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1、深度扩展题目,四则运算的算法,1、等差数列的和公式：（首项末项）项数22、项数（末项首项）公差1如：7 14 21 1995 2002该题项数是286，和是（7 2002）2862 287287,3、末项首项公差（项数1）有一数列：3，7，11，15，。这数列的前100个的和是多少？先算第100个是什么数。根据上面的公式，末项34（1001）得出399。和20100,1 2 3 45678 9 10 11 1213141516 1993 1994 1995 19961997199819992000 2001 2002 2003 2004从第5个开始分组45678 9 10 11 12 1619
2、961997199819992000 2001 2002 2003 2004那么，整个数列结果为16的数共有多少组？（20044）8 250结果为1 2 3 4 16 250 4010另一个算法：从第三项开始 3 45678 9 10 01995 19961997199819992000 2001 2002 0结果为0的组一共有250组。1 2 0 250 2002 2003 4010,四则运算的算法,1、等差数列的和公式：（首项末项）项数22、项数（末项首项）公差1如：7 14 21 1995 2002该题项数是286，和是（7 2002）2862 287287,3、末项首项公差（项数1）有
3、一数列：3，7，11，15，。这数列的前100个的和是多少？先算第100个是什么数。根据上面的公式，末项34（1001）得出399。和20100,1 2 3 45678 9 10 11 1213141516 1993 1994 1995 19961997199819992000 2001 2002 2003 2004从第5个开始分组45678 9 10 11 12 1619961997199819992000 2001 2002 2003 2004那么，整个数列结果为16的数共有多少组？（20044）8 250结果为1 2 3 4 16 250 4010另一个算法：从第三项开始 3 45678
4、 9 10 01995 19961997199819992000 2001 2002 0结果为0的组一共有250组。1 2 0 250 2002 2003 4010,有同样大小的红、白、黑珠共250个，按先红5个、再白4个、再黑3个排列着。问最后一个是什么颜色，红珠共有多少个？黑。105个。,A、B、C、D、E、F、G、H八个人，按下列方法报数，问1994的在什么位置？,观察一下，就可知道：如果该数能被7除且是单数，则在G下，是偶数，则在B下。如果是被7除得偶数以上，则从A往右数；如果是被7除得单数以上，则从H往左数。1994除7得284余6，则从A往左数，第6个。F。,全体自然数如下表排列，
5、1997位于哪一个字母下面？2010呢？,1997：E2010：B,溶液问题,甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水9升。第一次将甲容器中的部分酒精倒入乙容器，第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这样，甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中的纯酒精含量为25%。那么，第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？分析：在第二次之前，乙容器的纯酒精含量为25%。那么，乙容器中的纯酒精量为3升。甲容器中剩了8升。8升占整个容积的62.5%，那么，倒入的混合液体是多少？设个一元一次方程即可。,一个容器中装满水，有大、中、小三个铁球。第一次把小球沉入水中，溢出一些水；第二次把小球取出，将中球沉入
6、，又会溢出一些水；第三次把中球取出，把小球、大球一起沉入，还会溢出一些水。现在知道，第一次溢出的水是第二次的1/3，第三次溢出的是第一次的2.5倍。小、中、大三球的体积之比是多少？分析：把一次溢出的水量看作“1”，则第二次溢出“3”，第三次溢出的是“2.5”。而中球的体积是1+3，大球的体积是：3+2.5。那么，三球的体积比可求：1：4：5.5,相遇问题,一列客车、一列货车同时相向开出，经过17小时两车在某处相遇，已知客车第小时行50千米，货车每小时行43千米，且货车每行驶3小时要停1小时，问两地的距离。该题的关键是停的问题。把货车停时客车行的距离求出来。17（3+1）得出4余1，即停了4小时
7、。这个时间客车行了200千米。两列车共同行驶的距离为：（速度和）时间（174）,甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A 地75千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立即返回，第二次相遇在离B地面55千米处，求A、B两地相距多少千米？分析：第一次相遇二车走了一个全程，第二次相遇，二车共走了三个全程。而甲、乙的速度没变，因此，到第二次相遇，甲走了3个75千米。而且，这里面包括了到乙地的55千米。因此，甲走的全部路程减去55千米，就应是全程的距离。170。,A火车通过108米的铁桥需要52秒，通过84米的铁桥需要46秒。如果它与另一列长96米、每秒行24米的B火车交叉而过，需要多少秒？先
8、求A的速度与车长：两桥长度差24米，通过两桥的时间差6秒，因此，A车的速度可求：每秒4米A车车长：A车行驶46秒的距离：184米，而铁桥长84米，因此车长100米。两车交叉过，则是车长相加除速度相加。,两地相距900米，兄弟二人同时从A地向B地方向行走，弟弟的速度是每分钟80米，哥哥的速度是每分钟100米。当哥哥到达B地后，立即原路返回，与弟弟相遇。从出发到相遇共经过多少分钟？10分钟。两种解法：一是哥哥从A到B用的时间：9分钟。这时弟弟走了720米。还有180米。这是二人共同走的时间。把速度相加，则可知1分钟就可走完。二是二人共走了两个全长。,甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60、67、73
9、米。甲乙从东往西、丙从西同时往东，丙遇到乙后10分钟遇到甲。求东西两地的距离。先求乙、丙相遇时距离甲多远？因为甲、丙还要10分钟再遇，因此，距离为（60+73）10，得1330。这实际上是乙丙相遇时，乙比甲多走的那一块。因此，乙丙相遇时二人走的时间就能算出来：1330（6760）=190分钟。总路程就可算：（67+73）190=26600,同理：客货车同时从A城开到B城，摩托车同时从B城开到A城，已知客货车和摩托车每分钟的距离分别是800米、900米、1200米，摩托车遇货车后6分钟遇到客车，AB两城相距多少千米？摩托车与货车相遇时距客车：12000米货车到达与摩托车相遇地点用了120分钟。因
10、此，二地相距252千米。,追及问题,追及问题主要是算追及路程或时间追及路程一般应是速度差与追及时间的乘积.如:甲乙两车从A地出发到B地送货,甲车每小时行54千米,乙车每小时行63千米。甲车先行2小时，乙车才出发。问乙车追上甲车需要多少小时？12小时。先算甲车比乙车多行多少？108千米。而乙车每小时比甲车多行（6354）千米，要追上多行的这一块，用108除即可。,例：在400米的跑道上，甲、乙两人同时同地起跑。如果同向而行，3分20秒相遇，如果背向而行，40秒相遇。已知甲比乙快，求二人速度各为多少？分析：同向跑，甲遇乙必须比乙多跑一圈。这400米即为追及距离。背向跑，二人共行400米。甲乙速度和
11、为：400 40秒=10（秒/米）甲乙速度差为：400 200秒=2（秒/米）甲的速度可求：（10+2）2=6乙的速度可求：（102）2=4技巧：（速度和速度差）2=快的速度（速度和速度差）2=慢的速度,甲在60米的赛跑中跑过终点时，比乙领先10米，比丙领先20米。如果按照原来的速度冲向终点，乙到达后，领先丙多少米？三人速度分别是60、50、40，即甲跑6米，乙、丙分别跑5米、4米。现在乙离终点还有10米，需要跑两个时间单位，则乙到终点，丙离终点是204 2，可得12米。,甲乙两人同时从起点出发，向同一方向行走，甲每小时走5千米，而乙第一小时走1千米，第二小时走2千米，以后每行一小时比前一小时
12、多行1千米。问经过多少时间乙追上甲？A 6 B 8 C 9 D 10用列举法：,张、李、赵三人都要从甲地到乙地。早上6点，张、李一起从甲地出发，张的速度是每小时走5千米，乙的速度是每小时走4千米。赵从早上8点才从甲地出发，傍晚6时，张、赵同时到达乙地。问赵什么时间追上李？（或问赵追上李后，李还需要多长时间到达乙地？）分析：1、先求赵的速度。2、求赵追及李所用的时间3、求赵追上李时的时间1、张走了12小时，则总里程为60。赵的速度即可求得6。2、赵追及李的时间：李先走了两个小时，里程是8。追及8千米，需要：8（64）=4个小时。3、赵8点出发，因此12点追上李。4、此时，李走了6个小时。走的路程
13、为24，还有36，因此，他还要走9个小时。,甲乙两车同时同地出发去同一目的地。甲车每小时行55千米，乙车每小时行50千米。途中甲车停车3小时，结果比乙车晚1小时到达目的地，那么两地之间的距离是多少？依据题意，甲到目的地需要比乙车少两个小时。可以理解为甲晚走2个小时，二车同时到达。所以追及路程为50 2 100追及时间100（5550）20两地间距离用55（而不是50）2 0,难度题,森林中，猎狗发现前方20米处有一只奔跑的野兔，立即追赶上去。猎狗步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步；但兔子动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步。猎狗跑出多远才能追上野兔？分析：如果把猎狗5步的路程看作“1”，
14、则猎狗每步长1/5，兔子1/9。在相同的时间内，猎狗可以跑2步，兔子跑3步。因此，路程比是：（2 1/5）（31/9）=6：5 20（1-5/6）=120米,行船问题（风速）,船速（顺水速度 逆水速度）2水速（顺水速度逆水速度）2顺水速度船速水速逆水速度船速水速例：一只船每小时可行12千米。它逆水7小时行了70千米。如果顺水行同样的路程需要多长时间？水速：12 70 7 2顺水用时：70（12 2）5,一只船从甲地到相距94千米的乙地。船速是每小时14千米，水速是每小时3千米。由于途中机器发生故障，船在江中漂行了一段时间，结果船用了8小时才到达。问船在江中漂行了几个小时？关键：8小时内水流速度
15、没发生变化，即漂了24千米。剩下的70千米是船自身速度走的。70 14 5。因此，船漂行了8 5 3小时,工程问题,3米长的木棍，从一端开始，先锯30厘米长一段，再锯20厘米长的一段，这样交替锯成小段，每锯一次要8秒钟，每锯完一次休息2分钟。全部锯完需要多长时间？“先锯30厘米长一段，再锯20厘米长的一段”可看成两次工作。因此，共锯了300（20+30）2=12段。关键：1、锯12段只需要锯11次。2、锯完最后一段，不需要休息。即休息了10次。锯的时间：8 11=88秒休息的时间：2 10=20分钟因此，全部时间为20分钟88秒，或21分22秒。,页码问题,求书的页码的数字和往往是每一个数字相
16、加。如：一本100页的书，每一页的所有数字的和是多少？99页的数字和就是18。方法：分组；（0，99），（1，98），（2，97）等，共有50组。每组数字之和都是18。因此，所有的数字之和是900，再加上100的数字和为1，因此，可得901。知道一本书的页码，求共有多少个数码；或者知道一本书页码所需的数码数量，求这本书的页码。例：某本书内文共153页，编印这本书的页码共需要用多少个数字？1至9页，要用9个数字；10至99页，要用2 90=180个数字；100至153页，要用3 54=162个数字因此，共用351个数字。,例：某本书在排版时必须用2211个数码，问：这本书共有多少页？如果是99页
17、之内，则需要180个数字；如果是999页之内，则需要2889个数字，因此，该书的页数为三位数：（2211 189）3=674再加上99页，则为该书的总页数：773,一本书的中间被撕掉了一张，余下的各页页码数之和正好是1145，那么，被撕掉的那一张的页码数是几？先假设这本书有50页，那么，按照“高斯算法”（1 50）50 2=1255可见，这本书不到50页。经过试探、调整，该书为48页。页码之和为1176。1176 1145=31（页）但撕掉一张，而撕掉的这张又有单、双两页，因此：其页码为15和16。,火车过桥问题,某人沿着铁路桥的便道步行,一列货车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒种,货车长
18、105米，每小时速度为28.8千米,求步行人每小时行多少千米?分析：15秒实际上是火车追及行人的时间。105米实际上是火车追及行人的距离。因此，火车追及行人的速度就可求出。火车速度减去追及速度，即可得行人速度。火车速度为每秒8米。行人速度就是每秒1米，化成千米，则为3600千米。,马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18千米。马路旁有人行道上有甲、乙二人在长跑。甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上甲，6秒之后离开甲。0.5分之后，汽车遇到了迎面跑来的乙。又过了2秒，汽车离开了乙。再过多少秒，甲、乙二人相遇？汽车追及甲的距离是车走的路程减去车长。因此，甲的速度
19、是该距离除6。将汽车时速化成秒速：5米。甲的秒速为：（5 6 15）6=2.5乙的秒速为：（15 5 2）2=2.5汽车离开乙后，甲乙两人相距：（5 2.5）（30+2）=80米由此可求二人相遇的时间：16秒。,尾数问题,1 2 3 4 99的运算结果末尾有几个0?分析:2 5即可得到10，有一个0。而含有一个5的因数有：5、10、15、20、30、35、40、45、55、60、65、70、80、85、90、95。而25、50、75中含有两个5，因此，该题的结果是16+6个0。因此，计算该种题的方法是：找出题目中的各个数字包含几个含有5的因数。怎么找？用最后的数字除5、5 5、5 5 5、5
20、5 5 5等，得到的商是整数即为0的个数。如：上题99 5得19余4，除25得3余24，不能除5 5 5，因此，19加3则得到22。,同理：1 2 3 4 1982中有几个0？1982 5=396余21982 25=79余71982（55 5）=15余1071982（55 5 5）=3余107而1982 55 5 5 5，所以乘积式末尾为0的个数为：396 79 15 3=493,2，22，222，2222，222 2这1996个数相加所得的和的末尾四位数是多少？分析：末四位只和千位数的数相加有关。因此，个位上的数相加：21996=3992，十位数上的数相加：201995=39900，百位上的
21、数相加：2001994=398800，千位上的数相加：20001993=3986000，因此，把这四个数的末尾四位数加起来，得到28692。,正方体与长方体的问题,一些基本知识：表面积等于各部分面积之和。裁了一个长方体，等于增加了两个面。例：把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米，每个正方体的表面积是多少平方厘米？分析：拼完后，就减少了四个面。长方体就只有6 3 4=14个面了。而这14个面的总面积已知，则每面可求：350 4=25所以正方体的面积可求：25 6=150,把一个长、宽、高各为7、6、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大，
22、这时表面积之和是多少？分析：如何才能最大？截了后增加了两个面，使这两个面最大即可。增加哪两个？长与宽、长与高、高与宽？应该是长与宽因此（7 6 7 5 65）得出原来的长方体的表面积再加上截出的两个面的表面积：6，可得,一个长方体，前面和上面的面积之和是平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，而且都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？分析：前面和上面的面积的计算分别是长与宽、长与高的乘积。即长（宽高）。而长宽高都是质数，那么，把拆开，看是不是质因数相乘：。与再拆，看哪一个能变成质数相加。结果为可拆成、表面积可求：（）体积可求：,最大公约数与最小公倍数问题,有一个电子钟，每走分
23、钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午时整，钟又亮灯又响铃。问下一次又亮灯又响铃是几时？分析：亮灯间隔时间是分钟，响铃间隔时间是小时，即分钟。该题实际上求和6的最小公倍数。,甲对乙说，我现在的年龄是你的倍，过几年是你的倍，再过若干年就分别是你的倍、倍、倍、倍。问二人年龄现在分别是多少？分析：该题表面看无法解。但二人的年龄差是不变的。现在是倍，说明年龄差倍。同理，年龄差也是、倍，因此，找一个最小的公倍数即可。即二人的年龄差应该是的整数倍。乙现在的年龄应该是差与倍数的商。即：（）岁因此，二人年龄分别是岁、岁。,小王的存钱筒里有分和分的硬币。他把这些硬币倒出来，估计有、元钱。他分成两份，一份中分和分的个
24、数相等，另一份中分和分的钱数相等。请问，他存的多少钱？分析：个数相等，则说明一份里的钱数一定能被（分）整除；而另一份的钱数相等，则钱数一定能被（）整除。由此，每份里的钱数应是和的公倍数。最小的为。因此，总钱数应该是的倍数。而知总钱数在、元之间，因此，分。即元,一张长方形纸，长厘米，宽厘米，把它剪成若干个同样大小的正方形，使边长是整厘米数且不能有剩余，最少能剪多少个？分析：求、的最大公约数。得。（）（）得个。,练习题,自行车的前轮胎行驶9000米后报废，后轮胎行驶7000米后报废，前后轮胎可在适当时候交换位置。一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多能行驶多少千米？78752（1/9000+1/700
25、0）,15个互不相等的自然数相加（不包括0），和是2001。将这15个数从小到大排列，要求第10个数尽可能大。第10个数是什么？分析：第10 个数尽可能大，则前9 个要尽可能小。后5个数要尽可能接近第10个数。即要求出后6个数的平均数。前9个数可取1至9。2001减去1至9的和，再除6，可得326。而要使后6个数平均为326，则应为323、324、325、327、328、329。所以第10个数为323。,有两列火车迎面开。甲车速度为每秒10米，乙车为每秒8米。由于没有及时刹车，二车相撞。如果他们能在相撞前几秒同时刹车，则可避免相撞，而且两车还可保持3米的距离。（刹车后二车分别往前滑30米）这实
26、际上是相遇问题。（30+30+3）（10+8）=3.5,某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已超过安全线，上游河水还在按不变的速度增加。为了防洪，需调节泄洪速度。假设每个闸门的泄洪速度相同，以测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线。现在抗洪指挥部队要求在5.5小时使水位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？分析：这是一个“牛吃草”问题。先求每小时上游来水量：1/2份。（30-20）（30-10）再求水库里原有水量：15份。5.5小时排水量为15份，需要每小时排15 5.5（份）再加上上游来水量1/2，共计3又7/22，所以需要4个闸门
27、。,图中正方形ABCD的边长为1厘米,现在依次以ABCD为圆心,以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中阴影部分。求阴影部分的面积。,分析：AB、BE、CF、DG分别为1、2、3、4厘米。各扇形面积等于各圆形面积的1/4。,长方形ABCD的周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这4个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。,分析：周长知道，则长与宽的和可知。而四个小正方形的面积相当于两倍的长与宽为边长的两个正方形面积之和。因此，列方程可知。X+Y=8X2+Y2=34由一式可知：（X+Y）2=64则X2+2XY+Y2=64得：2XY为30。XY为15
28、。,用同样大小的长方形纸片，摆成了如图的形状，已知小纸片的宽度是12厘米，求阴影部分的面积之和。,分析：由图中可看出，五个长等于三个长加三个宽。因此，二个长等于三个宽。所以，一个小纸片的长可求：18。小正方形的边长可求：长方形的长与宽之差：6。因此，三个小正方形面积可求：336=108,如图ABCD是一个长方形，AB=10厘米，AD=4厘米，E、F分别为BC、AD的中点，G是线段CD上任意一点，则阴影部分的面积是多少平方厘米？,分析：两个三角形的高的和是CD。,图中ABCD是一个长方形，它的面积是平方厘米。又知图中阴影部分的面积之和是451平方厘米，那么，四边形EFGO的面积是多少平方厘米？,
29、分析：所求面积应该是AFD减去AOD与AEO与GOD的面积和。1、不管F是什么位置，AFD的面积为长方形的一半。2、AOD的面积是长方形面积的1/4。3、关键是求AEO与GOD的面积和。4、阴影部分面积已知，去掉AOD面积，可知AEO与GOD的面积和。,上图中长方形ABCD的长为12厘米，宽为6厘米。把它的长3等分，宽2等分，然后在长方形内任取一点，把这一点与分点及顶点相连。求图中阴影部分的面积。,分析：因为点是任意的，因此，单独求各个小三角形的面积是不可能的。但不管点在什么位置，上下两个三角形的面积和是固定的。而左右两个三角形的面积和也是固定的。上下两个三角形的底是相等的，都是长的三分之一，
30、而高的和等于长方形的宽。因此，上下两个三角形的面积和可求：12。同理，左右两个三角形的面积和也可求：18。,如左图，两个一样的梯形叠在一起，按图上标出的数，计算出阴影部分的面积。,分析：如图作延长线，可知（1）的面积就是阴影部分的面积。,正方ABCD的边长是6厘米，三角形AFD（甲）是正方形的一部分，三角形FCE（乙）的面积正好比AFD的面积大6平方厘米，求CE长多少？,分析：关键是ABCF的作用。三角形FCE加它是三角形ABE，三角形AFD加它是正方形ABCD。因此，可求CE。乙=甲+6丙+甲=36（正方形）丙+乙=丙+甲+6=42而AB已知，求BE可得：14。所以CE为 8厘米。,如上图：
31、两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。,分析：所求面积是三角形ACD的面积与图中I的面积之差。而的面积则是边长为6的正方形的面积减去四分之一的以6为半径的圆的面积。结果：39（取3）,直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影的面积比的面积大7平方厘米，求BC的长。,分析：7平方厘米实际上半圆的面积比三角形面积大的部分。求出BC=15,上图中半径为9厘米，角1、角2等于150，求阴影部分的面积。,分析：这是一个扇形的面积问题。因0A、OB、OC都是半径，因此，关键是求出角BOC的度数。角1的度数知道了，则ABO的度数可知：同样。那AOB可求：150。BOC则为60度。扇形面积为圆面积的1/6。,三角形ABC是等腰直角三角形，直角边AB=2厘米，BE、ED分别是以C、A为圆心，BC、AB为半径所作的弧。求阴影部分的面积。,分析：阴影部分的面积是两个扇形面积的和减去一个三角形的面积。,
