特征根）,补:信号流图及梅逊增益公式（了解）,1、信号流图的起源,信号流图的起源是梅逊（mason)利用图解法表示一个或一组线性方程组并图解求解的方法。（1956年）,2、信号流图的表示,节点表示系统的变量，从左到右顺序设置。分为输入节 点，输出节点，混合节点 支路相当于乘法器。信号在支路上只能沿箭头单向传递。,前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通 过一次的通路。前向通路增益为各个支路的增益乘积。回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于 一次的闭合通路成为回
14、路。回路增益：回路中所有支路增益乘积。不接触回路：回路之间没有公共节点时，称不接触回路。,3、梅逊增益公式,来源：按克莱姆法则求解线性联立方程组时，将解的分子多项式及分母多项式与信号流图巧妙联系的结果。,例：,作业:46页 2-5,2-6,2-7:,Matlab中系统数学模型的表示、转换,1、传递函数模型,num=2 5 3 6（多项式分子）numeratornum=2 5 3 6 den=1 6 11 6;（多项式分母）denominator,sys=tf(num,den);sysTransfer function:2 s3+5 s2+3 s+6-s3+6 s2+11 s+6,2、零极点模型
15、,z=-1,-2；（零点）zero p=-1+i,-1-i,-3;（极点）polek=2;,sys=zpk(z,p,k)Zero/pole/gain:2(s+1)(s+2)-(s+3)(s2+2s+2),3.传递函数到零极点,r,p,k=tf2zp(num,den),num=2,5,3,6;den=1,6,11,6 z,p,k=tf2zp(num,den)z=-2.3965-0.0518+1.1177i-0.0518-1.1177ip=-3.0000-2.0000-1.0000k=2,num,den=zp2tf(z,p,k);printsys(num,den)num/den=4 s2+16 s
16、+12-s4+12 s3+44 s2+48 s,4.由零极点到传递函数,z=-1,-2；p=-1+i,-1-i,-3;k=2;,num=2 5 3 6（多项式分子）numeratornum=2 5 3 6 den=1 6 11 6;（多项式分母）denominator r,p,k=residue(num,den)（残余，残数）r=-6.0000-4.0000 3.0000p=-3.0000-2.0000-1.0000k=2,5用Matlab进行部分分式展开,留数,极点,余项,6由部分分式返回到多项式num,den=residue(r,p,k);printsys(num,den)num/den=
17、2 s3+5 s2+3 s+6-s3+6 s2+11 s+6,7.系统的串联、并联及反馈sys=series(sys1,sys2);sys=parallel(sys1,sys2);sys=feedback(sys1,sys2,sign),sign 反馈的符号，负反馈时可缺省，正反馈时为+1,num1=1,2;den1=1,2,3;sys1=tf(num1,den1);num2=2,3;den2=1,3,4;sys2=tf(num2,den2);num3=1,4;den3=4,5,6;sys3=tf(num3,den3);sys=series(sys1,sys2,sys3)?Error usin
18、g=lti/seriesWrong number of arguments(must be 2 or 4).sys4=series(sys1,sys2);sys=series(sys3,sys4)Transfer function:2 s3+15 s2+34 s+24-4 s6+25 s5+83 s4+163 s3+211 s2+162 s+72,sys=feedback(sys1,sys2)Transfer function:s3+5 s2+10 s+8-s4+5 s3+15 s2+24 s+18,sys=feedback(sys1,sys2,+1)Transfer function:s3+5 s2+10 s+8-s4+5 s3+11 s2+10 s+6,作业:48页 2-13,2-14,
