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1、第二章 二维线性系统分析,第二章 二维线性系统分析 2-1 线性系统 一、线性系统的定义,用算符表示系统,定义：,=a1 g1(x,y)+a2 g2(x,y),若对任意复常数a1,a2有：,则称该系统为线性系统。,2-1 线性系统线性系统具有叠加性质,线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合。,2-1 线性系统线性系统具有叠加性质,光学系统可看成二维线性系统 常用“基元”函数有d 函数、复指数函数等等。,2-1 线性系统 二、脉冲响应和叠加积分,系统对处于原点的脉冲函数的响应：,系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应：,在线性系统中引入脉冲响应的意义
2、：,1.任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合。,2.若已知线性系统的脉冲响应函数，则系统的输出为脉冲响应函数的线性组合。,2-1 线性系统 二、脉冲响应和叠加积分任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合,根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:,此式的物理意义：脉冲分解,函数 f(x,y)可以看成输入(x,y)平面上不同位置处的许多d 函数的线性组合。每个位于(x,h)的d 函数的权重因子是 f(x,h)。,2-1 线性系统 二、脉冲响应和叠加积分线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合,对于线性系统：,只要知道各个脉冲响应函数，系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合。问题是如
3、何求对任意点的脉冲d(x-x,y-h)的响应h(x,y;x,h),成像光学系统的输出,脉冲分解,脉冲响应,叠加积分,2-2 二维线性不变系统 一、二维线性时不变系统,设系统在 t=0时刻对脉冲的响应为 h(t)，即:,若输入脉冲延迟时间 t，其响应只有相应的时间延迟t，而函数形式不变，即,则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随所考察的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不变性。,则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随所考察的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不变性。,2-2 二维线性不变系统一、二维线性时不变
4、系统,实际物理系统大多可近似为平移不变系统。,对一般系统而言，脉冲响应函数的形式可能是点点不同的,只有对一类特殊的系统线性空不变系统，h(x,y;x,h)=h(x-x,y-h)成立，分析可以得到简化。,2-2 二维线性不变系统 二、二维线性空不变系统脉冲响应函数h(x,y;x,h)的求法：,2-2 二维线性不变系统二、二维线性空不变系统,一个二维脉冲函数在输入面上位移时，线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即：,线性不变系统的脉冲响应：,线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变化。,这样的系统称为二维线性空不变系统。,h(x
5、,y;x,h)=h(x-x,y-h),推广到二维空间函数,2-2 二维线性不变系统二、二维线性空不变系统例：,空不变(二维)系统：等晕成像系统,h(x-x;y-h),光学成像系统在等晕区内是空间不变的。,例,2-2 二维线性不变系统 二、二维线性空不变系统输入输出关系：空域,输出是输入与脉冲响应函数的卷积。这也是线性空不变系统的判据。,2-2 二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数,传递函数是脉冲响应函数的.F.T.,2-2 二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数,注意,H(fx,fy)是 h(x,y)的F.T.，即h(x,y)的频谱函数,h(x,y)是对d(x,y)函数的响应,d
6、 函数的频谱恒为1，即含有所有频率成分，并且各频率成分的权重都相等（=1）。,但h(x,y)的频谱已经改变成H(fx,fy),H(fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响应，即频率响应。,2-2 二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数,G(fx,fy)=F(fx,fy)H(fx,fy),输入：,2-2 二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数例：,输入频谱：,输入：,2-2 二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数例：,传递函数,2-2 二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数例：,G(f)=F(f).H(f),输出频谱：,2-2 二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数
7、例：,输出：,输出频谱：,g(x),注意,H(fx,fy)是 h(x,y)的F.T.，即h(x,y)的频谱函数,h(x,y)是对d(x,y)函数的响应。,d 函数的频谱恒为1，即含有所有频率成分，并且各频率成分的权重都相等（=1）。,但h(x,y)的频谱已经改变成H(fx,fy),H(fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响应，即频率响应,2-2 二维线性不变系统 三、线性不变系统的传递函数,2-3 抽样定理,脉冲分解,脉冲响应,叠加积分,2-3 抽样定理,问题的提出：对于一个连续的物（模拟信号），是否必须采集物的所有点（用无穷多个d 函数的线性组合来表示），才能表达物所包含的全部信息？,答：
8、为了完全描述一个频带受限制的信号(限带信号)，可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样。,2-3 抽样定理 一、函数的抽样,上式表明，抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为X和 Y的d 函数阵列构成，每个d 函数下的面积正比于该点的函数值。,将连续函数g(x,y)在间隔为X和Y的分立的空间点上抽样，就是与梳函数相乘的过程。抽样后的函数系列用gs(x,y)表达：,2-3 抽样定理 一、函数的抽样二维情形,2-3 抽样定理 二、抽样函数gs(x,y)的频谱,经过抽样后函数的频谱，是原连续函数的频谱以间隔1/X，1/Y 重复平移并叠加。,如果G(fx,fy)频带无限制，则这些频谱函数必然会叠加。,G
9、s(fx,fy),即使G(fx,fy)是频带有限的函数，若X,Y取值不合适，这些重复的频谱函数之间也会互相重叠。,只有使这些频谱函数互不重叠，才有可能用滤波的方法，从中提取出原函数的频谱，进而求出原函数。,2-3 抽样定理 二、抽样函数gs(x,y)的频谱,2-3 抽样定理 三、抽样间隔,Gs(fx,fy),(2)原函数抽样时，在x方向和y方向抽样点的间隔 X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By)，,则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠,有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱G，进而求出原函数。,2-3 抽样定理 三、抽样间隔,则Gs中各个区域（间隔为1/X,1/
10、Y）的频谱就不会重叠，有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱G，进而求出原函数。,称为奈奎斯特(Niquest)间隔,2-3 抽样定理 四、原函数的复原,为了从gs(x,y)中还原出g(x,y)，将gs(x,y)通过一个理想低通滤波器，只允许所有频率|fx|Bx,|fy|By 的频率分量无畸变地通过，而将此区域以外的频率分量完全阻塞。,2-3 抽样定理 四、原函数的复原,用频域中宽度2Bx和2By的位于原点的矩形函数作为滤波函数：,滤波过程：,根据卷积定理，在空间域得到：,2-3 抽样定理 四、原函数的复原,若取最大允许的抽样间隔，即X=1/(2 Bx)，Y=1/(2 By)，则用函数的抽样值
11、计算出原函数：,插值：由抽样点函数值计算非抽样点函数值,原函数在空域中表示为：,2-3 抽样定理四、原函数的复原抽样和还原的图示,X1/(2Bx),?,还原,*,2-3 抽样定理四、原函数的复原抽样和还原的图示,*,sinc函数称为内插函数,频域滤波相当于空域的插值运算,2-3 抽样定理四、原函数的复原抽样和还原的图示,抽样定理表明:在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息。,2-3 抽样定理五、抽样定理的适用性,在数学上，限带函数在空域上一定是无限扩展的函数函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内。只要信号存在于有限的时空范围，就
12、会有所有的频率分量。严格的限带函数在物理上是不存在的。,2-3 抽样定理六、空间带宽积,若限带函数g(x,y)在频域中|fx|Bx,|fy|By 以外恒等于零，即函数的带宽为Bx 和By，则函数在空域中|x|X 和|y|Y的范围内最少的抽样点数为:,2-3 抽样定理六、空间带宽积,空间带宽积的物理意义 空间信号（图像、场分布）的信息容量 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力 空间物体的自由度数或自由参数数N若g(x,y)为实函数，每个抽样值为一个实数，N=SW若g(x,y)为复函数，每个抽样值为一个复数，N=2SW 不变性，不随空间位移或频移变化(空间尺度变化引起频谱尺寸相反变化。),习题液晶显示屏尺寸为250250(mm2)，每个像元的尺寸为0.05 0.05(mm2)，计算:1.像元总数2.最高空间频率3.空间带宽积,求下列函数的傅里叶变换,
