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数列极限的性质,1.唯一性,定理1 每个收敛的数列只有一个极限.,证明,例1,在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：,定理2,若数列xn 收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a,这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的极限值，则xn一定是发散的。,例2,对于数列xn，,3.有界性,例如,有界,无界,定义,收敛的数列必定有界.,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,证明：,定理3,4.保号性,若,定理4,，则存在正整数,当 时，有,推论,对一切正整数，,且,，则,5.运算性质,若，,定理5,，则,1）,2）,3）,4）,例3,6.运算性质,定理6,设,是非空有上界数集，且,推论,设,是非空有界集，,，则,存在互不相同的数列，,使得,小结,收敛数列的性质:有界性，唯一性，保号性等,练 习 题,
