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1、1,证券定价Pricing of Bonds and stocks,孟生旺中国人民大学统计学院,2,主要内容,债券价值分析债券定价原理债券在任意时点上的价格和账面值分期偿还债券的价格可赎回债券的价格股票价值分析卖空,3,金融市场（financial market）：资金供求双方借助金融工具进行资金交易活动的场所，分为：货币市场（money market）:融资期限在一年以下资本市场（Capital market）：股票市场、债券市场,4,债券(bond),含义：由筹资者向投资者出具的在一定时间还本付息的债权债务凭证。种类：政府债券国债地方政府债券金融债券公司债券,5,债券的基本要素：票面价值（
2、面值）：100或1000元。价格：平价，溢价，折价偿还期限：长期（10年以上），中期（110），短期（1年以内）。票面利率。根据利息支付方式，可分为附息债券（coupon）和零息债券（zero-coupon）。,6,债券定价的基本原理,P 债券的价格(bond price)i 债券的到期收益率（yield-to-maturity rate,internal rate of return)。F 债券的面值（par value，face amount,nominal value）r 债券的息票率（coupon rate per payment period）rF 息票收入(coupon),7,C
3、债券的偿还值（redemption payment），通常等于债券的面值，即C=F。例外：提前偿还时，偿还值不等于债券的面值。n 息票的支付次数(number of coupon payments)。,8,定价公式,基本公式溢价公式基价公式（了解）Makeham公式（了解）,9,（1）基本公式 债券的价格等于未来息票收入的现值与偿还值的现值之和，即注：债券的价格与到期收益率 i 成反比。,F 债券的面值C 债券的偿还值r 债券的息票率,10,对 P 求关于 i 的一阶和二阶导数，可得一阶导数小于零，说明P 是i 的减函数。二阶导数大于零，说明 P 是i 的凸函数，如下图。,11,债券价格与到期
4、收益率的关系（）（）,到期收益率下降时，债券价格以加速度上升；到期收益率上升时，债券价格以减速度下降。,n=30#债券期限i=seq(0,0.3,0.001)#债券的到期收益率r=0.05#息票率F=1000#面值P=r*F*(1-(1+i)(-n)/i+F*(1+i)(-n)#债券的价格plot(i,P,type=l,lty=1,xlab=到期收益率,ylab=债券的价格,col=2,lwd=3)lines(c(0.05,0.05),c(0,1000),lty=2)lines(c(0,0.05),c(1000,1000),lty=2)lines(c(0.1,0.1),c(0,528.64),
5、lty=1)lines(c(0,0.1),c(528.64,528.64),lty=1)lines(c(0.15,0.15),c(0,343.4),lty=3)lines(c(0,0.15),c(343.4,343.4),lty=3)text(0.005,310,343.4)text(0.005,580,528.6),期限=30年面值和偿还值=1000息票率=5%,12,Example：A 30-year bond with a par value of 1000 and 12%coupons payable quarterly is selling at 850.Calculate the
6、annual nominal yield rate convertible quarterly.Solution:The answer is 14.16%（3.54%4）.,f=function(i)850-30*(1-(1+i)(-120)/i-1000*(1+i)(-120)uniroot(f,c(0.01,0.1)$root,13,思考：其他条件不变，债券期限变化对债券价格的影响？,14,债券期限对债券价格的影响,n=1:30#债券期限 C=100#偿还值F=100#面值r=0.07#息票率i=0.09#收益率par(mfrow=c(1,2)P1=r*F*(1-(1+i)(-n)/i+C
7、*(1+i)(-n)#债券的价格g1=plot(n,P1,type=l,lty=1,xlab=债券的期限,ylab=债券的价格,col=2,lwd=3,main=C=100 rF/i=77.8)i=0.06P2=r*F*(1-(1+i)(-n)/i+C*(1+i)(-n)#债券的价格g2=plot(n,P2,type=l,lty=1,xlab=债券的期限,ylab=债券的价格,col=2,lwd=3,main=C=100 rF/i=116.6),注：若C=F，则 r i 时，价格随着 n 的增加而递减；反之，递增。,r i,r i,15,（2）溢价公式（premium/discount for
8、mula）,r 息票率，息票收入与面值之比g 修正息票率（modified coupon rate）息票收入与偿还值C的比率，即,16,溢价公式（premium/discount formula）见下页解释,17,溢价公式的解释：,C,iC,iC,iC,iC C,P,gC,gC,gC,gC C,18,若 P C，就称按溢价(premium)出售 溢价=C(g i)若 P=C，平价出售，修正息票率 g=到期收益率 i。若 P C，折价（discount）出售，即负的溢价。,19,溢价公式的常见形式,当 C=F 时，g=r平价发行时，r=i溢价发行时，r i折价发行时，r i,20,Exercis
9、e,A 5-year bond with semiannual coupons is redeemable at par.The annual effective yield is 7%and the coupons are 5%a year.Find the price of the bond per$100 par value.Is it sold at a premium or a discount?,21,Solution:,The bond is sold at a discount.,基本公式：,溢价公式：,（semiannual effective yield）,22,账面值（b
10、ook value)：在时点 t，持有人在债券上的投资余额。记为基于购买债券时的到期收益率 i 计算。不是市场价格。不随市场利率变化。,23,将来法(prospective method),（已知）,t 为整数时：价格与账面值 相等,（注意：假设到期收益率 i 保持不变）,24,过去法(retrospective method),等价于将来法,25,计算账面值的递推公式（解释，证明参加教材）:,26,例：债券的面值为1000元，年息票率为6%，期限为3年，到期按面值偿还。投资者所要求的年收益率为5%，请 计算债券的价格以及投资者在各年末的账面值。解：用溢价公式：溢价金额为27.23元。,27,
11、下面分析溢价将在以后各期如何获得补偿。投资者在第一年应该得到的利息收入为1027.230.05=51.36（元）第一年实际得到的息票收入为10000.06=60（元）息票收入大于应得利息收入，差额称作溢价分摊金额(premium amortization amount)。第一年的溢价分摊金额为 60 51.36=8.64（元）,28,应用递推公式，第1年末的账面值为1027.23（1+5%）60=1018.59（元）以后各年的账面值和溢价分摊金额如下表所示。,注：溢价分摊金额的总和正好等于溢价(premium)。,29,任意时点上的价格和账面值,任意时点上债券的价格（假设到期收益率 i 保持不
12、变）设：债券在上一个息票支付日期的价格为P0下一个息票支付日期的价格为P1用 Pt 表示在两个息票支付日期之间的价格（0 t 1）,0,t,1,P0,Pt,P1,时间,价格,30,债券在时点 t 的价格可用两种方法计算：Pt=(1+i)t P0（过去法）Pt=(rF+P1)(1+i)(1 t)（将来法）两式是等价的，因为：P0和P1存在下述关系：P1=P0(1+i)rF 或 rF+P1=P0(1+i)代入将来法公式，即证。注：Pt中包含在时间1到期的部分息票收入，P1不包含。,31,任意时点上债券的账面值（假设到期收益率 i 保持不变）,账面值：实际投资余额。在息票支付日，账面值等于债券价格，
13、在其他时点，要从价格中扣除应计息票收入。在时间 t（0 t 1）的价格为Pt=(1+i)t P0扣除应计息票收入，即得在时间 t 的账面值 为 其中(rF)t表示从时间0到时间t的应计息票收入。,32,应计息票收入可以有两种计算方法：按复利计算。如果期末的利息收入为rF,则期初的本金应为 rF/i，故在 t 时应获得的利息为：按单利近似计算。(rF)t=trF,33,账面值可按下述三种方法计算：理论方法：按复利精确计算半理论方法：将应计息票收入按单利近似计算实践方法：用单利近似计算,34,例：债券的面值为1000元，年息票率为6%，每年末支付一次利息，期限为3年，到期按面值偿还。债券的到期收益
14、率为8%，试计算债券在购买6个月后的价格和账面值。,解：债券在购买日的价格为 在购买6个月后的价格为Pt=(1+i)t P0=948.46(1+0.08)0.5=985.67（元）,35,购买6个月后的账面值等于价格扣除应计息票收入：理论方法：半理论方法：实践方法：,36,债券在每个季度末的价格和账面值表（单位：元）,账面值=价格-应计息票收入,37,n=3F=1000rf=1000*rp0=1000*(1+(r-i)*(1-(1+i)(-n)/i)t=seq(0,n,0.01)p=(1+i)t*p0#包含息票收入的债券价格for(k in 1:n)tt=which(t=k);#整数时点ptt
15、=ptt-rf*(1+i)k-1)/i;#整数时点上债券的价格tt1=which(tk#非整数时点t2=ttt1-k#债券价格中累积息票收入的时间ptt1=ptt*(1+i)t2#非整数时点上债券的价格 bv=p0*(1+i)t-rf/i*(1+i)t-1)#债券的账面值plot(t,bv,type=l,col=1,lwd=2,ylim=c(900,1100),xlab=时间(年),ylab=账面值和价格)lines(t,p,lty=2,col=2,lwd=2)legend(0.1,1100,c(账面值,价格),lty=1:2,col=1:2,box.col=white),价格和账面值的变化过
16、程,38,例1：债券的面值为1000元，年息票率为6%，每年末支付一次利息，期限为5年，到期按面值偿还。到期收益率为8%。,问题：溢价还是折价发行？,例2：债券的面值为1000元，年息票率为10%，每年末支付一次利息，期限为5年，到期按面值偿还。到期收益率为8%。,问题：溢价还是折价发行？,40,G 基价（base amount of a bond）。把基价按收益率 i投资，每期产生的利息收入将等于息票收入，即iG=rF。息票收入：rF=gC=iG。,基价公式和Makeham公式（了解）,41,（3）基价公式（base amount formula）基价是投资者为了获得与息票rF相等的周期性收
17、益所必须的投资额，即iG=rF。基价公式的推导：,解释（下页）,42,基价公式的解释：P=G+(C G)vn,G,iG,iG,iG,iG G,P,rF,rF,rF,rF C,iG=rF,购买债券多获得(C G)的偿还值，其现值为(C G)vn,43,（4）Makeham公式 息票收入rF=gC，故由基本公式得 K是偿还值 C 的现值，是息票收入的现值。如 g=i，则 P=C。,44,分期偿还债券的价格（Makeham 公式的应用）,分期偿还债券：在不同的时间分期进行偿还。例：假设某债券的面值为1000元，年度息票率为5%，从第6年末开始，发行人分5次偿还，每次偿还1/5,每年末的偿还额为205
18、元，第10年末还清。假设到期收益率为6%，求该债券的价格。,45,如果到期收益率为6%，则偿还值的现值为未来息票收入的现值为因此上述债券的价格为 645.28+308.71=953.99（元）,46,应用Makeham公式可以简化计算过程：应用该公式，只需要：偿还值及其现值，修正息票率g，利率 i。将上述债券分解为5种面值均为200元，偿还值均为205元，偿还期分别为6，7，10的债券。,47,如果分解后的每种债券具有相同的修正息票率g，第s（s=1，2，3，4，5）个债券的价格可表示为则原债券的价格为,48,在上例中，每个债券的修正息票率均为 g=2005%205=0.048785种债券的偿
19、还值之和为5种债券的偿还值的现值之和为所以原债券的价格为,49,债券价格的计算公式（小结）：,基本公式,溢价公式,基价公式,makeham公式,50,衡量债券收益水平的指标：,51,可赎回债券的价格,可赎回债券(callable bonds)：发行人有权赎回的债券。为什么发行可赎回债券？通常有赎回保护期（call protection period)，有相对较高的收益率补偿赎回风险（call risk）。赎回价格（call price）：大于到期偿还值。差额称作赎回溢价（call premium),52,例：一种8年期的可赎回债券的息票率为12%，按面值1000元发行，若到期偿还，则按面值偿还
20、。赎回保护期为5年。如果发行人在第5年末赎回，赎回价格为1050元 如果在第6年末赎回，赎回价格为1030元 如果在第7年末赎回，赎回价格为1010元假设债券发行人从第5年末开始可以在任何一年末行使赎回权，如果投资者所要求的收益率为10%，那么投资者愿意支付的购买价格应为多少？投资者的购买价：在各种赎回日期下，债券的最低价格。,53,如果在第5年末赎回，债券价格应为如果在第6年末赎回，债券价格应为1104.04如果在第7年末赎回，债券价格应为1102.50如果债券到期时偿还，债券价格应为1106.70投资者的购买价格应为1102.50元。,54,特殊情况：可赎回债券的偿还值不变,如果偿还值不变
21、，由溢价公式可知：按溢价发行，即 g i 0，偿还期 n 越短，债券价格越低 按折价发行，即 g i 0，偿还期 n 越长，债券价格越低,55,Example:An investor buys a 10-year callable bond with semiannual coupons of 6%.The par value of the bond is 100.The bond is callable after 5 years at a call price of$102.（1）Determine the price of the bond to yield 7%compound sem
22、iannually.（2）Determine the price of the bond to yield 5%compound semiannually.,56,(1)rF=3，g=3/102=2.94%,i=3.5%折价发行，n 越大，价格越低，故 n=20,Solution：,(2)i=2.5%溢价发行，n 越小，价格越低，故 n=10,57,Exercise,An investor borrows an amount at an annual effective interest rate of 5%and will repay all interest and principal i
23、n a lump sum at the end of 10 years.She uses the amount borrowed to purchase a 1000 par value 10-year bond with 8%semiannual coupons bought to yield 6%convertible semiannually.All coupon payments are reinvested at a nominal rate of 4%convertible semiannually.Calculate the net gain to the investor at
24、 the end of 10 years after the loan is repaid.,58,解释：借入1148.77购买债券并将息票收入再投资，到期的累积价值为1971.89；到期偿还借款和利息为1871.23。,59,问题,有位朋友面临如下问题：有100万元资金需要投资5年，在下述两种投资中如何选择？选择1：银行5年期定期存款，年利率为5.5%。选择2：5年期债券。债券的年息票率为5.2%，每年末支付一次利息，平价发行，到期按面值偿还。,60,n=5r=0.052#息票率i=0.055#n年期银行存款的年名义利率f1=function(x)1000*(1+x)n-1000*(1+n*
25、i)#银行存款的收益率函数f2=function(x)1000-1000*(1+x)(-n)-r*1000*(1-(1+x)(-n)/x#债券的收益率函数A1=uniroot(f1,c(0.001,1)$root#银行存款的收益率A2=uniroot(f2,c(0.001,1)$root#债券的收益率A1-A2,A1-A2=-0.002228912,上述结果的合理性？,61,另一种思路：#假设息票收入的再投资利率为i，计算银行存款的累积值与债券投资的累积值之差：f=function(i)100*(1+5*5.5/100)-(100+5.2*(1+i)5-1)/i)uniroot(f,c(0.0
26、001,0.4)$root1 0.02804747,62,股票,什么是股票？股票是股份公司在筹集资本时向出资人发行的、用以证明出资人的股本身份和权利，并根据持有人所持有的股份数享有权益和承担义务的凭证。股票的分类一：A股，人民币普通股票。B股，人民币特种股票，以人民币标明面值，以外币认购和买卖，在境内（上海、深圳）证券交易所上市交易。H股，即注册地在内地、上市地在香港的外资股。,63,股票的分类之二优先股：股息优先，剩余资产分配优先。与债券类似，获得固定比例的回报。普通股：清偿所有债务，且优先股的分红完成之后，才能参与分红。红利水平是不确定的。,64,股票的价格,优先股：价格完全由息票收入或分
27、红决定，现值为普通股：红利水平是不确定的，价格也是多变的。,65,普通股的价格：,（1）股票上市时的价格也称“理论价”（theoretical price）。由今后可能的分红与收益率决定称之为分红贴现模型（dividend discount model）。（2）股票市场价 随着股票进入市场后的买卖情况，随时波动。,66,普通股的理论定价模型：,1零增长模型（level dividend)假设股息的增长率为零，即每期的股息均为D，即 Dt=D（t=1，2，）则普通股的价格与优先股类似，也可以表示为,67,2常数增长模型(constant dividend growth)假设股息的增长率是一个常数
28、 r。如果第一年末的股息为D1，股票的理论价格为（复递增年金）,（假设 r i，否则不收敛）,68,Exercise,A stock is expected to pay a dividend of$10 next year.The required market return is 15%for similarly risky stocks.The dividend are expected to grow 3%per year.Calculate the expected stock price.Solution:PV of dividends=10/(15%-3%)=$83.33,69,
29、Exercise,A stock is currently trading at$50.it is expected to pay a dividend of$5 next year.Dividends are expected to grow by 3%each year thereafter.Calculate the required return for this stock.Solution:,70,3.通过市盈率（price-to-earnings ratio）计算股价 股价市盈率每股收益例：A公司去年一年的收益为25万元。B公司去年一年的收益为100万元，股价为30元，股票数量为
30、10万。B公司与A公司很相似，请计算A公司的市场价值(market capitalization)。,71,卖空：出售某项当前并非属于其所有的资产。相当于借入股票然后卖出。保证金（Margin deposit）：通常为初始股价的一个百分比。红利（Dividend）：卖空期间股票所产生的红利，由卖空者支付给经纪人。,卖空（short sale）,72,卖空利润=份数（出售价格-购买价格）+保证金利息 红利 卖空收益率=卖空利润/保证金,73,解：交易保证金为：卖空利润为：收益率为：,例：某投资者以每股5元的价格卖空X 股票1000股，一年后以每股4.5元的价格购入1000股 X 股票偿还给交易商
31、。交易商要求的交易保证金为30%，交易保证金帐户的年利率为6%，假设每股X股票在每年的红利为0.2元，请计算该投资者的卖空收益率。,74,Exercise:Fred sells a share of ABC stock short.It is worth$3.50 at that time.He pays a margin of 50%of the price of the share.He buys a share of ABC stock a year later when the price has fallen to$2.90.the margin deposit does not earn interest.What is Freds yield on his transaction,assuming that the share pays no dividends in the year.Solution:Fred margin deposit is 0.5*3.50=1.75 The yield on his deposit is(3.50-2.90)/1.75=34.3%,
