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1、固 体 电 子 理 论,2.7 晶体中电子的运动,布洛赫电子运动的速度、加速度、有效质量,在讨论外场作用下晶体中电子的运动规律时，首先要知道晶体电子在波矢k0状态的平均速度。由量子理论可知，粒子运动的平均速度相当于以波矢k0为中心的波包移动的速度。该波包由以k0为中心的在k范围内的一系列布洛赫波叠加而成,k应当满足 关系。在这样的k范围可以认为，描述波包的函数（一维）为,在k内，k值偏离k0的值用表示，即,固 体 电 子 理 论,波包的波函数 可以改写为,相应的几率分布为,波包中心移动的速度（即电子的速度）为,当 时，上式有最大值，根据几率密度的意义，波包中心在 处。,固 体 电 子 理 论,
2、波包在空间上集中在x范围，有,且。波包的大小如果大于许多个原胞，则晶体中电子的运动可以看作是波包的运动。波包的运动同经典粒子一样，波包移动的速度等于粒子处于波包中心那个状态所具有的平均速度。,下面考虑在外力Fx 作用下，晶体电子的加速度。在dt 时间内电子获得的能量等于外力所作的功，即,单位时间内能量的增量为,电子的加速度为,固 体 电 子 理 论,由以上两式可得,与牛顿第二定律 相比较，如果令,则晶体中电子的运动，在形式上可写为：,m*称为电子的有效质量，在一维情况下它是标量。在三维晶体中，电子的速度为,电子的加速度,固 体 电 子 理 论,写成分量形式：,由,则得到,固 体 电 子 理 论
3、,与牛顿第二定律对比，上式中的 与质量的倒数相对应，它就是前式中由九个元素组成的矩阵，称为倒有效质量张量。其分量可表示为：,其缩写形式为,由此可见，这是一个对称张量。经过适当坐标变换可以使其对角化，前式所代表的九个元素中只有I=j 的三个元素不为零，即,i,j=1,2,3,固 体 电 子 理 论,上式说明有效质量是状态的函数，取决于该状态中的 关系。仅表示晶体中电子在外力场作用下，加速度与外力之间的比例关系，量纲与质量相同。它不同于自由电子的质量m。m*是与电子所受的内力（晶格势场引起）密切相关，概括了晶格势场对电子的作用。一般情况下有效质量是张量，晶体中电子的加速度一般与外力方向不同。只有外
4、力沿等能面主轴方向时才是相同的。有效质量是波矢K函数，它可以大于惯性质量，也可以小于惯性质量甚至可以是负的。只有在带底与带顶附近，可以近似认为是常数。在带底附近，而带顶附近，说明此处所外加力与加速度反向。对于自由电子来说这是不可理解的。但对于晶格中的电子，由于除受外力作用外，还受到晶格内场的作用。，就是电子受到晶体势场强烈作用的结果，此时晶体传递给电子的动量大于外力传递给电子的动量，电子能克服外力影响作负加速运动。外层电子的能带宽，小，内层电子的能带窄，大。,0,E,固 体 电 子 理 论,金属、半导体和绝缘体,满带对电导无贡献,由N个元胞组成的晶体，其简约布里渊区波矢K 的数目为N。考虑电子
5、的自旋，每个子能带包含有2N个电子态，即每个子能带可填充2N个电子。如果一个能带内的全部状态均为电子所填充，则称之为满带。如果一个能带未被电子所填满，则称之为不满的带。例如，半导体硅、锗，它们的价带由四个子能带组成，共有2N48N个电子态。而硅、锗是4价的，每个原子有4个价电子。N个元胞组成的晶体便有8N个价电子。在基态这8N个价电子正好填满价带，价带的四个子能都是满带。已经知道，电子的能量是波矢的偶函数,即,电子的速度,固 体 电 子 理 论,上式说明速度是波矢的奇函数。波矢为k 的状态和波矢为k 的状态中电子的速度是大小相等但方向相反。当没有外电场存在时，在一定的温度下，电子占据某个状态的
6、几率只同该状态的能量有关。是k 的偶函数，电子占有k 状态的几率同占有k状态的几率相等。因此在这两个状态的电子电流互相抵消，晶体中总的电流为零。,满带 不满的带,固 体 电 子 理 论,外场不改变满带电子的分布,当有外电场E存在时，满能和不满的带对电流的贡献有很大区别。对于满带的情况，所有的电子状态都以相同的速度（反电场方向）运动。在点A 的状态和点A 的状态完全相同。因此，有外电场存在时，电子的运动并不改变布里渊区内电子分布的情况。由布里渊区一边出去的电子，就在另一边同时填了进来。可见对于一个所有状态都被电子充满的能带，即使有电场晶体中也没有电流，即满带对电导没有贡献。,0,固 体 电 子
7、理 论,对于一个不满的带，在电场作用下，每个电子的波矢都随时间改变相同的量.由于散射的存在，使得电子在各个状态上的分布达到一个稳定状态，它与平衡分布不同，电子在布里渊区内分布不再是对称分布。此时向左方向运动的电子比较多，总的电流不再是零。因此在电场作用下，不满的带才对电导有贡献。,满带 不满的带,固 体 电 子 理 论,综上所述：在电场作用下，一个充满了电子的能带不可能产生电流。如果孤立原子的电子都形成满壳层，当有N 个原子组成晶体时，能级过渡成能带。能带中的状态是能级中的状态数目的N 倍。因此，原有的电子恰好充满能带中所有的状态，这些电子并不参与导电。如果原来孤立原子的壳层并不满，如金属钠，
8、一共有11个电子每个3s状态可有2个电子，所以当N 个原子组成晶体时，3s 能级过渡成能带，能带中有2N个状态，可以容纳2N 个电子。但钠只有N个3s电子，能带是半满的。因此在电场作用下，可以产生电流。,固 体 电 子 理 论,金属、半导体和绝缘体,对于金属，价电子处在未被充满的带，这种能带称为价带。一价金属（锂、钠、钾等）都属于这种情况，这些元素晶体都是良导体。对于碱土元素所形成的晶体，例如镁，孤立原子有2个3s电子，照理晶体中的3s能带应该是满带。如按照上述原则，镁应该是不导电的。但实际上镁及其它碱土族晶体都是导体。这是由于镁的3s能带和较高的能带有交迭的现象。因此仍有电子在不满的带。以上
9、结果说明，价电子在不满的带或能带的交叠，都可以使晶体具有导电的性质。金属能带的交迭，已由x射线发射谱实验得到证实。对于三维晶体，沿某一个方向的周期为a1,沿另一个方向的周期为a2,在k 空间相应的波矢为k1和k2，它们分别在 和 处出现禁带，但禁带所在的能量值及宽度不一样，可能发生交叠。从整个晶体看，某一个方向上周期性势场产生的禁带被另一个方向上许可的能带覆盖，晶体不存在真正的禁带。,固 体 电 子 理 论,能带交叠,0,对于绝缘体，它的价电子正好把价带填满，而更高的许可带与价带之间隔着一个很宽的禁带。除非外电场非常强，上面许可带总是没有电子的。因此，在电场作用下不会产生电流。半导体的能带结构
10、基本上与绝缘体相似，只是禁带较窄，一般在2eV以下。因此可以靠热激发，将满带（价带）的电子激发到最靠近价带的空带（称为导带），于是有导电的本领。由于热激发的电子数目随温度按指数规律变化，所以半导体的电导率随温度的变化也是指数型的，这是半导体的主要特征。,固 体 电 子 理 论,绝缘体和半导体的能带结构示意图,空带,禁带,k,固 体 电 子 理 论,硅和锗的每个元胞有两个原子。每个原子有4个价电子，一个处于ns态，三个处于np态。由N个元胞形成的晶体中共有8N个价电子。在形成晶体的过程中，随着原子间距的减小，相同能级发生扰动，成为能带。如果认为，原来的ns能级变成ns能带，np能级变成np能带，
11、则价带将可容纳16N个电子。这样硅和锗应该是金属而不是半导体。对于原子的内层电子，原子的能级同晶体的能带一一对应的关系是正确的。对于价电子，这种对应关系不一定能保持。一般认为当原子间距较大时，上述对应关系成立；当原子间距减小，达到某个数值r 时，由于ns态电子与np态电子之间有强的交叠，使晶体能带发生强烈的变化。例如当原子间距为r0是，产生为禁带所隔开的两个能带，每一个带有4N个能级，8N个价电子恰好填满下面的能带成为满带，而上面的带成为空的导带，中间由禁带隔开。因此，硅和锗都是半导体。,固 体 电 子 理 论,空穴,上式表明，从k态失去一个电子后，整个能带中的电子电流等效于一个由正电荷e所产
12、生的电流，其运动速度等于k态电子运动的速度，这种空的状态称为空穴。在电磁场作用下，随时间变化,作用于k态电子上的力为,设想满带中有一个 K 态没有电子，成为不满的带，在电场作用下，将产生电流，用I（k）表示。如果将一个电子放入k态中去，这个电子的电流为，能带又成为满带，总电流应为零，即,式中E和B分别为电场强度和磁感应强度。设电子的有效质量为 me*,固 体 电 子 理 论,由式前述me*表达式及上式，可得,实际上，空状态往往在能带顶附近，由，上式可写成,方括号内的式子恰好表示一个带正电荷e的粒子在电磁场中所受的力。上述讨论说明，当满带顶附近存在空穴状态时，整个能带中的电子电流及其在电磁场下的变化，完全等同于一个具有正电荷e、正的有效质量、速度为（k）的粒子。由于满带顶的电子比较容易受到热激发到导带，因此空穴多位于价带顶。,
