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1、第九章,SPSS回归分析,本章内容,9.1 回归分析概述9.2 线性回归分析9.3 回归方程的统计检验9.4 多元回归分析中的其他问题9.5 线性回归分析的基本操作9.6 线性回归分析的应用举例9.7 曲线估计,9.1 回归分析概述,1.线性回归分析的内容（1）能否找到一个线性组合来说明一组自变量和因变量的关系（2）如果能的话，这种关系的强度有多大，也就是利用自变量的线性组合来预测因变量的能力有多强（3）整体解释能力是否具有统计上的显著性意义（4）在整体解释能力显著的情况下，哪些自变量有显著意义,2.回归分析的一般步骤（1）确定回归方程中的解释变量（自变量）和被解释变量（因变量）（2）确定回归
2、模型-选用合适的数学模型概括回归线（3）确定回归方程-根据样本数据及确定的回归模型，在一定的统计拟合准则下估计模型的参数，得到确定的回归方程。（4）对回归方程进行各种检验-基于样本得到的回归方程是否真实地反映了总体间的统计关系？回归方程能否用于预测？（5）利用回归方程进行预测,线性回归模型 1.一元线性回归模型的数学模型其中：x为自变量；y为因变量；为截距，即常量；为回归系数，表明自变量对因变量的影响程度,9.2 线 性 回 归 分 析,X的变化引起的y的线性变化部分：其他随机因素引起的y的变化部分：,用最小二乘法求解方程中的两个参数，得到：,多元线性回归模型,2.多元线性回归方程：（1）1、
3、2、p为偏回归系数。（2）1表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量x1变动一个单位所引起的因变量y的平均变动,回归方程的拟合优度检验 回归直线与各观测点的接近程度称为回归方程的拟合优度，也就是样本观测值聚集在回归线周围的紧密程度。1.离差平方和的分解建立直线回归方程可知：y的观测值的总变动可由 来反映，称为总变差。引起总变差的原因有两个：（1)由于x的取值不同，使得与x有线性关系的y值不同；（2）随机因素的影响。,9.3 线性回归方程的统计检验,总离差平方和可分解为,（1）总平方和（SST)=剩余平方和(SSE)+回归平方和（SSR)（2）SST:反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差。
4、（3）SSR：由x和y的直线回归关系引起的，可以由回归直线做出 解释；（4）SSE：除了x对y的线性影响之外的随机因素所引起的Y的变动，是回归直线所不能解释的。,2.可决系数（判定系数、决定系数）,（1）可决系数：回归平方和在总平方和中所占的比例（2）用来衡量X与Y 的关系密切程度以及回归直线的代表性好坏。（3）对于一元线性回归方程：,（4）对于多元线性回归方程多元线性回归分析中，引起判定系数增加的原因有两个：方程中的解释变量个数增多方程中引入了对被解释变量有重要影响的解释变量如果某个自变量引入方程后对因变量的线性解释有重要贡献，那么必然会使误差平方和显著减小，并使平均的误差平方和也显著减小，
5、从而使调整的判定系数提高如果某个自变量对因变量的线性解释不明显，那么将其引入只会使SSE减少，但不会使平均的SSE减少，因此，多元线性回归分析中，调整的判定系数比判定系数更能准确的反映回归方程的拟合优度,（1）回归方程的显著性检验是要检验被解释变量与所有的解释变量之间的线性关系是否显著。（2）对于一元线性回归方程，检验统计量为：平均的SSA/平均的SSE，反映了回归方程所能解释的变差与不能解释的变差的比例。SPSS自动计算F统计量值和p值，根据p值与显著性水平的大小进行判断。,9.3.2 回归方程的显著性检验（方差分析F检验）,（3）对于多元线性回归方程，检验统计量为也即：回归方程的拟合优度越
6、高回归方程的显著性检验也会越显著回归方程的显著性检验越显著回归方程的拟合优度越高回归方程的拟合优度检验仅是一种刻画性描述，不涉及假设检验中：提出原假设、选择检验统计量、计算检验统计量的值、决策等内容，而回归方程的显著性检验均涉及这些内容。,回归系数的显著性检验（t检验）,（1）回归系数的显著性检验是要检验回归方程中被解释变量与每一个解释变量之间的线性关系是否显著。（2）对于一元线性回归方程，检验统计量为：为回归方程的标准误差，是SSE的均方根，反映了回归方程无法解释y 变动的程度。SPSS自动计算t值和p值，根据p值进行决策。一元线性回归中，回归方程显著性检验和回归系数显著性检验的作用相同，可
7、相互替代，且回归方程显著性检验的F统计量等于回归系数显著性检验t统计量的平方,（3）对于多元线性回归方程，检验统计量为：,SPSS自动计算 统计量的值和相应的p值，可根据p值进行决策多元线性回归中，回归方程显著性检验和回归系数显著性检验的作用不相同：（a）回归方程显著性检验检验所有偏回归系数是否同时为零。即使偏回归系数不同时为零，并不能保证方程中不存在解释力较差的自变量。（b）回归系数显著性检验对每个偏回归系数是否为零逐一进行检验（c）两种检验不能相互替代。,（1）残差是指由回归方程计算得到的预测值与实际样本值之间的差距，定义为：（2）对于线性回归分析来讲，如果方程能够较好的反映被解释变量的特
8、征和规律性，那么残差序列中应不包含明显的规律性和趋势性。（3）残差分析包括以下内容：残差是否服从均值为零的正态分布；残差是否为等方差的正态分布；残差序列是否独立；借助残差探测样本中的异常值。,9.3.4 残差分析,残差均值为零的正态性检验（1）通过绘制残差图进行分析（2）残差图是一种散点图：横轴为解释变量，纵轴为残差。（3）如果残差均值为零，残差图的点应该在纵坐标为0的中心带状区域中随机散落，（P290图9-1）,残差独立性检验,1.残差序列独立性指：残差序列前期和后期数值之间不存在相关关系，即：2.方法（1）绘制残差序列散点图：时间为横轴，残差为纵轴，若残差随时间推移呈有规律变化，则存在相关
9、性。（2）计算残差的自相关系数：,（3）DW检验DW检验用来检验残差的自相关。检验统计量为：DW=2，表示无自相关，DW=4，表示完全负自相关DW=0，表示完全正自相关DW在0-2之间说明存在正自相关，DW在2-4之间说明存在负的自相关。一般情况下，DW值在之间即可说明无自相关现象,（4）残差序列存在自相关可能表明：回归方程没有充分说明被解释变量的变化规律，遗漏了一些重要的解释变量 变量存在取值滞后性 回归模型选择不合适,异方差分析,1.残差分析的方差不随解释变量或被解释变量取值的变化而变化，否则，存在异方差。2.异方差的后果（1）参数的最小二乘估计不再是最小方差、无偏、有效估计（2）导致回归
10、系数显著性检验的t值偏高，进而容易拒绝原假设，使无用变量保留下来，增大模型的预测偏差。,3.异方差的检验（1）绘制散点图 横轴解释变量，纵轴残差，若残差随解释变量的增加呈增加（减少）趋势，则存在异方差。（2）等级相关分析 对残差序列取绝对值计算残差和解释变量的秩计算Spearman等级相关系数。若等级相关分析检验统计量的p值给定的显著性水平，则拒绝原假设，解释变量与残差存在相关关系，出现了异方差。,4.异方差的处理（1）对解释变量实施方差稳定变换，再进行回归方程参数的估计。残差与预测值的平方根成比例变化对解释变量作开方处理残差与预测值成比例变化对解释变量取对数残差与预测值的平方成比例变化对解释
11、变量求倒数（2）利用加权最小二乘法估计回归方程参数,9.3.4.4.探测样本中的异常值,1.异常值：远离均值的样本数据点，对回归方程参数估计有较大影响。2.被解释变量中异常值的探测方法（1）标准化残差 对残差进行标准化，根据 准则，的绝对值大于3的为异常值（2）学生化残差 计算学生化残差，绝对值大于3对应的观察值为异常值。,（3）剔除残差 计算第i个样本残差时，用剔除该样本后剩余的（n-1）个样本拟合方程，并计算第i个样本的预测值和相应的残差，此残差称为剔除残差。剔除学生化残差的绝对值大于3对应的观察值为异常值。,3.解释变量中异常值的探测方法（1）杠杆值（2）库克距离,（3）标准化回归系数的
12、变化和标准化预测值的变化 在剔除第i个样本后，观察标准化回归系数的前后变化，如果标准化回归系数变化的绝对值大于，则可认为第i个样本可能是异常值。观察预测值的前后变化，如果标准化预测值变化的绝对值大于，则可认为第i个样本可能是异常值。,9.4 多元回归中的其他问题,解释变量的筛选问题1.引入多少个解释变量？太少不能很好解释因变量的变化太多自变量间可能存在多重共线性2.筛选策略（1）向前筛选（Forward）策略解释变量不断进入回归方程的过程。首先选择与被解释变量具有最高线性相关系数的变量进入方程，并进行回归方程的各种检验；在剩余的变量中寻找与被解释变量偏相关系数最高且通过检验的变量进入回归方程，
13、并对新建立的回归方程进行各种检验；这个过程一直重复，直到再也没有可进入方程的变量为止。,（2）向后筛选（Backward）策略变量不断剔除出回归方程的过程。首先把所有变量全部引入回归方程，并对回归方程进行各种检验；在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除t检验值最小的变量，并重新建立回归方程和进行各种检验如果新建回归方程中所有变量的回归系数检验都显著，则回归方程建立结束；否则按上述方法再一次剔除最不显著的变量，直到再也没有可剔除的变量为止。,（3）逐步筛选（Stepwise）策略 在向前筛选策略的基础上结合向后筛选策略：向前策略中，变量一旦进入方程将不再被剔除，随着变量的不断引入，会
14、由于变量间的多重共线性，使得已经引入的变量不再显著。在每个变量进入方程后再次判断是否存在应该剔除出方程的变量。逐步筛选策略在引入变量的每一个阶段都提供了再剔除不显著变量的机会。,1.多重共线性是指解释变量之间存在线性相关关系的现象。2.测度多重共线性一般有以下方式（1）容忍度 是第i个解释变量与方程中其他解释变量间的复相关系数的平方，表示解释变量之间的线性相关程度。容忍度的取值范围在0-1之间，越接近0表示多重共线性越强，越接近1表示多重共线性越弱。（2）方差膨胀因子VIF方差膨胀因子是容忍度的倒数。VIF越大多重共线性越强，当VIF大于等于10时，说明存在严重的多重共线性。,9.4.2 多重
15、共线性问题,（3）特征根和方差比根据解释变量的相关系数矩阵求得的特征根中，如果最大的特征根远远大于其他特征根，则说明这些解释变量间具有相当多的重复信息。如果某个特征根既能够刻画某解释变量方差的较大部分比例（0.7以上），又能刻画另一解释变量方差的较大部分比例，则表明这两个解释变量间存在较强的线性相关关系。,（4）条件指数指最大特征根与第i个特征根比的平方根。当条件指数在0-10之间时说明多重共线性较当条件指数在10-100之间说明多重共线性较强；当条件指数大于100时说明存在严重的多重共线性,3.多重共线性的后果（1）偏回归系数估计困难（2）偏回归系数的估计方差随解释变量相关性的增大而增大（3
16、）偏回归系数的置信区间增大（4）偏回归系数估计值不稳定性增大（5）偏回归系数假设检验的结果不显著,9.5 线性回归分析的基本操作选择菜单AnalyzeRegressionLinear，出现窗口：,（2）选择被解释变量进入Dependent框。（3）选择一个或多个解释变量进入Independent(s)框。（4）在Method框中选择回归分析中解释变量的筛选策略。Enter表示所选变量强行进入回归方程，是SPSS默认的策略，通常用在一元线性回归分析中；Remove表示从回归方程中剔除所选变量；Stepwise表示逐步筛选策略；Backward表示向后筛选策略；Forward表示向前筛选策略。,（
17、5）第三和第四步中确定的解释变量及变量筛选策略可放置在不同的块（Block）中。通常在回归分析中不止一组待进入方程的解释变量和相应的筛选策略，可以单击Next和Previous按钮设置多组解释变量和变量筛选策略并放置在不同的块中。（6）选择一个变量作为条件变量放到Selection Variable框中，并单击Rule按钮给定一个判断条件。只有变量值满足判定条件的样本才参与线性回归分析。（7）在Case Labels框中指定哪个变量作为样本数据点的标志变量，该变量的值将标在回归分析的输出图形中。,9.5.2 线性回归分析的其他操作1.Statistics按钮可供用户选择更多的输出统计量。,（1
18、）Estimates：SPSS默认输出项，输出与回归系数相关的统计量：回归系数（偏回归系数）、回归系数标准误差、标准化回归系数、回归系数显著性检验的t统计量和概率p值，各解释变量的容忍度。（2）Confidence Intervals：输出每个非标准化回归系数95的置信区间。（3）Descriptive：输出各解释变量和被解释变量的均值、标准差、相关系数矩阵及单侧检验概率p值。,（4）Model fit：SPSS默认输出项。输出以下结果：判定系数、调整的判定系数、回归方程的标准误差、回归方程显著F检验的方程分析表。（5）R squared change：输出每个解释变量进入方程后引起的判定系数
19、的变化量和F值的变化量。（6）Part and partial correlation：输出方程中各解释变量与被解释变量之间的简单相关、偏相关系数。,（7）Covariance matrix：输出方程中各解释变量间的相关系数、协方差以及各回归系数的方差。（8）Collinearity Diagnostics：多重共线性分析。输出各个解释变量的容忍度、方差膨胀因子、特征值、条件指标、方差比例等。（9）Residual框 Durbin-waston表示输出DW检验值；Casewise Diagnostic表示输出标准化残差绝对值大于等于3（SPSS默认值）的样本数据的相关信息，包括预测值、残差、杠
20、杆值等。,可供用户设置多元线性回归分析中解释变量筛选的标准以及缺失值的处理方式。,2.Options选项,（1）Use probability of F:以偏F统计量的概率值为标准判断解释变量能否进入或剔除回归方程。（2）use F value:以偏F统计量的临界值为标准判断解释变量能否进入或剔除回归方程。（3）include constant in equation:是否进行中心化处理，即方程中是否包含常数项。,3.Plot选项,该选项用于对残差序列的分析,（1）窗口左边框中各变量名的含义：DEPENDNT表示被解释变量，*ZPRED表示标准化预测值，*ZRESID表示标准化残差，*DRES
21、ID表示剔除残差，*ADJPRED表示调整的预测值，*SRESID表示学生化残差，*SDRESID表示剔除学生化残差。（2）绘制多对变量的散点图，可根据需要在scatter框中定义散点图的纵坐标和横坐标变量。（3）Standardized Residual Plots框 Histogram：绘制标准化残差序列的直方图；Normal probability plot：绘制标准化残差序列的正态分布累计概率图。Produce all partial plots：依次绘制被解释变量和各个解释变量的散点图。,（1）该窗口的功能是将回归分析的某些结果以SPSS变量的形式保存到数据编辑窗口中，并可同时生成X
22、ML格式的文件，便于分析结果的网络发布。（2）Predicted Values框：保存非标准化预测值、标准化预测值、调整的预测值和预测值的均值标准误差。（3）prediction intervals框：保存均值或个体预测值95（默认）置信区间的下限值和上限值。（4）Residual框：保存非标准化残差、标准化残差等。（5）Influence Statistics框：保存剔除第i个样本后统计量的变化量。5.WSL选项 采用加权最小二乘法替代普通最小二乘法估计回归参数，并指定一个变量作为权重变量。,4.Save选项,以高校科研研究数据为例，建立回归方程研究 1.课题总数受论文数的影响 2.被解释变
23、量课题总数，解释变量投入人年数（X2）投入高级职称的人年数（X3）投入科研事业费（X4）专著数（X6）论文数（X7）获奖数（X8）（1）解释变量采用强制进入策略（Enter），并做多重共线性检测。（2）解释变量采用向后筛选策略让SPSS自动完成解释变量的选择。,9.6 应用举例,9.7 曲线估计,9.7.1 曲线估计概述（1）变量间的相关关系中，并不总是表现出线性关系，非线性关系也是极为常见的。（2）变量之间的非线性关系可以划分为本质线性关系和本质非线性关系。（3）本质线性关系是指变量关系形式上虽然呈非线性关系，但可通过变量变换为线性关系，并最终可通过线性回归分析建立线性模型。（4）本质非线性
24、关系是指变量关系不仅形式上呈非线性关系，而且也无法变换为线性关系。（5）本节的曲线估计解决本质线性关系问题。,常见的本质线性模型有：（1）二次曲线（Quadratic）方程为变量变换后的方程为（2）复合曲线（Compound）方程为变量变换后的方程为（3）增长曲线（Growth）方程为变量变换后的方程为,4.对数曲线（Logarithmic）方程为变量变换后的线性方程为5.三次曲线（Cubic）方程为变量变换后的方程为6.S曲线（S）方程为 变量变换后的方程为7.指数曲线（Exponential）方程为变量变换后的线性方程为,8.逆函数（Inverse）方程为变量变换后的方程为9.幂函数（Po
25、wer）方程为变量变换后的方程为10.逻辑函数（Logistic）方程为变量变换后的线性方程为,SPSS曲线估计（1）在不能明确究竟哪种模型更接近样本数据时，可在多种可选择的模型中选择几种模型；（2）SPSS自动完成模型的参数估计，并输出回归方程显著性检验的F值和概率p值、判定系数R2等统计量；（3）以判定系数为主要依据选择其中的最优模型，并进行预测分析等；（4）SPSS曲线估计还可以以时间为解释变量实现时间序列的简单回归分析和趋势外推分析。,1.可通过绘制并观察样本数据的散点图粗略确定被解释变量和解释变量之间的相关关系，为曲线拟合中的模型选择提供依据。2.SPSS曲线估计的基本操作步骤（1）
26、选择菜单AnalyzeRegressionCurve Estimation，出现窗口如下页所示（2）把被解释变量选到Dependent框中,9.7.2 曲线估计的基本操作,（3）曲线估计中的解释变量可以是相关因素变量，也可是时间变量。如果解释变量为相关因素变量，则选择Variable选项，并把一个解释变量指定到Independent框；如果选择Time参数则表示解释变量为时间变量。（4）在Models中选择几种模型。（5）Plot Models选项绘制回归线；（6）Display ANOVA table：输出各个模型的方差分析表和各回归系数显著性检验结果。（6）SPSS将根据选择的模型自动进行
27、曲线估计，并将结果显示到输出窗口中。,1.教育支出的相关因素分析 为研究居民家庭教育支出和消费性支出之间的关系，收集到1978年至2002年全国人均消费性支出和教育支出的数据（1）首先绘制教育支出和消费性支出的散点图，（2）观察散点图发现两变量之间呈非线性关系，可尝试选择二次、三次曲线、复合函数和幂函数模型，利用曲线估计进行本质线性模型分析。（3）教育支出为被解释变量，消费性支出为解释变量。,9.7.3 应用举例,2.分析和预测居民在外就餐的费用 利用收集到1978年至2002年居民在外就餐消费的数据，对居民未来在外就餐的趋势进行分析和预测。（1）首先绘制就餐费用的序列图，选择菜单Graphs
28、Sequence。（2）得到的序列图表明自80年代以来居民在外就餐费用呈非线性增加，90年代中期以来增长速度明显加快，大致呈指数形式，可利用曲线估计进行分析。（3）由于要进行预测，因此在曲线估计主窗口中要单击Save按钮，出现如下窗口：,Save Variables框：Predicted values：表示保存预测值；Residual：表示保存残差；Prediction interval：表示保存预测值默认95置信区间的上限和下限值。Predict cases框中：只有当解释变量为时间时才可选该框中的选项。Predict from estimation period through last case：表示计算当前所有样本期内的预测值；Predict through：表示计算指定样本期内的预测值 指定样本期在Observation框后输入。本例希望预测2003年和2004年的值，应在Observation框后输入27。,Thank you,
