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1、3.4 积分的换元法,3.4.1 不定积分的换元法,3.4.1.1 第一类换元法,利用基本积分公式与直接积分法，所能计算的积分非常有限，因此有必要寻找更有效的积分方法.本节将介绍换元积分法，简称换元法.,，,定理3.2 设,具有连续导数，则,证明 由于,由复合函数求导法则，得,因此，是 的一个原函数，从而,在求积分 时，如何应用定理？,如果函数 可以化为 的形式，那么,这种积分方法称为第一类换元积分法，应用时关键一步在于将g(x)dx湊成，因而这种积分法亦称为凑微分法。,例3.22 计算,解 被积函数 是一个复合函数，,可令，而，则,一般，不需写出中间变量的代换过程，直接通过凑微分计算.,例3
2、.23 计算,解 原式=,例3.24 计算,解,例3.25 计算,解,例3.26 计算,解,例3.27 计算,解,例3.28 计算,解,例3.29 计算,解,例3.30 计算,解,类似地可得,例3.31 计算,解,例3.32 计算,解,例3.33 计算,解,类似的可得,例3.34 计算,解,（使用了三角函数恒等变形）,例3.35 计算,解,例3.36 计算,解 由于,所以,3.4.1.2 第二类换元法,下面介绍第二类换元积分法,第二类积分换元公式,（2）,例3.37 计算,解 设,回代,例3.38 计算,解 设,例3.39 计算,解,所求积分化为,根据,便有,于是所求积分为,例3.40 计算,
3、其中,例3.41 计算,其中,第二类换元积分法常用于被积函数中含有根式的情况，所作变量代换小结如下：,2.被积函数中含根式,则 令,结果注意回代,1.被积函数中含根式,则 令；,3.被积函数中含根式,则 令,4.被积函数中含根式,则 令,3.4.2 定积分的换元法,这个公式叫做定积分的换元公式,应用换元公式时应注意:,例3.42 计算,解,上例的解法利用第一类换元法，由于未引入新的变量，因而积分限不需改变.,例3.43 计算,解,例3.44 计算,上例的解法利用第二类换元法，由于引入了新的变量，因而积分限必须换成新积分变量对应的积分限.,例3.45 计算,解,令,证,奇函数,例3.47计算,解,原式,偶函数,
