《线性代数初步》PPT课件.ppt

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1、高 等 数 学,梅挺 主编中国水利水电出版社,第7章 线性代数初步,主要内容:一、行列式 二、矩阵的概念 三、矩阵的初等变换与线性方程组 四、n维向量,线性代数是高等数学的一个重要分支，是一门重要的基础理论课，是解决线性问题的有力工具，在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用。,学习线性代数课程，不仅培养人们的抽象思维和数学建模能力，而且培养人们对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理方法。,数学大师笛卡尔（R.Descartes）在其名著思维的法则中指出：一切问题可以化为数学问题，一切数学问题可以化为代数问题，一切代数问题可以化为方程组求解问题。,什么是线性？简单说，就是只有加和乘的

2、一次运算。,提示:,a11a22x1+a12a22x2=b1a22,a22,a11x1+a12x2=b1,a12,a12a21x1+a12a22x2=a12b2,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2,1、二元线性方程组与二阶行列式,一、行列式,提示:,a11a21x1+a12a21x2=b1a21,a21,a11x1+a12x2=b1,a11,a11a21x1+a11a22x2=a11b2,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21,1、二元线性方程组与二阶行列式,一、行列式,这样就有,行列式中的

3、相关术语,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法则,a12a21,=a11a22,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差,例1 求解二元线性方程组,解：,由于,a12a21,=a11a22,a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,2、三阶行列式,a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,并称它为三阶行列式,行列式中的相关术语,对角线法则,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,a11a22a33a12a23a31a1

4、3a21a32,a11a23a32a12a21a33a13a22a31,2、三阶行列式,按对角线法则 有,解,46324824,(4)2(3),(4)(2)4,D,12(2),21(3),114,2(2)(2),14,由x25x60解得,解,方程左端的三阶行列式,x25x6,D3x24x189x2x212,x2或x3,采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤,3、全排列及其逆序数,引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,百位数有3种选法,十位数有2种选法,个位数有1种选法,因为3216,所以可以组成6个没有重复数字的三位数,321,这6个三位数是,12

5、3,132,231,213,312,举例,我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素的全排列(也简称排列),全排列,由a b c组成的所有排列为,cba,cab,bca,bac,acb,abc,abb是排列吗?,n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pnn(n1)(n2)321n!,提示,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,以下我们只讨论n个自然数的全排列,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标

6、准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说元素pi的逆序数是ti,逆序数的计算,排列的逆序数为tt1t2 tn,举例,在排列32514中,t51,t43,t30,t21,t10,排列32514的逆序数为t010315,标准排列12345的逆序数是多少?,4、n 阶行列式的定义,观察与思考,为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构,观察与思考,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p

7、1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,三阶行列式可以写成,其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和,n阶行列式的定义,特别规定一阶行列式|a|的值就是a,由n2个数aij(i j1 2 n)构成的代数和,称为n阶行列式 记为,简记为det(aij),其中p1p2 pn为自然数1,2,n的一个排列,t为这个排列的逆序数,表示对

8、所有排列p1p2 pn取和,在n阶行列式D中 数aij为行列式D的元素,i 表示行序，j 表示列序,行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的 转置行列式 记为D 或DT,a11a12a1n,a21a22a2n,an1an2ann,则bij=aji(i,j=1,2,n),显然 如果,即,行列式的性质,性质1 行列式D与它的转置行列式DT 相等,由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之同,性质2 互换行列式的两行 行列式变号,行列式的性质,推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外面,性质4 行列式的某一行

9、(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式,性质3 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零,性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 即,性质6 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零,在运用定理7.1来计算行列式时，我们总是按含0最多的行或列来展开行列式，因为0位置的代数余子式乘以0后仍然是0。,例4 证明：,证：由定理7.1将行列式按第1行展开，,对这个n1阶行列式再按第1行展开有：,这样逐步推下去，则得到,型如例4的行列式称为下三角行列式，它们统称为三角形行列式。显然，n阶三角形行列式等于它的主对角线上元素的乘积,余

10、子式与代数余子式,的余子式和代数余子式分别为：,在计算行列式时,可以使用如下记号以便检查:,符号规定,第 i 行(或列)提出公因子 k 记作 rik(或 cik),交换 i j 两行记作 rirj 交换 i j 两列记作 cicj,以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj(cikcj),对任意的n阶行列式可用行列式性质将其化为三角形行列式，这时计算n阶行列式的值即转化为计算三角形行列式主对角线上的元素相乘的积。,解,c1c2,r2r1,r45r1,0,0,8,16,6,4,7,2,r2r3,r34r2,r48r2,40,6,解,c1c2c3c4,6,c16,r2r1,r4r1,r

11、3r1,6848,D,例8 计算,解,r4r3,r3r2,r2r1,r4r3,r3r2,r4r3,a4,5、克莱姆法则,讨论n个未知数n个方程的线性方程组,的求解问题,(),克莱姆法则,如果线性方程组()的系数行列式D不等于零 则方程组()有唯一解,其中Dj(j1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n阶行列式,例9 解线性方程组,解：系数行列式为：,其中：,因此可得：,二、矩阵的概念,由mn个数aij(i1 2 m j1 2 n)排成 的m行n列的矩形数表称为mn矩阵 记作,其中aij称为矩阵的第 i 行第 j列的元素

12、,一般情况下 我们用大写字母A B C等表 示矩阵 mn矩阵A简记为A(aij)mn或Amn,方阵 行矩阵 列矩阵,(a1 a 2 an).,n阶矩阵(n阶方阵),行矩阵(行向量),列矩阵(列向量),注 n阶方阵和n阶行列式从外形上很相似，但本质不同.,同型矩阵 矩阵相等同型矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等 就称 它们是同型矩阵 矩阵相等 如果A(aij)与B(bij)是同型矩阵 且它们的 对应元素相等 即 aijbij(i1 2 m j1 2 n)则称矩阵A与矩阵B相等 记作AB,零矩阵 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵 记为O,单位矩阵简称为单位阵 n阶单位矩阵用En或E表示,零矩阵 单

13、位矩阵 对角矩阵,单位矩阵,对角矩阵,注 n阶矩阵中从左上角到右下角的直线叫做主对角线,矩阵举例,例10 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵,其中aij为工厂向第i个店发送第j种产品的数量,这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵,其中bi1为第i种产品的单价 bi2为第i种产品的单件重量,注,图中的结点可以看作城市 有向边可以看作单向或双向航线,矩阵举例,例11 由结点和有向边构成的有向图与矩阵之间存在一一对应关系 例如,形如：,的方阵分别称为上三角形矩阵和下三角形矩阵。,例12 写出矩阵,的对角矩阵，上三角矩阵和下三角矩阵。,矩阵的运算,矩阵加法的定义 设有两个mn矩阵A(aij)和

14、B(bij)矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij)即,提示,只有当两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵 才能进行加法运算,例13,矩阵加法 设A(aij)和B(bij)则规定AB(aijbij),矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则(1)ABBA(2)(AB)CA(BC)负矩阵 矩阵的减法 设矩阵A(aij)记A(aij)A称为矩阵A的负矩阵 显然有 A(A)O 规定矩阵的减法为 ABA(B),数乘矩阵的定义 数与矩阵A的乘积 记为A或A 规定为A=(aij)即,例14,数乘矩阵的运算规律 设A、B都是mn矩阵、是数 则(1)()A(A)(2)()AAA(3)(AB)AB

15、矩阵的加法运算与数乘运算合起来 统称为矩阵的线性运算,数与矩阵相乘 设A(aij)则规定A=(aij),矩阵乘法的定义 设A(aij)是一个ms矩阵 B(Bij)是一个sn矩阵 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB 规定为mn矩阵C(cij)其中,cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1 2 m；j1 2 n),应注意的问题,只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘,矩阵的乘法 设A(aij)ms B(Bij)sn 则规定AB(cij)mn 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1 2 m；j1 2 n),解,3,1,10,3,3,7,提问 BA是否有意义,

16、例 15,解,32,16,16,8,0,0,0,0,本例说明 乘法一般不满足交换律 从ABO一般不能推出AO或BO 从A(XY)O一般不能推出XY,例 16,解,3,1,1,0,3,1,1,0,显然 ABBA 如果两矩阵A与B相乘 有ABBA 则称矩阵A与矩阵B可交换,例 17,矩阵乘法的性质,(1)(AB)CA(BC)(2)(AB)(A)BA(B)(其中为常数)(3)A(BC)ABAC(BC)ABACA,单位矩阵在矩阵乘法中的作用 对于单位矩阵E 容易验证EmAmnAmn AmnEnAmn 或简写成 EAAEA 可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1,转置矩阵的定义 把矩阵A的行换成同序

17、数的列得到一个新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作AT,120,311,转置矩阵的运算规律(1)(AT)TA(2)(AB)TATBT(3)(A)TAT(4)(AB)TBTAT,解法一,因为,所以,0,17,14,13,3,10,解法二,0,17,14,13,3,10,例 18,方阵的行列式,注：方阵与行列式是两个不同的概念。,解：,逆矩阵,本推论说明如果方阵A是可逆的，则其逆矩阵是惟一的.,方阵的逆矩阵的运算规律：,则：,分块矩阵,分法（1）可记为：,其中：,分块矩阵的运算规则：,其运算规则与普通矩阵的运算规则相似,1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，而且采用,相同的分块方法，则有：,其中：,4）

18、设：,则：,三、矩阵的初等变换与线性方程组,1、矩阵的初等变换,矩阵的初等变换有两类，即：初等行变换和初等列变换，两者类似。这里只讨论初等行变换。,矩阵的初等行变换就是将一矩阵A,变成另一矩,阵A的一些特定的方法，这些方法共有三种：,可以利用初等行变换，把矩阵的许多元素变为0，构成行阶梯形矩阵。其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个非零元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元；也还可以构成行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是零。,解：矩阵只含有一个3阶行列式：,非0行列式的最

19、高阶数为2，故矩阵的秩为2。,根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。,解：,注：矩阵在作初等变换时中间不能用等号.,2、初等方阵,定义7.16：单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等方阵。,定理7.5：设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵P1，P2，.，Pn，使A=P1P2.Pn.,推论：mn矩阵AB的充分必要条件是：存在m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使PAQ=B.,因此：,3、利用初等变换解线性方程组,对于齐次线性方程组，只需把它的系数矩阵化成行阶梯形矩阵，便能写出它的通解。对于非齐次线性方程组，只需把它的增广矩

20、阵化成行阶梯形矩阵，便能根据定理7.7判断它是否有解；在有解时，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，便能写出它的通解。,于是：,例24 解齐次线性方程组,解：对系数矩阵A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵：,即得与原方程组同解的方程组：,例25 试解线性方程组：,解：方程组的增广矩阵（令其为A）为：,方程组的系数矩阵（令其为B）为：,则,四、n维向量,1、向量的线性相关性,注：这两种向量没有什么本质上的区别。在这里只学习行向量，并把它简称为向量。,几种特殊向量：1、零向量：分量都是零的向量。记作O，O=(0,0,.,0)注：维数不同的零向量不相同。,向量的运算规则：,证明：因为要使：,必须使,因此该

21、组向量线性无关。证毕,线性相关的判定定理（不证明）：,必线性无关。,证明：设,2、向量组的秩,注：一个向量组的最大无关组有时并不惟一，但其个数r是该向量组所能含有的线性无关的向量的最多个数，是惟一的，称此为向量组的秩。,例28 求向量组(2,1,-1),(1,2,1),(1,1,0)的秩，并写出它的最大无关向量组。,解：通过计算可知该向量组的秩为2，它的最大无关向量组是(2,1,-1),(1,2,1)或(2,1,-1),(1,1,0)或(1,2,1),(1,1,0)。,例29 判断向量组(1,4,1,0),(2,1,-1,-3),(1,0,-3,-1),(0,2,-6,3)是否线性相关？,解：

22、由此向量组构成的方阵为：,通过计算可知A中只有一个4阶子式且它的值为零，,因此,，所以这个向量组线性相关.,在此要注意矩阵的秩的应用。,3、线性方程组的解的结构,解向量的性质：,例30 解方程组：,解：对系数矩阵A作初等行变换，变为行阶梯形矩阵，有：,便得：,令：,则有：,即得基础解系：,并由此写出通解：,也可写作向量方程：,非齐次线性方程组：,例31 解方程组,解：对增广矩阵B施行初等行变换：,可见,故方程组有解，并有：,，则,即得对应的齐次线性方程组的基础解系：,于是所求通解为,4、特征值与特征向量,即：,解：A的特征多项式为：,所以A的特征值为：,即：,即：,解：A的特征多项式为：,所以A的特征值为：,由：,得基础解系：,由：,得基础解系：,例34,