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1、用Matlab求解差分方程问题,一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程线性常系数差分方程组,一阶线性常系数差分方程,Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为-3.24%和-3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模，并作数值计算。,模型建立:记第k年沙丘鹤的数量为Xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为 Xk+1(1+r)Xk,k=0,1,2得 Xn(1+r)n X0 已知X0=100,在较好，中等和较差的自然环境下r=0.0194,-0.0324 和-0.0382 我们利用
2、Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况,Matlab实现 Xn(1+r)n X0,1.在指令窗口输入：X0=100;r=0.0194;n=20;Xn=(1+r)n*X0执行后得到：Xn=146.8563,2.建立M脚本文件 在M文件编辑器中输入：X0=100;r=0.0194;n=20;Xn=(1+r)n*X0 单击工具栏中的保存按钮，文件名sqh1.m保存以后选择Debug:run菜单，则会在指令窗口输出：Xn=146.8563,3.建立M函数文件 格式：function 输出变量函数名称（输入变量）例如：输入 function Xn=sqh(n,r)X0=100;Xn=(1
3、+r)n*X0;end 单击工具栏中的保存按钮，文件名sqh2.m保存以后在指令窗口调用sqh2函数,输入：Xnsqh2(20,0.0194)输出同上。,function Xn=sqh(n,r,X0)Xn=(1+r)n*X0;end 单击工具栏中的保存按钮，文件名sqh3.m 保存以后在指令窗口调用sqh3函数,输入：Xnsqh3(20,0.0194,100)输出同上。,Matlab实现 Xk+1(1+r)Xk,function x=sqh(n,r)x(1)=100;for k=1:n x(k+1)=(1+r)*x(k);end 单击工具栏中的保存按钮，文件名sqh4.m保存以后在指令窗口调用
4、sqh4函数,输入：xnsqh4(20,0.0194)输出同上。,xn=Columns 1 through 6 100.0000 101.9400 103.9176 105.9336 107.9888 110.0837 Columns 7 through 12 112.2194 114.3964 116.6157 118.8780 121.1843 123.5353 Columns 13 through 18 125.9318 128.3749 130.8654 133.4042 135.9922 138.6305 Columns 19 through 21 141.3199 144.0615
5、 146.8563,利用plot 绘图观察数量变化趋势,k=0:20；y1=sqh4(20,0.0194);plot(k,y1)得到Figure1 在Edit菜单下Copy Figure，可以将图粘贴到Word文档。,在同一坐标系下画图 k=0:20;%一个行向量 y1=sqh4(20,0.0194);y2=sqh4(20,-0.0324);y3=sqh4(20,-0.0382);plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,r),人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化a只鹤放入保护区，观察在自然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=（1+r）Xk+a,在M文件中输入：function X
6、=rgsqh(n,r,a)X(1)=100;for k=1:n X(k+1)=（1r)*X(k)+a;end,设在中等自然条件下每年孵化5只鹤放入保护区.k=0:20;%一个行向量 y=rgsqh(20,-0.0324,5);plot(k,y),每年放养多少只会保证物种数量的稳定？,令Xk=Xk+1得a=rX0当X0100，r=0.0324时，a=3.24当a=3，a=4时，如图,高阶线性常系数差分方程一年生植物的繁殖,一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一
7、个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。,记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。设c,a1,a2固定,b是变量,考察能一直繁殖的条件记第k年植物数量为Xk,显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2Xk=a1bcXk-1
8、+a2b(1-a1)bcXk-2,实际上，就是Xk=pXk-1+qXk-2 我们需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20这样可以用matlab计算了,Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2,Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2,function x=zwfz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;x(1)=x0;x(2)=p*x(1);for k=3:nx(k)=p*x(k-1)+q*x(
9、k-2);end,假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20,简化为 Xk=pXk-1+qXk-2,k=0:20;y1=zwfz(100,21,0.18);y2=zwfz(100,21,0.19);y3=zwfz(100,21,0.20);plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,r),结果分析：XkpXk-1+qXk-20(1)x1+px0=0(2),对高阶差分方程可以寻求形如的解。代入(1)式得称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表为C1,C2 由初始条件x0,x1确定。,本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时,c1=
10、95.64,c2=4.36，这样实际上，植物能一直繁殖下去的条件是b0.191,插入的数的大小，其必须满足一个递减趋势，增长值为负,线性常系数差分方程组,汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化
11、趋势。,0.6,0.3,A B C A B C A B C,假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还,0.1,0.7,0.2,0.1,0.6,0.3,0.1,模型及其求解,记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3),用矩阵表示观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况1.直接在命令窗口（commond window）作,A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;n=10;for k
12、=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);end x(:,k+1),输出：ans=179.9324 299.9895 120.0781,2.建立M文件function x=qczl(n)A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;x(:,1)=200,200,200;for k=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);end,作图观察5年以后数量的变化趋势：在指令窗口输入 y1=qczl(5);k=0:5;plot(k,y1),练习：若最初600辆汽车平均分配在三个城市，作图观察30年以后数量的变化趋势若最开始600辆汽
13、车都在A市，变化时间充分长以后，各城市汽车数量的变化情况如何？,可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关,利用线性规划知识；找到凸集，因为所谓的最优解，一般都在凸集,按年龄分组的种群增长,野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率，死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄
14、组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,模型及其求解,设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记i=1,2,，n,时段记作k=0,1,2,且年龄组区间与时段长度相等(若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段)。以雌性个体为研究对象.记在时段k第i年龄组的数量为Xi(k);第i年龄组的繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第i年龄组死亡率为Si，表示一个时段内死亡数与总数的比，Ei=1-Si是存活率。,注意：第k时段的第i年龄组活过来的数量，是第k+1时段第i+1年龄组的数量 Xi+1(k+1)=EiXi(k)i=1，2,n-1,k=0,1,各年龄组在第k时段繁殖的数量和是第k+1时
15、段的第1年龄组的数量 X1(k+1)=k=0,1,记在时段k种群各年龄组的数量为 X(k)=X1(k),X2(k),Xn(k)得 X(k+1)=LX(k),k=0,1,设一种群分成5个年龄组，繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年龄组现有数量都是100只，用matlab计算X(k)提示：L矩阵的输入 b=0,0.2,1.8,0.8,0.2;E=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);L=b;E,zeros(4,1);,b=0,0.2,1.8,0.8,0.2;E=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);L=b;E,zeros(4,1);%分块矩阵 n=30;for k=1:nx(:,1)=100,100,100,100,100;x(:,k+1)=A*x(:,k);end得到：ans=434.1877 211.4436 164.6266 128.9265 12.5635,
