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1、4.1 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,1.引例 某人向目标靶射击十枪，命中靶子的情况分别为：,现求平均成绩,解：平均成绩为,2.定义 设离散型随机变量 X 的分布列为,如果级数 绝对收敛，即 收敛，则和 为随机变量 X 的数学期望或均值，记为，即,通过前面的例子可以看到，随机变量的均值反映了变量取值的平均水平，是一个数。,如果级数 不绝对收敛，即 不收敛，则称随机变量 X 的数学期望不存在。,下面我们举例来说明。,例1 对服从（01）分布的随机变X，其分布列为：,求 X 的数学期望。,由数学期望定义,解,例2 设，求。,已知二项分布的分布列为,解,则 X 的数学期望为,例3 设 X
2、服从参数为 的泊松分布，求。,已知泊松分布列为：,解,从而,二、连续型随机变量的数学期望,1.定义 设X 为连续型随机变量，概率密度,为，如果积分 绝对收敛，即 收敛，则称积分 的值为连续型随机变量 X 的数学期望或均值，记为。即,反之，如果积分 发散，则称随机变量 X 的数学期望不存在。,例4 设 X 服从(a,b)区间上的均匀分布，求 X 的数学期望。,已知 X 的概率密度为,从而,正好是区间 的中点。,解,例5 设 X 服从参数为 的指数分布，求 X 的数学期望。,已知 X 的概率密度为,从而所求数学期望为,解,例6 对服从正态分布 的随机变量X，求其数学期望。,已知 X 的概率密度为,
3、则所求数学期望为,解,作变换，得到,即正态分布 的第一个参数 就是随机变量 X 的均值。,例7 求下面已知概率密度的随机变量 X 的数学期望。,三、随机变量函数的数学期望,定理 设Y是随机变量X的函数：,若级数 收敛，则,(1)X是离散型随机变量，它的分布律为,例1 设离散型随机变量X 的分布列为,试计算：和。,由数学期望的定义可得,解,已知 X 的分布律为：,例2 设 X 服从参数为 的泊松分布，试计算 的数学期望。,从而,解,(2)X是连续型随机变量，它的概率密度为,若,收敛，则有,已知 X 的 概率密度为,例3 已知 X 服从 上的均匀分布，计算 的数学期望。,解,则所求 的数学期望为：,例4 已知 X 的概率密度如下，求,如果 是二维随机变量，是关于X 和Y 的二元函数，则同样可定义随机变量Z 的数学期望如下：,四.二维随机变量函数的数学期望,则 的数学期望为,则 的数学期望为,例5 已知,解：,例6 设随机变量 的联合概率密度为,试计算 和。,由定义，,解,例7 设随机变量 的联合概率密度为,试计算 和。,由定义，,解,五、数学期望的性质,如果 X、Y 是两个随机变量，C 为任意常数，且 都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。,如果X与Y相互独立，则,推论1 设随机变量 的数学期望都存在，则,推论2 设随机变量 相互独立，且数学期望都存在，则,例8 设,
