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1、第八章 矩量法、时域有限差分法、有限元法,2.1 矩量法的基本概念,应用经典解析方法求解电磁场理论和天线中得问题一般只能解决一些几何形状比较简单的课题，即便如此，其计算工作也往往不是太繁，就是根本无法求解。因此，长期以来，许多学者就致力于寻求一些近似的与数值的计算方法；这些方法到了六十年代由于高速电子计算机的出现而得到了更为广泛得重视与发展。,1968年，R.F.Harrington 对用矩量法求解电磁场问题作了全面和深入地研究，并发表了专著。,矩量法(Moment of Method,简称MOM)是在天线、微波技术和电磁波发射等方面广泛应用的一种方法。,L 为算子，算子可以是微分算子、差分算
2、子和积分算子。g是已知函数如激励源，f 为未知函数如电流，假定算子方程的解存在且是唯一的，于是，有逆算子L-1存在，则 f=L-1(g)存在。L与L-1互为逆算子。,矩量法是将算子方程化为矩阵方程，然后求解该矩阵方程的方法。现有算子方程如下：,算子L 的定义域为算子作用在其上的函数f 的集合。算子的值域为算子在其定义域上运算而得到的函数g的集合。,则L 为线性算子。,在应用矩量法处理问题的过程中，需要求内积 的运算。现定义内积如下：,如果将一根质量不均匀的细杆沿x轴放置，其重力方向处处垂直于x轴，则由此重力引起的相对于原点的力矩为：,矩量,假定两个函数f1和f2以及两个任意常数 和，若下面的关
3、系存在,含义，由于求内积是将算子连续方程离散化为代数方程组的一个关键步骤，因而将这一求解问题的方法称为矩量法。,内积的运算满足下面的关系：,式中f(x)为细杆上每单位长度的重力，x为杆上一点到原点的距离。可以看出内积类似于一种矩量。所以矩量法的取名只是由于求内积类似于求矩量，但已经没有任何求力矩的,则 称为L的伴随算子，若 则L叫做自伴算子。因而 的定义域就是L的值域，而且有下面的关系式成立:,对于所有L算子定义域中的 f，若有下面的关系成立,为 f 的共轭量。,矩量法求解的一般步骤为:,a.在求解电磁场或天线问题时遇到的微分方程或积分方程可以写成算子方程,式中L为微分算子或积分算子，f 为待
4、求的场量或响应，g为已知源或激励。,在L定义域内选择一组函数，将待求函数 f 展开为它们的组合：,b.在L域内选择一组检验函数，并对每一 取内积，可得：,c.把上式写成如下矩阵形式：,d.通过以上过程将算子方程离散成为线性方程组，再由线形方程组解出系数，再代回式 得到算子方程的解。,基函数与检验函数的选择,基函数的选择 对于基函数的两个基本要求是完备性和正交性。后者可以放宽为线性独立。完备性是指选择的基函数可以精确地表示任何未知函数，且其精度随着基函数的数目增加而提高。线性独立是要求一组基函数中任何两个必须是线性独立的。,此外，表示式的有效性通常也是选择基函数的重要判椐。如果基函数可使未知函数
5、易于满足实际的边界条件，那么即是一种较好的基函数。具有实际应用的典型基函数有两种：其一称为全域基函数，另一个称为分域基函数或称为子域基函数。每一个全域基函数都在相同的域中定义，而每一个分域基函数的非零区域是在未知函数的部分域中定义。例如下列积分方程:,与分域基函数比较，采用全域基函数时通常待求的未知数的数目较少。因为使用全域基函数时无须网格剖分，数值计算也相对地易于实现。有用的全域基函数多采用多项式、正弦函数及余弦函数。,其中未知函数 f(x)的定义域为-1,1，因此，基函数 是一组全域基函数。,分域基函数仅在部分函数域内定义有非零值，通常这部分域的尺寸远小于波长。除了方波函数以外，几乎全部分
6、域基函数（例如三角函数）具有重叠的非零区。因此，为了定义分域基函数，通常需要将求解区域划分为很多小片的集合，每个小片称为一个网格单元或简称为一个单元。这样的单元集合构成目标的近似表示，因此称为网格。,算子方程的匹配技术 匹配即是使原方程在弱条件下近似成立的方法。例如在函数域中某点使方程两边相等，那么获得一个代数方程。如果对于N个不同点重复进行，那么将获得N个线性无关的方程。这是一种最简单的匹配方法，通常称为点匹配技术。,实际中，广泛地选择方波基函数和三角基函数作为分域基函数。许多其它基函数是该两种基函数的变形或组合。一个方波基函数在一个单元内定义为1，而在其余全部单元内定义为零。因此，任何两个
7、方波基函数的非零的子域不会重叠。三角基函数恰好相反，每个三角基函数在两个单元中具有非零区域。显然，基函数的选择有时与网格的形状有关。,幂函数：,全域基函数的类型,傅立叶级数：,勒让德函数：,切比雪夫函数：,子域基函数的类型,分段函数（脉冲函数）：,分段正弦函数：,三角波函数：,二次内插函数：,伽略金法：基函数与检验函数相同。脉冲基点匹配：采用脉冲函数作为基函数，狄拉克函数 作为检验函数，选择合适的匹配点来离散积分方程。全域基点匹配：选择全域基函数，以狄拉克函数 为检验函数。子域基点匹配：选择子域基函数，以狄拉克函数 为检验函数。分段基点匹配：选择分段基函数，以狄拉克函数 为检验函数。,基函数与
8、检验函数的配合,例子：用矩量法求解海伦积分方程,海伦积分方程的简化形式：,将天线分成N等份，则有:,第一步我们选取脉冲函数作为基函数，如下图所示：,则天线上的电流被离散化为：,将上式代入海伦积分方程，得：,其中系数,式中共有N+1个未知量，则需要将积分方程离散化为N+1阶的线性方程组，选取N+1个点作为匹配点，其中前N个匹配点为各段中点，,另一个点为匹配点坐标值：,选择狄拉克函数 作为检验函数，,其中前N列有：,则海伦积分方程离散化为N+1阶线方程组为：,由内积的定义得到,由 函数性质得,将脉冲函数表达式代入上式得：,这样就得到了前N 列的矩阵元素的计算公式，接下来计算第N+1列矩阵元素。,再
9、来计算矩阵方程组右边元素,计算中取,即天线被分成40段。,取 时，也就是天线的全长恰好为半个波长，天线上电流的幅度计算结果如下图所示,2.2 有限元法的基本概念,有限元法(Finite Element Method,简称FEM)是Clough于1960年在其著作中首先提出来的一种数值方法。,传统的有限元法是以变分原理为基础，通过离散泛涵变分方程而建立起来的一种数值方法，经过多年的发展，有限元法不仅被应用于各种结构工程，而且被普遍推广并成功地用来解决其它工程领域中的问题，例如热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。,1965年，Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题。,1969年，Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。,2.3 时域有限差分法的基本概念,时域有限差分法(Finite Difference Time Domain,简称FDTD)就是直接离散时域麦克斯韦方程偏微分表达形式的离散化方法，它无需求解方程组，只是模拟电磁波的传播，随时间不断往前推进。,
