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1、第八讲 线性代数问题求解,8.1 矩阵特殊矩阵的输入,数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵：A=zeros(n),B=ones(n),C=eye(n)生成mn矩阵：A=zeros(m,n),B=ones(m,n),C=eye(m,n)生成和矩阵B同样位数的矩阵：A=zeros(size(B),随机元素矩阵若矩阵随机元素满足0,1区间上的均匀分布 生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵：A=rand(n,m)生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵：A=rand(n),对角元素矩阵 已知向量生成对角矩阵：A=diag(V)已知矩阵提取对角元素列向量：Vdiag(A)生成主对角线上第k条对角
2、线为V的矩阵：A=diag(V,k),例：diag()函数的不同调用格式 C=1 2 3;V=diag(C)%生成对角矩阵V=1 0 0 0 2 0 0 0 3 V1=diag(V)%将列向量通过转置变换成行向量V1=1 2 3 C=1 2 3;V=diag(C,2)%主对角线上第 k条对角线为C的矩阵V=0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,生成三对角矩阵:V=diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1)V=1 2 0 0 5 2 3 0 0 4 3 4 0 0 3 4,Hilbert矩阵及
3、逆Hilbert矩阵 生成n阶的Hilbert矩阵：A=hilb(n)求取逆Hilbert矩阵：B=invhilb(n),Hankel(汉克)矩阵 其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。H1=hankel(C)由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零的Hankel 矩阵,Vandermonde(范德蒙)矩阵,伴随矩阵其中：P(s)为首项系数为一的多向式。,符号矩阵的输入 数值矩阵A转换成符号矩阵：B=sym(A)例：A=hilb(3)A=1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.
4、2500 0.2000 B=sym(A)B=1,1/2,1/3 1/2,1/3,1/4 1/3,1/4,1/5,8.1.2 矩阵基本概念与性质,行列式 格式：d=det(A)例：求行列式 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;det(A)ans=0,例：tic,A=sym(hilb(20);det(A),toc ans=elapsed_time=2.3140高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。,矩阵的迹 格式：t=trace(A)矩阵的秩格式：r=rank(A)用默认的精度求数值秩 r=rank(A，)给定精度下求数值秩 矩阵的秩也表示该矩阵中
5、行列式不等于0的子式的最大阶次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。,例 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;rank(A)ans=3该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。例 H=hilb(20);rank(H)数值方法ans=13 H=sym(hilb(20);rank(H)%解析方法，原矩阵为非奇异矩阵ans=20,矩阵范数,矩阵的范数定义：格式：N=norm(A)求解默认的2范数 N=norm(A，选项)选项可为1,2,inf等,例：求一向量、矩阵的范数 a=16 2 3 13;norm(a),norm(a,2),norm(a,1)
6、,norm(a,Inf)ans=2.092844953645635e+001 2.092844953645635e+001 3.400000000000000e+001 1.600000000000000e+001 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;norm(A),norm(A,2),norm(A,1),norm(A,Inf)ans=34 34 34 34 符号运算工具箱未提供norm()函数，需先用double()函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm()函数。,特征多项式格式：C=poly(A)例：A=16 2 3 13;5 11 10 8
7、;9 7 6 12;4 14 15 1;poly(A)直接求取ans=1.000000000000000e+000-3.399999999999999e+001 A=sym(A);poly(A)运用符号工具箱 ans=x4-34*x3-80*x2+2720*x,矩阵多项式的求解,符号多项式与数值多项式的转换格式：f=poly2sym(P)或 f=poly2sym(P,x)格式：P=sym2poly(f),例：P=1 2 3 4 5 6;%先由系数按降幂顺序排列表示多项式 f=poly2sym(P,v)%以 v 为算子表示多项式 f=v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6 P=sym2p
8、oly(f)P=1 2 3 4 5 6,矩阵的逆矩阵格式：C=inv(A)例：format long;H=hilb(4);H1=inv(H)H1=1.0e+003*,检验：H*H1ans=1.00000000000001 0.00000000000023-0.00000000000045 0.00000000000023 0.00000000000001 1.00000000000011-0.00000000000011 0.00000000000011 0.00000000000001 0 1.00000000000011 0 0.00000000000000 0.0000000000001
9、1-0.00000000000011 1.00000000000011计算误差范数：norm(H*inv(H)-eye(size(H)ans=6.235798190375727e-013 H2=invhilb(4);norm(H*H2-eye(size(H)ans=5.684341886080802e-014,H=hilb(10);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)ans=0.00264500826202 H2=invhilb(10);norm(H*H2-eye(size(H)ans=H=hilb(13);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H
10、)Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=2.339949e-018.ans=53.23696008570294 H2=invhilb(13);norm(H*H2-eye(size(H)ans=11.37062973181391对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv()，可用符号工具箱。,H=sym(hilb(7);inv(H)ans=49,-1176,8820,-29400,48510,-38808,12012-1176,37632,-317520,1128960
11、,-1940400,1596672,-5045048820,-317520,2857680,-10584000,18711000,-15717240,5045040-29400,1128960,-10584000,40320000,-72765000,62092800,-2018016048510,-1940400,18711000,-72765000,133402500,-115259760,37837800-38808,1596672,-15717240,62092800,-115259760,100590336,-3329726412012,-504504,5045040,-201801
12、60,37837800,-33297264,11099088 H=sym(hilb(30);norm(double(H*inv(H)-eye(size(H)ans=0,例：奇异阵求逆 A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1;format long;B=inv(A)Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=1.306145e-017.B=1.0e+014*norm(A*B-eye(size(A)检验ans=1.6408151330
13、6419 A=sym(A);inv(A)奇异矩阵不存在一个相应的逆矩阵，用符号工具箱的函数也不行?Error using=sym/invError,(in inverse)singular matrix,同样适用于含有变量的矩阵求逆。例：syms a1 a2 a3 a4;C=a1 a2;a3 a4；inv(C)ans=-a4/(-a1*a4+a2*a3),a2/(-a1*a4+a2*a3)a3/(-a1*a4+a2*a3),-a1/(-a1*a4+a2*a3),矩阵的相似变换与正交矩阵 其中：A为一方阵，B矩阵非奇异。相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化，其值与A矩阵完全一
14、致。对于一类特殊的相似变换满足如下条件，称为正交基矩阵。,例：A=5,9,8,3;0,3,2,4;2,3,5,9;3,4,5,8;Q=orth(A)Q=-0.6197 0.7738-0.0262-0.1286-0.2548-0.1551 0.9490 0.1017-0.5198-0.5298-0.1563-0.6517-0.5300-0.3106-0.2725 0.7406 norm(Q*Q-eye(4)ans=4.6395e-016 norm(Q*Q-eye(4)ans=4.9270e-016,例：A=16,2,3,13;5,11,10,8;9,7,6,12;4,14,15,1;Q=orth
15、(A)A为奇异矩阵，故得出的Q为长方形矩阵Q=-0.5000 0.6708 0.5000-0.5000-0.2236-0.5000-0.5000 0.2236-0.5000-0.5000-0.6708 0.5000 norm(Q*Q-eye(3)ans=1.0140e-015,8.2 线性方程组直接解法线性方程组直接求解矩阵除法,关于线性方程组的直接解法，如Gauss消去法、选主元消去法、平方根法、追赶法等等，在MATLAB中，只需用“”或“”就解决问题。它内部实际包含着许许多多的自适应算法，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程时它将给出范数最小的一个解，解三对角阵方程组时用追赶法等等。格式：
16、x=Ab,例：解方程组 A=.4096,.1234,.3678,.2943;.2246,.3872,.4015,.1129;.3645,.1920,.3781,.0643;.1784,.4002,.2786,.3927;b=0.4043 0.1550 0.4240-0.2557;x=Ab;xans=-0.1819-1.6630 2.2172-0.4467,线性方程组直接求解判定求解,例：A=1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2;B=5 1;4 2;3 3;2 4;C=A B;rank(A),rank(C)ans=4ans=4 x=inv(A)*Bx=-1.8000 2
17、.4000 1.8667-1.2667 3.8667-3.2667-2.1333 2.7333,检验 norm(A*x-B)ans=7.4738e-015精确解 x1=inv(sym(A)*B x1=-9/5,12/5 28/15,-19/15 58/15,-49/15-32/15,41/15检验 norm(double(A*x1-B)ans=0,原方程组对应的齐次方程组的解求取A矩阵的化零矩阵：格式：Z=null(A)求取A矩阵的化零矩阵的规范形式：格式：Z=null(A,r),例：判断可解性 A=1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2;B=1;3;2;6;C=A B
18、;rank(A),rank(C)ans=2 2 Z=null(A,r)%解出规范化的化零空间Z=2.0000 3.0000-2.5000-3.5000 1.0000 0 0 1.0000,x0=pinv(A)*B%得出一个特解x0=0.9542 0.7328%全部解-0.0763-0.2977验证得出的解 a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(A*x-B)ans=4.4409e-015,解析解 Z=null(sym(A)Z=2,3-5/2,-7/2 1,0 0,1 x0=sym(pinv(A)*B)x0=
19、125/131 96/131-10/131-39/131,验证得出的解 a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(double(A*x-B)ans=0通解 syms a1 a2;x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 x=2*a1+3*a2+125/131-5/2*a1-7/2*a2+96/131 a1-10/131 a2-39/131,摩尔彭罗斯广义逆求解出的方程最小二乘解不满足原始代数方程。,8.2.3 线性方程组的直接求解分析,LU分解,格式 l,u,p=lu(A)L是一个单位下三角矩阵，u是
20、一个上三角矩阵，p是代表选主元的置换矩阵。故：Ax=y=PAx=Py=LUx=Py=PA=LU l,u=lu(A)其中l等于P-1 L，u等于U，所以(P-1 L)U=A,例：对A进行LU分解 A=1 2 3;2 4 1;4 6 7;l,u,p=lu(A)l=1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000u=4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000-2.5000 0 0 2.5000p=0 0 1 0 1 0 1 0 0,l,u=lu(A)lP-1 Ll=0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0
21、1.0000 0 0u=4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000-2.5000 0 0 2.5000,QR分解 将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。,格式：Q,R=qr(A),例：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12;Q,R=qr(A)Q=-0.0776-0.8331 0.5456-0.0478-0.3105-0.4512-0.6919 0.4704-0.5433-0.0694-0.2531-0.7975-0.7762 0.3124 0.3994 0.3748R=-12.8841-14.5916
22、-16.2992 0-1.0413-2.0826 0 0-0.0000 0 0 0,Cholesky(乔里斯基)分解 若矩阵A为 n阶对称正定阵,则存在唯一的对角元素为正的三角阵D，使得,格式：D=chol(A),例：进行Cholesky分解。A=16 4 8;4 5-4;8-4 22;D=chol(A)D=4 1 2 0 2-3 0 0 3,利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解,（1）LU分解：A*X=b 变成 L*U*X=b所以 X=U(Lb)这样可以大大提高运算速度。例：求方程组 的一个特解。解：A=4 2-1;3-1 2;11 3 0;B=2 10 8;D=det(A
23、)D=0,L,U=lu(A)L=0.3636-0.5000 1.0000 0.2727 1.0000 0 1.0000 0 0U=11.0000 3.0000 0 0-1.8182 2.0000 0 0 0.0000,X=U(LB)Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=2.018587e-017.%结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。%可以通过A*X验证其正确性。X=1.0e+016*-0.4053 1.4862 1.3511 A*Xans=0 8 8,（2）C
24、holesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，方程 A*X=b 变成 R*R*X=b所以 X=R(Rb)（3）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR方程 A*X=b 变形成 QRX=b所以 X=R(Qb)这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。,三个变换 在线性方程组的迭代求解中，要用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。上三角变换：格式 triu(A,1)对角变换：格
25、式 diag(A)下三角变换：格式 tril(A,-1)例：对此矩阵做三种变换。,A=1 2-2;1 1 1;2 2 1;triu(A,1)ans=0 2-2 0 0 1 0 0 0 tril(A,-1)ans=0 0 0 1 0 0 2 2 0 b=diag(A);bans=1 1 1,8.3 迭代解法的几种形式 Jacobi迭代法,方程组 Ax=b A可写成 A=D-L-U 其中:D=diaga11,a22,ann,-L、-U分别为A的严格下、上三角部分（不包括对角线元素）.由 Ax=b x=Bx+f 由此可构造迭代法：x(k+1)=Bx(k)+f 其中：B=D-1(L+U)=I-D-1A
26、,f=D-1b.,function y=jacobi(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);B=D(L+U);f=Db;y=B*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endn,例：用Jacobi方法求解，设x(0)=0,精度为10-6。a=10-1 0;-1 10-2;0-2 10;b=9;7;6;jacobi(a,b,0;0;0)n=11ans=0.9958 0.9579 0.7916,8.3.2 Gauss-Seidel迭代法,由原方程构造迭代方程 x(k+1)=
27、G x(k)+f其中：G=(D-L)-1 U,f=(D-L)-1 b D=diaga11,a22,ann,-L、-U分别为A的严格下、上三角部分（不包括对角线元素）.,function y=seidel(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G=(D-L)U;f=(D-L)b;y=G*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;endn,例：对上例用Gauss-Seidel迭代法求解 a=10-1 0;-1 10-2;0-2 10;b=9;7;6;seidel(a,b,0;
28、0;0)n=7ans=0.9958 0.9579 0.7916例：分别用Jacobi和G-S法迭代求解,看是否收敛。,a=1 2-2;1 1 1;2 2 1;b=9;7;6;jacobi(a,b,0;0;0)n=4ans=-27 26 8 seidel(a,b,0;0;0)n=1011ans=1.0e+305*-Inf Inf-1.7556,8.3.3 SOR迭代法,在很多情况下，J法和G-S法收敛较慢，所以考虑对G-S法进行改进。于是引入一种新的迭代法逐次超松弛迭代法（Succesise Over-Relaxation),记为SQR法。迭代公式为：X(k+1)=(D-wL)-1(1-w)D+
29、wU)x(k)+w(D-wL)-1 b 其中：w最佳值在1,2）之间，不易计算得到，因此 w通常有经验给出。,function y=sor(a,b,w,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);M=(D-w*L)(1-w)*D+w*U);f=(D-w*L)b*w;y=M*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y;y=M*x0+f;n=n+1;endn,例：上例中，当w=1.103时，用SOR法求解原方程。a=10-1 0;-1 10-2;0-2 10;b=9;7;6;sor(a,b,1.103,0;0;0)n=8
30、ans=0.9958 0.9579 0.7916,8.3.4 两步迭代法,当线性方程系数矩阵为对称正定时，可用一种特殊的迭代法来解决，其迭代公式为：（D-L）x(k+1/2)=U x(k)+b（D-U）x(k+1)=Lx(k+1/2)+b=x(k+1/2)=(D-L)-1 U x(k)+(D-L)-1 b x(k+1)=(D-U)-1 Lx(k+1/2)+(D-U)-1 b,function y=twostp(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G1=(D-L)U;f1=(D-L)b;G2=(D-U)L;f1=(D-U)b;y=G1
31、*x0+f1;y=G2*y+f2;n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y;y=G1*x0+f1;y=G2*y+f2;n=n+1;endn,例：求解方程组 a=10-1 2 0;-1 11-1 3;2-1 10 3;0 3-1 8;b=6;25;-11;15;twostp(a,b,0;0;0;0)n=7ans=1.0791 1.9824-1.4044 0.9560,8.4 线性方程组的符号解法,在MATLAB的Symbolic Toolbox中提供了线性方程的符号求解函数，如 linsolve(A,b)等同于 X=sym(A)sym(b).solve(eqn1,eqn2
32、,.,eqnN,var1,var2,.,varN),例：A=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10)；b=(9;7;6)；linsolve(A,b)ans=473/475 91/95 376/475 vpa(ans)ans=,例：x,y=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0,x,y)x=1 3 y=1-3/2,8.5 稀疏矩阵技术,稀疏矩阵的建立：格式 S=sparse(i,j,s,m,n)生成一mxn阶的稀疏矩阵，以向量i和j为坐标的位置上对应元素值为s。例：n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n)a1=(1,1)4(2
33、,2)4(3,3)4(4,4)4(5,5)4,例：a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n)a2=(2,1)1(3,2)1(4,3)1(5,4)1 full(a2)ans=0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0,例：n=5,建立主对角线上元素为4，两条次对角线为1的三对角阵。n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);a=a1+a2+a2a=(1,1)4(2,1)1(1,2)1(2,2)4(3,2)
34、1(2,3)1(3,3)4(4,3)1,(3,4)1(4,4)4(5,4)1(4,5)1(5,5)4 full(a)ans=4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4,格式 A=spdiags(B,d,m,n)生成一mxn阶的稀疏矩阵，使得B的列放在由d指定的位置。例：n=5 b=spdiags(ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1),-1,0,1,n,n);full(b)ans=4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4,格式：spconvert(dd)对于
35、无规律的稀疏矩阵，可使用此命令由外部数据转化为稀疏矩阵。调用形式为：先用load函数加载以行表示对应位置和元素值的.dat文本文件，再用此命令转化为稀疏矩阵。例：无规律稀疏矩阵的建立。首先编制文本文件sp.dat如下：5 1 5.003 5 8.004 4 2.005 5 0,load sp.dat spconvert(sp)ans=(5,1)5(4,4)2(3,5)8 full(ans)ans=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 2 0 5 0 0 0 0,稀疏矩阵的计算：同满矩阵比较，稀疏矩阵在算法上有很大的不同。具体表现在存储空间减少，计算时间减少。例
36、：比较求解下面方程组n1000时两种方法的差别。,n=1000;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);a=a1+a2+a2;b=ones(1000,1);tic;x=ab;t1=toct1=0.4800 a=full(a);tic;x=ab;t2=toct2=1.3220,8.6 矩阵的特征值问题 一般矩阵的特征值与特征向量,格式：d=eig(A)只求解特征值。格式：V,D=eig(A)求解特征值和特征向量。,例：直接求解：A=16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4
37、14 15 1;eig(A)ans=34.0000 8.9443-8.9443 0.0000,精确解：eig(sym(A)ans=0 34 4*5(1/2)-4*5(1/2)高精度数值解：vpa(ans,70)ans=0 34.28 97083588981642084,同时求出特征值与特征向量：直接求解：v,d=eig(A)v=-0.5000-0.8236 0.3764-0.2236-0.5000 0.4236 0.0236-0.6708-0.5000 0.0236 0.4236 0.6708-0.5000 0.3764-0.8236 0.2236d=34.0000 0 0 0 0 8.944
38、3 0 0 0 0-8.9443 0 0 0 0 0.0000,解析解：v,d=eig(sym(A)v=-1,1,-8*5(1/2)-17,8*5(1/2)-17-3,1,4*5(1/2)+9,-4*5(1/2)+9 3,1,1,1 1,1,4*5(1/2)+7,-4*5(1/2)+7 d=0,0,0,0 0,34,0,0 0,0,4*5(1/2),0 0,0,0,-4*5(1/2),8.6.2 矩阵的广义特征向量问题,若B=I，则化成普通矩阵特征值问题。格式：d=eig(A，B)求解广义特征值。格式：V,D=eig(A，B)求解广义特征值和特征向量。,例：直接求解：A=5,7,6,5;7,1
39、0,8,7;6,8,10,9;5,7,9,10;B=2,6,-1,-2;5,-1,2,3;-3,-4,1,10;5,-2,-3,8;V,D=eig(A,B)V=0.3697-0.3741+0.6259i-0.3741-0.6259i 1.0000 0.9948-0.0674-0.2531i-0.0674+0.2531i-0.6090 0.7979 0.9239+0.0264i 0.9239-0.0264i-0.2316 1.0000-0.6599-0.3263i-0.6599+0.3263i 0.1319,D=4.7564 0 0 0 0 0.0471+0.1750i 0 0 0 0 0.0471-0.1750i 0 0 0 0-0.0037 检验：norm(A*V-B*V*D)ans=1.3897e-014 符号运算工具箱中的eig()函数不支持广义特征值的运算。,
