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1、第七章 z变换、离散时间系统的z域分析,7.1 引言7.2 z变换定义、典型序列的z变换7.3 z变换的收敛域7.4 逆z变换7.5 z变换的基本性质7.6 z变换与拉普拉斯变换的关系7.7 利用z变换解差分方程7.8 离散系统的系统函数7.9 序列的傅里叶变换（DTFT）7.10 离散时间系统的频率响应特性,7.1 引言,Z变换可借助抽样信号的拉氏变换引出。,令z=esT,令T=1,7.2 z变换定义、典型序列的z变换,一、z变换定义,1.单边z变换,2.双边z变换,对于因果序列，双边z变换和单边z变换是等同的。,二、典型序列的z变换,1.单位样值函数,2.单位阶跃序列,3.斜变序列,4.指
2、数序列,5.正弦与余弦序列,7.3 Z变换的收敛域,一、收敛域定义,对于任意给定的有界序列x(n)，使z变换定义式级数收敛的所有z值的集合，称为z变换X(z)的收敛域（简写为ROC）。,对于单边变换，序列与变换式唯一对应；对于双边变换，不同序列在不同收敛域下可能有相同的变换式。,对于双边变换，必须同时给出变换式和收敛域。,z变换函数是收敛域内每一点的解析函数。,二、收敛域判定依据,Z变换级数收敛的充分条件是,绝对可和,三、序列的收敛域,1.有限长序列,2.右边序列,Rx1收敛半径,3.左边序列,Rx2收敛半径,因果序列是右边序列的一种特殊情况，此时n1=0，|z|Rx1。,4.双边序列,结论:
3、（1）有限长序列的收敛域分布在整个平面；（2）右边序列的收敛域是收敛半径的圆外部分；（3）左边序列的收敛域是收敛半径的圆内部分；（4）双边序列的收敛域若存在，则通常是环形。,左边序列和右边序列的叠加。,左边序列|z|Rx2,右边序列|z|Rx1,任何序列的单边z变换的收敛域和因果序列的收敛域类同，为|z|Rx1。,解：,（1）单边z变换,（2）双边z变换,解：,说明:（1）通常，收敛域以极点为边界，收敛域内不包含任何极点；（2）对于多个极点情况，右边序列收敛域以最外面的极点为边界；左边序列收敛域以最里面的极点为边界。,7.4 逆z变换,（求法）,（1）部分分式分解法（2）幂级数展开法（长除法）
4、（3）围线积分法（留数法）,一、部分分式分解法,对于因果序列，z变换的收敛域为|z|R，为保证在z=处收敛，须kr。,1.X(z)仅含有一阶极点,解：,2.X(z)中含有高阶极点,解：,二、幂级数展开法（长除法）,直接用长除法进行逆变换,（是一个z 的幂级数）,级数的系数就是序列x(n)。,解：,7.5 z变换的基本性质,一、线性,注：某些线性组合中，某些零点与极点相消，则收敛域可能扩大。,解：,零点与极点相消，则收敛域扩大到整个z平面。,二、位移性,1.双边z变换的位移性质,注：若x(n)为双边序列，则序列移位不会影响其ROC，仍为Rx1|z|Rx2。,2.单边z变换的位移性质,（1）x(n
5、)为双边序列,（2）x(n)为因果序列,解：,三、序列线性加权（z域微分）,四、序列指数加权（z域尺度变换）,五、初值定理,六、终值定理,注：当n时x(n)收敛，才可用终值定理。,终值存在条件：,七、时域卷积定理,注：若某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。,7.6 z变换与拉普拉斯变换的关系,一、从s平面到z平面的映射,(7)s平面沿虚轴平移s z平面中沿单位圆旋转一圈,二、z变换与拉氏变换表达式的对应,如，,7.7 利用z变换解差分方程,初始条件,若因果信号则此项为零,单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。,解：,零输入响应,零状态响应,零
6、输入响应,零状态响应,7.8 离散系统的系统函数,一、定义,系统零状态响应的z变换与激励的z变换的比值。,1.定义一,若x(n)是因果序列，则在系统零状态下，有,系统单位样值响应的z变换。,2.定义二,解：,或,二、系统的z域框图,基本单元符号：,解：,A(z),(1),三、系统函数的零极点分布对系统特性的影响,1.系统函数的零极点分布确定单位样值响应,可见，极点pk决定h(n)的波形特征，而零点zr只影响h(n)的幅度和相位。,（H(z)极点位置与h(n)形状的关系见教材。）,2.离散时间系统的稳定性和因果性,（1）稳定性,对于稳定系统H(z)的收敛域应包含单位圆在内。,（2）因果性,对于因
7、果系统H(z)的收敛域应为a|z|，包含点。,极点可在单位圆内，也可在单位圆外。,全部极点落在单位圆内,解：,解：,7.9 序列的傅里叶变换（DTFT）,一、定义,正变换,逆变换,物理意义：（1）X(ej)可以表示成无穷多个复指数信号的加权和；（2）X(ej)表示了x(n)中各个频率分量的相对大小；（3）X(ej)是连续的，并且以2为周期。,收敛条件：,二、基本性质,由于序列的傅立叶变换是z变换在单位圆上的特例，所以它也具有z变换的性质。另外，它也具有傅立叶变换的一些对称性质，这对于简化运算及求解很有帮助。,1.线性,2.时移和频移,，时域位移对应频域相移,，频域位移对应时域调制,3.序列的反
8、褶,4.奇偶虚实性,表明，复函数X(ej)的实部为偶函数，虚部为奇函数；模为偶函数，辐角为奇函数。X(ej)与X(e-j)共轭。,时域反褶对应频域反褶,5.时域卷积定理,6.频域卷积定理,，时域卷积对应频域相乘,时域相乘对应频域卷积,7.帕塞瓦尔定理,能量定理,表明，时域总能量等于频域一周期内总能量。,7.10 离散时间系统的频率响应特性,一、离散系统频响特性的定义,正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）。,系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的频率响应特性，以H(j)表示。,离散系统的频率响应特性可由系统函数得到：,是正弦序列包络频率的连续函数。,二、频响特性的几何确定法,考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。,解：,当 时，,当 时，,幅频特性,相频特性,说明：,
