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1、热传导方程的导出,热传导问题三类边界条件,三维热传导方程推导,几个记号,记,与Laplace算子相关的另一算子(梯度算子(grad),或,显然,梯度算子,其中,k 是导热系数,u(x,y,z)是导热体中的温度,付里叶热传导定律:,在dt时段内,通过面积元dS流入体积元的热量 dQ 与沿面积元外法线方向的温度变化率 成正比,也与 dS 和dt成正比,通过曲面进入导热体的总热量:,三维热传导方程推导,通过曲面进入导热体的总热量:,温度升高所需热量:,Q1=Q2,三维热传导方程:ut=a2uxx+uyy+uzz,Q1=Q2,记 a2=k/(c),初始条件:u(x,y,z,0)=(x,y,z),ut=
2、a2uxx+uyy+uzz=u,II.第二类边界条件:,III.第三类边界条件:,I.第一类边界条件:,(已知边界温度),(边界上有热流进入),(边界上有热交换),热传导问题三类边界条件,一维热传导方程:ut=a2uxx,热传导方程的初边值问题(第一类边界条件),例如,L长的细杆边界上有热流进、出,1.在 x=L 处有热流 q 流出 ux|x=L=q/k2.在 x=L 处有热流 q 流入 ux|x=L=q/k3.在 x=0 处有热流 q 流出 ux|x=L=q/k4.在 x=0 处有热流 q 流入 ux|x=L=q/k,这里 为沿热流方向的方向导数,边界上有热交换,拉普拉斯方程与拉普拉斯算子,二维热传导方程:ut=a2uxx+uyy,三维热传导方程:ut=a2uxx+uyy+uzz,热传导问题中,如果物体内部没有热源,物体外围温度不随时间变化,则经过相当长时间以后,物体内部的温度将不再改变,趋于稳定状态。,ut=0,uxx+uyy+uzz=0(Laplace方程),或,正方形区域上第一边值问题,准确解:,习题2.6（P.26）1,高斯公式,格林公式与高斯公式,
