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1、2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分1（2012年高考（新课标理）已知,则,的图像大致为(),B,【解析】选,得:,或,均有,排除,2（2012年高考（浙江理）设a0,b0.（）,则ab,则ab,C若,D若,则ab,则ab,B若,A若,【答案】A【解析】若,必有,.构造函数:,则,恒成立,故有函数,在x0上单调递增,即ab成立.其余选项用同样方法排除.,3（2012年高考（重庆理）设函数,其导函数为,且函数,的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是（）A函数,有极大值,和极小值,B函数,有极大值,和极小值,C函数,有极大值,和极小值,D函数,有极大值,和极小值,在R上可导,【答案】D
2、 解,由,为增;,由,为减;,由,为减;,由,为增.,4（2012年高考（陕西理）设函数,A,为,的极大值点,为,的极小值点,为,的极大值点,为,的极小值点,则（）,B,C,D,解析:,令,得,时,为减函数;,时,为增函数,为,的极小值点,选D.,所以,5（2012年高考（山东理）设,且,则“函数,在,上是减函数”,是“函数,在,A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件,上是增函数”的（）,【解析】若函数,在R上为减函数,则有,函数,为增函数,则有,所以“函数,在R上为减函数”是“函数,为增函数”的充分不必要条件,选A.,6（2012年高考（湖北理）已知二次函数,
3、的图象如图所示,则它与x,A,B,C,D,轴所围图形的面积为（）,解析:根据图像可得:,再由定积分的几何意义,可求得面积为,.,【解析】,故,答案C,7（2012年高考（福建理）如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则P恰好取自阴影部分的概率为,A,B,C,D,（）,8（2012年高考（大纲理）已知函数,的图像与,轴恰有两个公共点,则c=(),A,或2B,或3C,或1D,或1,答案A,【解析】因为三次函数的图像与x,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可而,当,由,或,可得,或,即,轴恰有两个公共点,时取得极值,9（2012年高考（上海理）已知函数,的图像是折线段ABC,若中A
4、(0,0),B(,5),C(1,0).函数,的图像与x轴围成的图形的面积为_.,解析如图1,所以,易知,y=xf(x)的解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=,.评注对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.,10（2012年高考（山东理）设,.若曲线,与直线,所围成封闭图形的面积为,则a=_,【解析】由已知得,所以,【解析】本题考查三角函数定积分的应用.,.,11（2012年高考（江西理）计算定积分,_.,12
5、（2012年高考（广东理）曲线,在点,处的切线方程为_.,解析:,所以切线方程为,即,13（2012年高考（天津理）已知函数,的最小值为0,其中,()求,()若对任意的,有,成立,求实数k,()证明,a的值;,的最小值;,13.【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力.(1),的定义域为,得：,时，,（2）设,则,在,上恒成立,（*）,当,时，,当,时，,得：实数,的最小值为,与（*）矛盾,符合（*）,（3）由（2）得：,对任意的,取,当,时，,得：,当,时，,得：,恒成立,14（2012年高考（
6、新课标理）已知函数,满足,(1)求,的解析式及单调区间;,求,的最大值.,(2)若,【解】（1）,令,得：,得：,在,R上单调递增,得：,的解析式为,且单调递增区间为,单调递减区间为,（2）,得,当,时，,在R上单调递增,时，,与,当,时，,得：当,时，,令,；则,当,时，,当,时，,的最大值为,矛盾,15（2012年高考（浙江理）已知a0,b,R,函数,.()证明:当0 x1时,()函数,的最大值为|2a-b|a;,+|2a-b|a0;,1对x,0,1恒成立,求a+b的取值范围.,(),()若1,【解析】(),当b0时,0在0 x1上恒成立,的最大值为:,当b0时,在0 x1上的正负性不能判
7、断,此时,的最大值为:,=|2a-b|a;综上所述:函数,在0 x1上的最大值为|2a-b|a;,=|2a-b|a;,()要证,+|2a-b|a0即证,=,亦即证,的最大值小于(或等于)|2a-b|a,令,当b0时,0在0 x1上恒成立,的最大值为:,当b0时,在0 x1上正负性不能判断,|2a-b|a.,此时,=|2a-b|a;,|2a-b|a;,综上所述:,+|2a-b|a0在0 x1上恒成立.,()由()知:,且函数,1,1对x,|2a-b|a1.取b为纵轴,a为横轴.则可行域为:,和,目标函数为z=a+b.作图如下:由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,所求a+b的取值
8、范围为:,.,在0 x1上的最大值为|2a-b|a,在0 x1上的最小值比(|2a-b|a)要大.,0,1恒成立,16（2012年高考（重庆理）设,其中,曲线,在点,处的切线垂直于,()求,()求函数,的极值.,轴.,a的值;,解:(1)因,故,得,(2)由(1)知,令,解得,当,时,故,在,上为减函数;,时,故,在,故,在,处取得极小值,(舍去),上为增函数;,17（2012年高考（陕西理）设函数,(1)设,证明:,在区间,(2)设,若对任意,有,求,(3)在(1)的条件下,设,是,在,判断数列,的增减性.,内存在唯一的零点;,b的取值范围;,内的零点,解析:(1),时,在,又当,时,在,上
9、是单调递增的,在,内存在唯一零点.,内存在零点.,(2)当,时,对任意,都有,等价于,在,上最大值与最小值之差,()当,即,时,()当,即,时,()当,即,时,综上可知,与题设矛盾,恒成立,恒成立.,(3)设,是,在,内的唯一零点,于是有,又由(1)知,在,上是递增的,故,所以,数列,是递增数列.,18（2012年高考（山东理）已知函数,(,为常数,),曲线,在点,处的切线与,()求,()求,()设,其中,为,证明:对任意,轴平行.,的值;,的单调区间;,的导函数.,解析:(1)由f(x)=,可得,而,即,解得,(),令,可得,当,时,当,时,于是,在区间,内为增函数;在,内为减函数.,(),
10、(1)当,时,(2)当,时,要证,只需证,设函数,即可,则,则当,时,令,解得,当,时,;当,时,则当,时,且,则,于是可知当,时,综合(1)(2)可知对任意x0,恒成立.,设函数,另证2:根据重要不等式当,时,即,于是不等式,设,令,解得,当,时,;当,时,则当,时,于是可知当,时,成立.,19（2012年高考（辽宁理）设,曲线,与直线,()求,()证明:当,时,.,在(0,0)点相切.,的值.,20（2012年高考（江苏）,已知,是实数,1和,是函数,的两个极值点.(1)求,a和b,(2)设函数,的导函数,求,(3)设,其中,求函数,的零点个数.,的值;,的极值点;,解:(1)由,得,1和
11、-1,是函数,解得,(2)由(1)得,解得,当,时,;当,时,是,当,或,时,不是,的极值点是-2.,的两个极值点,的极值点.,的极值点.,(3)令,则,讨论关于,的方程,根的情况:,当,时,由(2)可知,的两个不同的根为1和一2,注意到,是奇函数,的两个不同的根为-1和2.,时,一2,-1,1,2 都不是,由(1)知,.,当,的根.,当,时,是增函数,此时,在,当,时.,又,在(1,2)内有唯一实根.,当,时,又,因此,当,时,有两个不同的根,满足,;当,时,有三个不同的根,满足,无实根.,是单调增函数.,的图象不间断,同理,在(一2,-1)内有唯一实根.,是减两数.,的图象不间断,在(一1
12、,1)内有唯一实根.,现考虑函数,(i)当,时,有两个根,满足,而,有三个不同的根,有两个不同的根,故,(11)当,时,有三个不同的根,满足,而,有三个不同的根,故,综上所述,当,时,函数,有5 个零点;当,时,函数,有9个零点.,的零点:,有5 个零点.,有9 个零点.,21（2012年高考（湖南理）已知函数,其中a0.(1)若对一切xR,f(x)1恒成立,求a的取值集合.,的图像上取定两点,记直线AB斜率为K,问:是否存在x0(x1,x2),使,成立?若存在,求,的取值范围;若不存在,(2)在函数,请说明理由.,【解析】()若,则对一切,这与题设矛盾,又,故,而,令,当,时,单调递减;,时
13、,单调递增,最小值为,对一切,恒成立,当且仅当,当,令,则,当,时,单调递增;,时,单调递减.,时,取最大值,当,故当,()由题意知,令,则,令,则,当,时,单调递减;,时,单调递增.,当,.因此,当且仅当,即,综上所述,的取值集合为,时,式成立.,故当,即,从而,又,所以,因为函数,在区间,上连续,所以存在,使,单调递增,故这样的,是唯一的,且,.故当且仅当,时,综上所述,存在,使,成立.且,的取值范围为,.,22（2012年高考（湖北理）()已知函数,其中,为有理数,且,.求,()试用()的结果证明如下命题:设,为正有理数.若,则,()请将()中的命题推广到一般形式,并用数学归纳 法证明你
14、所推广的命题.注:当,为正有理数时,有求导公式,.,的最小值;,解析:(),令,解得,当,时,所以,在,当,时,所以,在,故函数,在,处取得最小值,内是减函数;,内是增函数.,()由()知,当,时,有,即,若,中有一个为0,则,若,均不为0,又,可得,于是在中令,可得,亦即,综上,对,为正有理数且,总有,.,()()中命题的推广形式为:设,为非负实数,若,则,用数学归纳法证明如下:(1)当,时,有,(2)假设当,时,成立,即若,为非负实数,为正有理数,且,则,.,为正有理数.,成立.,当,时,已知,为非负实数,为正有理数,且,此时,于是,=,因,由归纳假设可得,从而,又因,由得,从而,故当,由
15、(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立.,时,成立.,23（2012年高考（广东理）设,()求集合,()求函数,在,内的极值点.,(用区间表示);,解析:()考虑不等式,因为,且,当,时,此时,当,时,此时,当,时,此时,有两根,设为,、,且,则,于是,的解.,当,时,所以,此时,当,时,所以,此时,综上所述,当,时,当,时,当,时,当,时,.其中,.,(),令,可得,.因为,所以,有两根,和,且,.当,时,此时,在,内有两根,和,列表可得,所以,在,内有极大值点1,极小值点,当,时,此时,在,内只有一根,列表可得,所以,在,内只有极小值点,没有极大值点.,当,时,此时,于是,在,内
16、只有一根,列表可得,所以,在,内只有极小值点,没有极大值点.,当,时,此时,于是,在,内恒大于0,在,综上所述,时,在,内有极大值点1,当,时,在,内只有极小值点,没有极大值点.,时,在,内没有极值点.,内没有极值点.,极小值点,当,当,24（2012年高考（福建理）已知,()若曲线,在点,处的切线平行于,求函数,()试确定,的取值范围,使得曲线,上存在唯一,曲线在该点处切线与曲线只有一个公共点,.,轴,的单调区间;,的点,解:(1),故,时,时,所以函数,的增区间为,减区间为,(2)设切点,则切线,令,因为只有一个切点,所以函数,只有一个零点,因为,若,因此有唯一零点,由,的任意性知,若,令
17、,则,存在一个零点,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故,的取值范围为,不合题意,25（2012北京）已知,(,),(1)若曲线,与曲线,在它们的交点(1,c),处具有公共切线,求,(2)当,时,求函数,的单调区间,并求其在区间,上的最大值.,的值;,解:(1)由,为公共切点可得:,则,则,又,即,代入式可得:,(2),设,则,令,得:,原函数在,单调递增,在,单调递减,在,若,即,时,最大值为,若,即,时,最大值为,若,时,即,时,最大值为,综上所述:当,时,最大值为,当,时,最大值为,.,上单调递增,26（2012年高考（安徽理）(本小题满分13分)设,(I)求,在,(II)设曲线
18、,在点,的切线方程为,;求,的值.,上的最小值;,【解析】(I)设,;则,当,时,在,得:当,时,的最小值为,当,时,当且仅当,时,的最小值为,上是增函数,(II),由题意得:,27(2012新课标)设函数f(x)=exax2()求f(x)的单调区间()若a=1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)+x+10，求k的最大值,30设函数,，,（）若,，求函数,在,（）若函数,在,试求实数,的取值范围；,上的最小值；,上存在单调递增区间，,（）,的定义域为,因为,所以,在,所以,在,上的最小值为,上是增函数，,解析：,31设函数,，,（）若,，求函数,在,（）若函数,在,试求实数,的取值范围；,
19、上的最小值；,上存在单调递增区间，,（）解法一：,依题意得，在区间,上存在子区间使不等式,又因为,，所以,设,，所以,小于,在区间,又因为,成立.,的最大值.,由,解得,由,解得,所以,在区间,上递增，在区间,上递减.,所以函数,在,或,又,，,，所以,，,所以实数,的取值范围是,处取得最大值.,),解法二：,设,依题意，在区间,上存在子区间使得不等式,注意到抛物线,开口向上，,，或,由,，即,，得,由,，即,，得,所以,成立.,所以只要,即可.,解:,32,33,0,1,2,34已知函数,其中a为大于零的常数（1）若函数,在,（2）求函数,在区间,（3）求证：对于任意的,且,时，都有,成立,
20、上单调递增，求a的取值范围；,上的最小值；,解：,（1）由已知，得,上恒成立，,上恒成立,又,（2）当,时，,在（1，2）上恒成立，,在1，2上为增函数，,.,当 时,在（1，2）上恒成立，,在1，2上为减函数,当,时，令,综上，,在1，2上的最小值为:,当,时，,当,当,35（2009浙江）已知,若,在区间,上不单调，求,的取值范围；,解析：,因,在区间,上不单调，所以,在,上有实数解,且无重根，由,得,令,有,记,则,在,上单调递减，在,上单调递增，所以有,而当,时有,在,上有两个相等的实根x=1,，故舍去，所以,36.（2009浙江）已知,（I）若函数,的图象过原点，且在原点处的切线斜率
21、是,，求,（II）若,在区间,上不单调，求,的值；,的取值范围,又,，解得,或,（）函数,在区间,不单调，等价于导函数,在,0的实数,函数,在,上存在零点但不是重根，,即：,整理得：,解得,解（）由题意得,既能取到大于0的实数，又能取到小于,（1）根据零点存在定理，由,解得,（2）,综上,37已知函数,，曲线,在点,处的切线方程为,（I）求a，b的值；（II）证明：当x0，且,时，,（）,由于直线,的斜率为,且过点,，故,即,解得,，,。,（）由（）知,所以,考虑函数,则,所以当,时，,故当,时，,当,时，,从而当,38(2011)已知函数,，曲线,在点,处的切线方程为,（）求a.b,（）如果
22、当,，且,时，,求,的取值范围。,的值；,解析：（）,由于直线,的斜率为,，且过点,，故,即,解得,，,（）由（）知f(x)=,。考虑函数,，则,。,(i)设,，由,知，当,时，,，h(x)递减。而,故当,时，,，可得,当x,（1，+,）时，h（x）0，可得,从而当x0,且x,1时，,+,）0，即f（x）,h（x）0,f（x）-（,+,（ii）设0k1.由于,=,的图像开口向下，且,对称轴x=,.当x,（1，,）时，（k-1）（x2+1）+2x0,故,(x）0,而h（1）=0，故当x,（1，,h（x）0，可得,（iii）设k,1.此时,故当x,（1，+,）时，h（x）0，可得,h（x）0,与题
23、设矛盾。,，0,）时，,h（x）0,与题设矛盾。,（x）0,h（1）=0，,综合得，k的取值范围为（-,39已知函数,(1)若f(x),在区间,(2),上不单调,是否存在正整数a，使,解析：,求实数a的取值范围；,若存在求出a值；若不存在说明理由,40已知函数,（1）若函数,是,上的增函数，求,（2）若对任意的,，都有,最大整数,（3）证明：,。,k的取值范围；,，求满足条件的,k的值；,解：（1）设,因为,是,上的增函数，且,所以,是,上的增函数，所以,；所以,的取值范围为,所以,（2）由条件得到,对任意的,，都有,41已知函数f(x)=lnx-ax2+ax(aR)(1)若a=-1时，证明函
24、数f(x)只有一个零点；(2)若f(x)在区间(1,+)上是减函数，求a的取值范围；,(2)f(x)在区间(1,+)上是减函数,42已知函数f(x)=lnx+a(x2-x)(1)若a=-1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；,【分析】利用f(x)=0求出极值点，通过列表确定极大值或极小值；函数单调递减区间的存在，则为f(x)0有解,所以x=1时，f(x)极大值=0，无极小值,【点评】各种数学思想如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换的思想等都利用二次函数作为载体，导数在解决函数的有关性质问题时，最终也是利用二次函数为载体来解决问题,43,45
25、.(2009启东模拟)已知函数(aR).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b，求a、b的值；（2）若函数f(x)在（1，+）上为增函数，求a的 取值范围；（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.解(1)因为 所以 又因为f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b，所以 所以,(2)若函数f(x)在（1，+）上为增函数，则 在（1，+）上恒成立，即ax2 在（1，+）上恒成立.所以a1.（3）当a=0时，f(x)在定义域（0，+）上恒大于0，此时方程无解；当a0时，,因为当x(0,)时，f(x)0，f(x)在,+）内为增函数.所以当x=时，f(x)有极小值，即为最小值 当a
26、(0,e)时，此时方程f(x)=0无解；当a=e时，.此时方程有唯一 解x=；当a(e,+)时，,因为 且11时，(x-lnx)0，所以当x1时，x-lnx1.则xlnx，因为2a 1，所以 所以方程f(x)=0在区间,+）上有唯一解.即方程f(x)=0在区间（0,+）上有两个解.综上所述，当a0,e)时，方程无解；当ae时，方程有两个解.,返回,46.已知函数(x0),其中a,bR.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为 y=3x+1,求函数f(x)的解析式;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若对于任意的 不等式f(x)10在 上恒成立,求b的取值范围.解（1）由导数
27、的几何意义得 f(2)=3,于是a=-8.由切点P（2，f（2）在直线y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9.,所以函数f(x)的解析式为（2）当a0时，显然f(x)0(x0).这时f(x)在（-,0）,(0,+)内是增函数.当a0时，令f(x)=0，解得x=.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在（-,）,(,+)内是增函数，在（-,0）,(0,)内是减函数.综上所述，当a0时,f(x)在（-,0）,（0,+）内是增函数 当a0时，f(x)在（-,-），（,+）内是增 函数，在（-,0），(0,)内是减函数.（3）由（2）知，f（x）在 的最大值为 与f(1)中
28、的较大者，对于任意的 不等式 f(x)10在 上恒成立，当且仅当,47(2010安徽)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解析：(1)由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，极小值f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.,由(1)知当aln 21时，
29、g(x)最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.,49,50已知函数f(x)=,（1）若f(x),在1，）上为单调函数,，若在1，e上至少存在一个,使得f(x0)h(x0),成立，求,m的取值范围,，mR,求m的取值范围；,（2）设,（1）f(x)=,f(x)在其定义域内为单调函数，,或者,在1，）恒成立,等价于,即,而,，（,）max=1，,等价于,即,在1，）恒成立，,（0，1，,综上，m的取值范围是,（2）构造,当,时，,，,在1，e上不存在一个,，使得,返回,52已知函数,，,（）讨论函数,（）设函数,在区间,内是减函数，求a,解：（1）,求导：,当,时，,在,上递增,的单调区间；,的取值范围,当a23时,0,求得两根为,即,在,递增，,递减，,递增,（2）,，且,解得：,或,23,13,y,x,0,
