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1、等离激元,在宽能带金属中，由于价电子之间库仑互作用的长程性以及价电子易动的巡游性，将导致电子系统有两类激发：（1）集体激发（等离激元）；（2）个别激发（准电子）；在理论上，属于不能严格对角化的多体系统。,*为了将体系变为纯粹的电子-电子相互作用系统，略去晶格周期场和晶格振动（声子）对电子的影响。,1 等离激元和准电子,系统元激发的物理图像,正电背景,-e,对金属系统，价电子在离子的正电抵消背景上运动，系统在宏观尺度上保持着电中性。,电子密度的起伏,由于价电子易动，而且电子间有相互作用，因此系统在微观尺度上必然存在着电子密度的起伏,由于电子间的库仑作用为长程作用，那么即使局域电子密度的起伏也将在
2、整个系统中产生电子运动的关联。,金属系统元激发的来源,人们常采用系统中电子密度的傅里叶分量q作为集体坐标来描述这种电子运动的关联。,系统中电子密度起伏相对于正电背景的振荡，称为等离子区集体振荡。波矢为q、频率为q等离子区集体振荡量子在固体物理中，称为等离激元（Plasmons)。,在长波长区域（q=0）设每个电子相对于正离子背景的移动均为x，电子移动后所产生的电场为,电子运动满足方程：,显然、每一个电子均以相同的频率振动：,一般为530eV。,金属中电子的个别激发,费米面的概念：系统的“真空”（基态）可近似描述为在费米球内的所有状态均被电子占据，而球外为真空。,相对于这个“真空”的个别激发是从
3、费米球内k态上拿出一个电子放到球外k+q空态上去，于是在金属的“真空”上产生了一个k+q电子和一个k空穴。,空穴的概念,电子和空穴对的个别激发能量为：,对于确定的q；存在一个受泡利原理限制的许可区域：,激发能的界限为：,电子激发区,空穴激发区,空穴激发区,电子激发区,激发能的界限为：,图解表示的电子和空穴对激发区：,等离激元的色散曲线：,集体振动和电子空穴对激发的交叉点,等离激元能量 大于电子和空穴对激发的最大能量 集体振荡既不可能被个别对所激发，也不可能衰减为个别的电子-空穴对。,将出现集体振荡的衰减。,电子间的相互作用对金属中的单个电子的性能也有影响，其中特别重要的是屏蔽效应。屏蔽效应是指
4、电子间的库仑作用使每个电子周围形成了正电荷的屏蔽壳层，它跟随激发它的电子一起运动，从而改变电子间的相互作用势和有效质量。（电子+屏蔽电荷）的整体称为准电子。,准电子,准电子间的互作用势用汤川型屏蔽库仑势表示：,2 互作用电子系统的哈密顿,当讨论金属中电子的元激发特征时，能带效应并不重要。可以把排列晶格的正离子近似当作是均匀抹平了的连续正电荷分布，共有化电子则在此正电荷背景上运动：,凝胶模型,电子系统的哈密顿：,设有N个共有化电子，并取单位样品体积V=1，有：,由于电子的密度：,可得由电子密度的傅里叶分量表示的哈密顿：,这就是凝胶模型中电子系统的哈密顿：,在二次量子化表象中，,由此可求得：,考虑
5、自旋后，由算符表示的哈密顿为：,3 电子集体振荡的经典理论,对电子密度的傅里叶分量 求导：,再对时间求导：,由于势能与力的关系为：,由此可求得电子密度的傅里叶分量满足下列非线性的运动方程,其理由如下：,无规相近似（Radom Phase Approximation,RPA),4 量子运动方程的无规相近似,我们将从算符的运动方程出发，求解互作用电子体系的近似本征值,定义电子-空穴对的激发算符：,代表金属中的个别激发。,在互作用电子系统中这些个别激发是彼此耦合在一起的，算符的海森伯运动方程为：,密度起伏算符 是总动量为 的所有电子-空穴对运动的简单叠加。,我们只要能解出电子-空穴对的运动方程，则电
6、子体系的元激发谱就求得了,*首先我们考虑电子-空穴对之间不存在相互作用：,代表独立电子系统。那么,这里 代表不计相互作用时电子-空穴对的激发能量，是电子-空穴的自由传播。,*对于互作用电子系统,由于 上式可改写为：,*利用 算出对易式：,代入上式，并分出 项，整理后写成,第一项代表自由运动的电子-空穴对；第二项是具有相同q的所有电子-空穴对的耦合；第三项为不同q的电子-空穴对之间的相互作用；,非线性部分,作近似（在真空态求平均）：,由于平移对称性要求动量守恒，因此只有 项有贡献：,那么：,代入到密度起伏算符的线性本征方程:,可得：,上式对k求和并消去 得到频率方程：,上式可通过图解法求解,上述
7、线性化手续使运动方程中的 项自动消除，与经典情况下的无规相近似实质上相同，称为,量子无规相近似,5 线性响应理论,为了知道给定物理系统的特性，必须以某种方式扰动系统，观察其响应。,通过扰动与响应的关系，可得知系统的元激发的信息。,*设所考虑多粒子系统的哈密顿为H，它的本证能量和本征函数分别为,当外场作用于系统时的附加哈密顿设为,为使响应绝热追随扰动，要求外场缓慢加上：,加外场后系统的哈密顿为,作变换,可消去H得,*先考虑纯态情况：,若通过物理量A观察系统对外场的响应，则算符A在时刻t的量子力学期待值,代入上式得,由于,那么，上式第一项可简化为,可得,真正观察到的响应，自然不会是上述纯态的平均，
8、而应当是统计平均。,在外场作用下t时刻物理量的统计平均值为,外场所导致的统计平均值的变化为,若外场以频率振荡,其中B为算符，则,最后得响应与外扰动的关系：,显然响应与外扰动成线性关系，这就是线性响应理论的基本公式，也称为久保(Kubo)公式。广泛应用于多体系统输运系数的计算。,若定义,推迟格林函数，它的极点确定互作用系统的元激发,作傅里叶变换引入,可求出一个重要结论,某些物理量（如多电子系统的电流密度j(r,t)以及数密度起伏算符q（q0）当外场为零时其统计平均值为零，因此有,由于,在线性响应范围内成立。,6 介电函数,当研究多电子系统对外场的响应时，可假定在系统的原点处附加一个以频率振荡的“
9、试探电荷”,是试探电荷对j电子作用的势能,当考虑“试探电荷”时，的海森伯方程为,根据第四节的结果，有：,在量子无规相近似下，可得：,其中,求统计平均,再利用 上式变为：,代表外场势能的傅里叶分量,代表外扰动所感生的电子密度起伏对r点的屏蔽势能,代入,由此可引入介电函数,定义林哈德函数,D=E,电位移矢量,外电场,作代数变换,这时：,综合林哈德函数的两式得到：,由于电子-空穴对的激发能,代表将一个电子从费米球内激发到费米球外,我们进一步将因子改写,林哈德函数更完整的形式为：,介电函数是复函数,利用关系：,可得介电函数的实部：,由于,因此，上式第三项为零,介电函数的虚部：,1954年林哈德算出了介
10、电函数的明确表达式（见P.104）,若取体系中的一个电子作为“试探电荷”，则,代表电子间的有效互作用，它通过动态介电函数计入了多体效应对库仑势的影响。,利用有效互作用讨论屏蔽效应、计算相关能和准电子寿命等问题将是十分简便的。,7 电子系统的元激发谱,用无规相近似介电函数表示的响应方程：,可决定互作用电子系统的个别激发与集体激发特征。,当外扰动 时，那么，以上方程变为：,其中非零的 解才对应于系统的元激发，因此，元激发必须满足,由于 为复函数，决定元激发时区分两种情形：,（1）,对应的元激发是无阻尼的振荡，称为本征振荡。,（2）,对于复介电函数系统，标定元激发类别的程序为：,由于介电函数的实部,
11、则 导致,由作图法可定出电子系统的频率本征值,（1）由于 是根据周期性边界条件所取波矢的准连续值代入决定的，因此，在 之间图解求得的电子-空穴对的激发频率与 近似认为相等，它代表互作用电子系统的个别激发。这时,（2）对于 的频率区域，存在另一支解，与 准连续解分离开的解，这时,说明振荡是无阻尼的。这一支解代表电子气体的集体振荡,其中 为零温度时费米分布,（i）因此，准至 的展开式为,由此定出的解为,（ii）若计及 项，可定出准至q 2 的等离子振荡频率,1）在 集体振荡与电子空穴对彼此独立。,2）在 只有电子-空穴对的激发,等离激元与等离子体 等离激元是由库仑力导致的，由于库仑力是纵向的，因此，等离激元是纵振动的量子。等离子体与等离激元不同，等离子体还有横向振荡，地球周围电离层吸收电磁波就是由于等离子体的横向振荡被激发。,准二维电子系统（如液氦表面上的电子层和半导体中的MOS反型层）等离激元的色散关系,无能隙存在（已被实验证实）,谢谢大家！,
