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1、曲线、曲面积分,.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,下一页,上一页,.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,下一页,上一页,曲线积分与路径无关的四个等价条件，重要的等价条件是：,场论初步,下一页,上一页,梯度,通量,旋度,环流量,散度,下一页,上一页,曲线积分的计算及证明.对弧长的曲线积分的计算（）用公式直接计算例计算,下一页,上一页,答案,在一条光滑(或分段光滑)的,是L上关于x 的奇函数,是L上关于x 的偶函数,L1是曲线L落在y 轴一侧的部分.,在分析问题和算题时常用的,L关于y轴 对称,补充,对称性质,曲线L上连续,则,当,(或y),(或y),
2、当,(或x轴),(或x),下一页,上一页,（）用对称性及曲线方程法,补充,例2,其中L是圆周,解,因积分曲线L关于,被积函数x是L上,被积函数,因积分曲线L关于,对称性,计算,得,是L上,y轴对称,关于x的奇函数,x轴对称,关于y的奇函数,下一页,上一页,对称性,例3,解,由于,有,的方程中的x,y,z的地位完全对称,下一页,上一页,对称性,1988年研究生考题,填空(3分),解,对称性,下一页,上一页,例4,例5计算,下一页,上一页,曲线方程法,答案,例6设，证明：,下一页,上一页,.对坐标的曲线积分的计算,（）用公式直接计算,（2）用对称性性质,下一页,上一页,L在上半平面部分与,P(x,
3、y)为,P(x,y)为,其中L1是曲线L的上半平面的部分.,类似地,对称性质,对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段,光滑的,关于,下半平面部分的走向相反时,x 轴对称,则,y的偶函数,y的奇函数,的讨论也有相应的结论.,对,下一页,上一页,例7,直接化为定积分计算,取逆时针方向.,解,法一,由曲线积分的性质.,则,其中ABCDA为,下一页,上一页,将原式分成两部分,即,曲线关于,的走向与L在下半部分的走向相反,法二,被积函数为,利用对称性质,L在上半部分,x轴对称,y的偶函数.,原式,下一页,上一页,曲线关于,L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为,所以,y轴对称,x的偶函数.
4、,下一页,上一页,（3）用格林公式（包括补线法），路径无关、全微分条件等.,平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑通过格林,公式化为二重积分来计算.,下一页,上一页,思路:,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,下一页,上一页,解,下一页,上一页,解,(如下图),下一页,上一页,非常简单.,此积分路径,不是闭曲线!,分析,下一页,上一页,利用格林公式可以简化二重积分,则,解,令,例10,为顶点的三角形闭区域.,格林公式,下一页,上一页,解,积分与路径无关,1989年研究生考题,计算,5分,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,例11,即,下一页,上一页,(1,0),法一,设曲
5、线积分,与路径无关,具有连续的导数,下一页,上一页,法二,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,下一页,上一页,2002研究生考题(数学一)8分,内具有一阶连续导数,L是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d).,记,(1)证明曲线积分I 与路径L无关;,(2)当ab=cd 时,求I 的值.,证,因为,所以在上半平面内曲线积分I 与路径L无关.,(1),例12,下一页,上一页,解,(2),由于曲线积分I 与路径L无关,所以,法一,下一页,上一页,解,(2),L是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线,起点(a,b),终点(c,d).,(2)当ab=cd 时
6、,求I 的值.,法二,设F(x)为f(x)的一个原函数,则,由此得,下一页,上一页,例13 1.计算曲线积分 练习,下一页,上一页,答案,2000研究生考题,求,答案,取逆时针方向.,2.,例14设 的方向为逆时针方向，证明：,下一页,上一页,例15证明：,下一页,上一页,2003年研考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,左边=,右边=,法一,(1),例16,下一页,上一页,证,(2),由于,故由(1)得,下一页,上一页,证,法二,(1),根据格林公式,得,左边=,右边=,因为D关于,对称,所以,下一页,上一页,证,法二,由(1)知,下一页,上一页,已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,例17,下一页,上一页,为连续函数，,下一页,上一页,练习,答案,下一页,上一页,练习,答案,下一页,上一页,练习,答案,
