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1、第二节 极限的基本性质,第二章,一、收敛数列的性质,唯一性有界性 保号性、保序性,4.收敛数列与其子列的关系,二、函数极限的性质,唯一性局部有界性 局部保号性函数极限与数列极限的关系,第二章,一、收敛数列的性质,1.唯一性 定理1.1(收敛数列极限的唯一性),即若,则必有,若极限,则极限唯一.,(用反证法),及,且,取,因,N1 N+,使当 n N1 时,假设,即当 n N1 时,证法1,同理,因,故 N2 N+,使当 n N2 时,有,从而,使当 n N2 时,有,则当 n N 时,矛盾！,故假设不真!,例1 证明数列,是发散的.,证 用反证法.,假设数列,收敛,则有唯一极限 a 存在.,对
2、于,则存在 N,使当 n N 时,有,因此该数列发散.,于是推得,矛盾！,区间长度为1,这与,2.有界性,例如:,有界,无界,即若,使,(n=1,2,).,定理2.2(收敛数列的有界性),收敛的数列必定有界.,证 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,即收敛数列必有界.,有,注,有界性是数列收敛的必要条件，,但不是充分条件.,收敛 有界,关系：,例如,虽有界，但不收敛.,数列,推论 无界数列必发散.,3.保号性、保序性,定理2.3(收敛数列的保号性),(1)若,则,使当n N 时，,(),(),(2)若,则 a 0.,(),(),恒有,且,对 a 0,取,证(1),(2)用反证法证明.,注,如
3、：,推论2.3(保序性),使当n N 时，恒有,(2)若,时,有,证(用反证法),取,因,故存在 N1,使当 n N1 时,假设,从而,当 n N1 时,从而,同理,因,故存在 N2,使当 n N2 时,有,则当 n N 时,便有,与已知矛盾,于是定理得证.,当 n N1 时,4.收敛数列与其子数列的关系,(1)子数列的概念,称为数列 xn 的一个子数列(或子列)。,例如,从数列,中抽出所有的偶数项,是其子数列.它的第k 项是,组成的数列：,(2)收敛数列与其子数列的关系,定理2.4,也收敛，且,证 设,的任一子数列.,若,则,当,时,有,取正整数 K,使,于是当,时,有,从而有,注,定理,1
4、 某,收敛,例如，,但,发散.,2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，,则原数列一定发散.,例如，,发散!,二、函数极限的性质,1.唯一性定理2.1(函数极限的唯一性),2.局部有界性,如：,(2)若,则 X 0,函数 f(x)有界.,3.局部保号性定理2.3(函数极限的局部保号性),(1)如果,且 A 0,则存在,(A 0),(2)如果,且存在,A 0.,则,(A 0).,据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号,据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号,(1)如果存在 X 0,(或 0),时,恒有,f(x)g(x),(或,推论2.3,(函数极限的局部保序性),时,恒有,问题:,若,f(x)g(x),能否推出,？,例如:,设,当x 0 时,有 f(x)g(x),但是,不能！,内容小结,1.收敛数列的性质:,唯一性,有界性,保号性,保序性;,任一子数列收敛于同一极限,2.函数极限的性质:,唯一性,局部有界性,局部保号性,局部保序性;,思考与练习,1.如何判断极限不存在?,方法1.找一个趋于的子数列;,方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.,2.已知,求,时,下述作法是否正确?说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,
