《D84偏导数与全微分.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D84偏导数与全微分.ppt（43页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、,第八章,第四节,偏 导 数 与 全 微 分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一.偏导数,二.全微分,本节的教学要求,理解偏导数与全微分的概念熟练掌握偏导数和全微分的计算,重点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(一)偏导数,表示函数f(x)在x0处的变化率.,对于二元函数f(x,y),可以保持两个自变量中的一个,不变,来研究函数对于另一个变量的变化率.,一元函数f(x)在点x0处的导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,回顾一元函数的导数概念:,如在(x0,y0),保持y=y0,研究x从x0变到x0+x时函数关,于x的变化率.这就引入了偏导数的概念.,引例:,研究弦在点 x0 处的振
2、动速度与加速度,就是将,中的 x 固定于,求,t 的一阶导数与二阶导数.,x0 处,关于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,振幅,偏改变量或偏增量,全改变量或全增量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点,设函数,的某邻域内有定义,当x从x0变到x0+x,而y保持y0不变时,函数的改变量,称为函数f(x,y)对于x的偏改变量或偏增量.,类似地,函数的改变量,称为函数f(x,y)对于y的偏改变量或偏增量.,当x从x0变到x0+x,y从y0变到y0+y时,函数的改变量,称为函数 f(x,y)的全改变量或全增量.,定义8.5,在点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点,同样,如果极限,存在,
3、则称此极限为函数,设函数,的某邻域内,有定义,如果当,时,极限,存在,则称此极限为函数,导数,处对x的偏,在点,处对y的偏,导数,记作,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果函数,在平面区域D内每一点(x,y)处对,x(或y)的偏导数都存在,则称函数,x(或y)的偏导函数,简称偏导数,在D内有对,记作,注意:,记号,是一个整体记号,将分子分母拆开就,毫无意义.,这和导数符号,是不同的.,例如,若三元函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处存在对x,y,z的偏导数,在点,则,在该点的偏,类似地,可以定义一般的n(n2)元函数的偏导数.,导数为,例1,解:,机动 目录 上页 下页 返回
4、 结束,的偏导数,并求,求函数,例2,的偏导数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数,例3 设,证:,求证,例4 求,的偏导数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可以看出,就是该函数在点,即,处对于x和对于y的变化率,在点,函数,处的偏导数，,偏导数的几何意义,切线M0Tx对x轴的斜率.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示曲面,表示曲面,与平面,在空间中的点,的交线,类似地，,与平面,处切线M0Ty对y轴的斜率.,的交线,处,在空间,中的点,即使函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,不一定连续.,在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!,在该点却,即
5、二元函数,偏导数存在 连续.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,1.,作业:P362 4(1)(3)(5)(8),5(2)(4),P369 6,7,求下列函数的偏导数,2.,1.,2.,(二)高阶偏导数,一般说来，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,还是x,y的二元函数，,的偏导数也存在，,导数，,的偏导数,或,函数,如果这两个函数对自变量x和y,则称这些偏导数为函数的二阶偏,记作,共4个.,混合偏导数,仿此，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,等.,可定义二元函数更高阶的偏导数，,一共有 个.,如二元函数的三阶偏导数有,z=f(x,y
6、)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶,偏导数为,例5,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的各二阶偏导数,求,例6,求,的各二阶偏导数,解:,可以证明：当二阶混合偏导数,连续,必有,时,否则,二者不一定相等.,例如,二者不等,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“若混合偏导数连续,则混合偏导数与求导的顺序,例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:,的结论对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶,混合偏导数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点
7、(x,y,z)连续时,有,而初等,无关”,例7,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,验证,满足,类似地,有,类似地,有,所以,例8,P+P时需求量Q的平均变化率，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,需求量Q对于价格P的偏改变量为,函数,设某货物的需求量Q是其价格P及消费者收入Y的,当消费者收入Y保持不变，,P，,价格P改变,而比值,是价格由P变到,格为P,消费者收入为Y时,需求量Q对于价格P的变化率，,称为需求对价格的偏弹性.,是当价,类似地，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是当价格不变,消费者收入Y改变Y时,需求量Q对于,对收入Y的变化率。,称为需求对收入的偏弹性。,收入Y的偏
8、改变量。,是收入从Y改变到Y+Y时需求量Q的平均变化率.,是当价格为P、收入为Y时,需求量Q,课堂练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,1.求函数,的二阶偏导数.,2.证明:,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,所以,设,则,(三)全微分,研究二元函数在所有自变量都有,是,的线性函数，,而,一般地,对二元函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,矩形面积,函数改变量的变化,有下述结论.,微小变化时,(借助,可证),情况。,定义8.6,如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点
9、(x,y)的全微分,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处全增量,则称此函数在D 内可微.,记作,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,由全微分定义:,得,函数在该点连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数存在,函数可微,即,定理8.1,证:,即全微分,f(x,y)在该点的偏导数,上式两端除以x,并令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,且,在点(x,y)处可微,存在,令,在点(x,y)处可微,取极限,得,则,即,则函数,且有,
10、设,存在,且,(可微的必要条件),同理可证,或,同理有,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,存在,所以,全微分,不失一般性,则,且,令,定理8.2,可微.(证明略).,在点(x,y)的某一邻域内有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,连续的偏导数,则,在点(x,y)处,(可微的充分条件),定理8.1,在点(0,0)处偏导数存在,但不可微.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不是可微的充分条件的例子,函数,二元函数,例9,如三元函数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,全微分的概念可以推广到一般的n(n2)元,时全微分的值.,函数.,则全微分为,求函数,的全微分,所以,由于
11、,全微分为,可微,并计算函数在,当,时,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10 求函数,的全微分.,所以,例11 计算函数,的全微分.,解:,可知当,全微分在近似计算中的应用,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(可用于近似计算;误差分析),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解:已知,即受压后圆柱体体积减少了,例12 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则,高度由100cm 减少到 99cm,体体积的近似改变量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求此圆柱,例13,高为4米,厚度均为0.01米,解：,因为圆柱的体积,所以需
12、用材料为0.2立方米,0.200801立方米相当接近.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,要造一个无盖的圆柱形水槽,求需用材料多少立方米?,与直接计算V的值,其内半径为2米,例14 计算,的近似值.,解:设,则,取,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,解:,2.求全微分的值,1.求全微分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,内容小结,1.全微分定义:,2.重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.微分应用,近似计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P363 6(1)(3)(4);8(2)(4)(5);9(1);12,在点(0,0)可微.,备用题,在点(0,0)连续且偏导数存在,不连续,证:1),因,故函数在点(0,0)连续;,但偏导数在点(0,0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明函数,所以,同理,极限不存在,在点(0,0)不连续;,同理,在点(0,0)也不连续.,2),3),题目 目录 上页 下页 返回 结束,4)下面证明,可微:,说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目 目录 上页 下页 返回 结束,
