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1、2.6 线性最小均方误差估计 linear minimum mean square error estimation,一、线性最小均方误差估计准则,放宽了对待估计量先验知识的要求。,设第k次观测为：,为已知的观测系数，为观测噪声，估计量,标量,单参量情况,使估计的均方误差,最小化的估计叫最小均方误差估计。记为：,多参量情况,观测模型：,N维观测矢量,NM维系数矩阵,M维待估计矢量,N维观测噪声矢量,M维列矢量,N维列矢量,MN维,确定 使均方误差,最小化的估计叫最小均方误差估计。记为：,二、线性最小均方误差估计,已知 的前二阶矩：,使 最小化的估计：,矩阵函数对矩阵求导公式,解得：,估计中只用
2、到二阶矩。,三、线性最小均方误差估计的性质,（1）估计矢量是观测矢量的线性函数；（2）估计矢量是无偏的；（3）估计误差矢量与观测矢量正交，即：,（4）估计矢量均方误差阵的最小性线性最小均方误差估计矢量在线性估计中有最小的均方误差，而且均方误差阵也具有最小性。,设 是 的任意线性估计，则均方误差阵为：,上式中第一项、第二项是非负定的，第三项是,四、线性最小均方误差估计应用,信道均衡,数字通信系统中，除了信道的噪声干扰之外，另一个重要的干扰就是码间干扰。它与加性的噪声干扰不同，是一种乘性的干扰。造成码间干扰的原因有很多，实际上，只要传输信道的频带是有限的，就会造成一定的码间干扰。（ISI-Inte
3、r-Symbol Interference）,通常h1(n)是一个横向滤波器，即,产生的误差为：,是理想输出信号，,因此，在信道均衡中，就是根据某种准则确定横向滤波器的权系数，通常采用的准则为最小均方误差准则。,2.7 最小二乘估计,该方法不需要知道任何先验知识，仅需要知道被估计量的观测模型。,一、最小二乘估计方法,假设待估计量 的信号模型 观测模型：,多参量情况：,最小化的估计：,二、线性最小二乘估计,线性观测模型：,N1维,NM维,M1维,N1维,其中,因为,是非负定的，所以 是 的最小值。,估计量的性质：（1）估计矢量是观测矢量的线性函数；（2）如果，则估计是无偏的；（3）如果 为协方差阵，则LS估计的均方误差阵：,三、线性加权最小二乘估计,令,线性加权最小二乘估计就是使,达最小的估计。,N*N对称正定矩阵,估计量的性质：（1）估计矢量是观测矢量的线性函数；（2）如果，则估计是无偏的；（3）如果 为协方差阵，则LS估计的均方误差阵：,如何选取权矩阵，使均方误差为最？可以证明，当,均方误差阵取最小值，,四、非线性最小二乘估计,的信号模型 是非线性的，,最小化的问题十分困难。,（1）参量变换法（2）参量分离法,五、最小二乘估计应用举例（1）光条中心高斯曲线拟合；（2）图像畸变的多项式修正,（u，v）校准后的坐标，（x，y）校准前的坐标。,
