《《计算流体力学》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《计算流体力学》PPT课件.ppt（59页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第五章 边界元法、有限体积法和有限分析法,基本思想：将控制微分方程转化为边界积分方程，再用有限元法来处理边界积分方程。,特点：1.区域内满足微分方程，边界上近似满足边界条件。2.维数减少一个，可以简化计算。3.精度一般高于有限元法。4.系数矩阵不对称并为满阵，需要解析函数的基本解，目前主要适用于线性问题。,一、边界元法（Boundary Element Method或BEM）,1.边界积分方程的建立,例：Laplace方程,其伽辽金方程为,（在内）（在1上）（在2上）,当近似解不要求满足边界条件时，由格林公式可得:,引入权函数w=u代入上式,而,代入上式得,-（a）称为边界元出发方程。,若选权
2、函数w满足,而不要求满足边界条件时，则,选择另一权函数w，使其对区域内任一点i满足,（在i点）（不在i点处）,则,由（c）,则（a）式变为,说明:内点的函数值可用边界上的函数值及其法向导数值沿区域的边界积分来表示。满足(c)式的解称为基本解。对于各向同性介质,r-区域内任意点i到边界积分点的距离。,将i点移到边界上，则,（d）式称为边界积分方程。,（d）式也可写为为,3.数值离散,(1)边界上剖分和插值,a.常数单元（1节点）,取单元中点为节点,则,b.线性单元（2节点）,取单元两端点为节点,则,c.二次单元（3节点）取中点及两端点为节点,则,（2）数值化,边界积分方程（e）的离散形式,若采用
3、常数单元：,引入记号,则,将已知值,或写成矩阵形式,等代入，整理成代数方程组形式,式中,解方程组后，则全部边界上u,q为已知，再求出区域内任意点u值为,二、有限体积法（Finite Volume Method或FVM）,1.基本思想：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，使每个网格点周围有一个控制体积，将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。,2.数值离散的一般步骤,例：一维热传导问题,K-热传导系数T-温度S-单位体积内热量的产生率P,E,W-节点e,w-控制体交界面（一般为中点）,设y,z方向为单位厚度，则控制体体积为,将（a）式对该控制体积分,在节点间T值的插值变化规
4、律为：（1）阶梯形剖面节点上的T值为该点周围控制体内的数值。但dT/dx在w,e上无定义。,（2）分段线性剖面,令,则,或,足标nb表示相邻节点.,源项的处理：设,于是,标准形式不变。,3.非恒定问题的处理,设T为阶梯形剖面,则,设,则,式中,三、有限分析法（Finite Analytic Method或FAM）,1.基本思想：划分子区域，在子区域中求局部解析解。导出一个代数方程，将节点值联系起来，将所有局部解析解汇集在一起求解。,2.一般原理设微分方程,(1)网格划分,由相邻四个网格构成一个单元。E,W,S,N,C-东，南，西，北，中,（2）单元分析解,假设：边界条件近似为,系数a0,a1,
5、a2由东边NE,NC,SE节点的f值确定。,用分离变量法求线性微分方程的解析解,如内节点P,(3)代数方程的建立,对单元中心节点P(i,j)有,解方程组即可。,例：Laplace方程,边界条件可以用二次多项式来表示，如,系数可由三个边界节点定出，如,单元内解拉普拉斯方程,以中心节点代入,取h=k=1,则边中点与角点,若边中点0.25，角点0.0，则为5点格式。而本例为9点格式，更为精确。,其中,2.矩形单元,线性插值（4节点单元），设,则,二次插值（9节点单元），略,曲线四边形单元，可采用双线性变换,3.三维情形,(1)四面体:4节点单元,10节点单元,(1)正六面体:8节点单元,20节点单元
6、（略）,例（同前）：步骤（3）,积分整理得,(4)解出,(5)近似解,4.矩量法,取权函数,则,例（同前）：步骤（3）取,积分整理得,(4)解出,(5)近似解,5.伽辽金法（Galerkin）,取基函数本身作权函数，即取,则,例（同前）：步骤（3）取,构造二级近似解,余量,代入伽辽金加权积分式,积分,(4)解出,(5)近似解,此例题精确解为,由各种解比较结果可见，伽辽金法精度最高。因此，该方法获得广泛应用。,3 切削叶轮外径以调节泵的性能,切削后的叶轮与切削前不再符合几何相似.叶轮切削前后的速度比,叶轮切削前后性能参数的关系如下（近似认为切削前后容积效率相等，叶片排挤系数相等，水力效率相等，涡
7、流系数相等）：,1.低比转数的泵（ns150）叶片出口宽度b2小，近似认为叶轮切削前后,流量比,扬程比,轴功率比,上述三个关系式称为第一切削定律。,2.中、高比转数的泵（ns150）近似认为切削前后叶轮出口面积不变,上述三个关系式称为第二切削定律。,切削叶轮调节工况分析 根据第一切削定律，可以推导得出其切削曲线是一条过原点的直线；根据第二切削定律，可以推导得出其切削曲线是一条过原点的二次抛物线。B点和C点是满足第一切削定律的工况点，B点和D点是满足第二切削定律的工况点。,切削叶轮的调节方法，其切削量不能太大，否则效率明显下降。泵的最大切削量与比转数有关。泵的比转数 60，允许最大切削率为20泵
8、的比转数120，允许最大切削率为15泵的比转数200，允许最大切削率为11泵的比转数300，允许最大切削率为9泵的比转数350，允许最大切削率为7泵的比转数350以上，允许最大切削率为0所谓切削率，即,切削叶轮的调节方法，不增加额外的能量损失，设备效率下降少，是一种节能的调节方法，但需要停机换轮，因此常用于水泵的季节性调节。,4.改变并联泵台数的调节方法,在大型排灌站或冷、热水系统中，可用改变并联泵运行台数的方法进行流量调节，这是一种很简单、经济的调节方式。因为泵并联台数不同，其特性曲线各异。,【例13-1】已知某水泵性能HQ曲线、Q曲线如下图，转速n=2900 r/min。管路阻抗SH=76
9、000 s2/m5，静压头Hst=19m。试求：（1）水泵的流量Q、扬程H、效率及轴功率N。（2）用阀门调节的方法使流量减少25，求此时水泵的流量、扬程、轴功率以及阀门消耗的功率？（3）用变速调节的方法使流量减少25，求调节后的转速？,【解】（1）由已知，管路特性方程为,根据表中数据，描绘出管路特性曲线如图，与水泵HQ曲线交于点A。查图QA=8.510-3 m3/s HA=24.5 m，A=65,（2）阀门调节使流量减少25，新的工作点为B,在水泵的特性曲线上查得 HB=28.8 m，B=65,过B点作垂线与管路特性曲线交于点C,采用阀门调节，增加的水头损失,阀门消耗的功率,（3）变速调节使流量减少25，新的工作点为C与点C相似的工况点应为过点C且经过原点的二次抛物线和泵的HQ曲线的交点D。因为 QC=6.3810-3 m3/s HC=22.09 m，则可得到过点C且经过原点的二次抛物线方程,在图中描绘出该方程曲线与泵的HQ曲线交于点D，查得QD=7.210-3 m3/s 则根据相似律，新的转速,第四节 泵与风机的选择、安装和运行,
