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1、,三、二重积分的性质,第八节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、二重积分的直角坐标计算法,二重积分,第十一章,解法:类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xOy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极限”,令,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xOy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量
2、 M.,度为,设D 的面积为,则,若,是变量,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小块.,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:
3、,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,元素d也常记作,二重积分记作,这时,分区域 D,因此面积,可用平行坐标轴的直线来划,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,定理1.,在D上可积.,限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,例如,在 D:,上二重积分存在,二重积分几何意义:和定积分的几何意义类似,三、二重积分的性质,(k 为常数),为D 的面积,则,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D 的面积为,则有,7.(二重积分的中值定理),证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D 的面积,则至少存
4、在一点,使,使,连续,因此,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线,从而,而域 D 位于直线的上方,故在 D 上,例2.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,8.设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,四、二重积分的直角坐标计算法,设曲顶柱的底为X-型区域,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,记作,同样,曲顶柱体的底为Y-型区域
5、,则其体积可按如下两次积分计算,记作,说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,例3.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X-型区域,则,解法2.将D看作Y-型区域,则,例4.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例5.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,例6.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y-型区域,则,例7.求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,被积函数相同,且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,2.计算,其中D 由,所围成.,解:令,积分区域关于,3.计算,解:,
