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1、,工程力学系多媒体教学课件系列之二,理 论 力 学,第十三章 达 朗 贝 尔 原 理,山 东 农 业 大 学 水 利 土 木 工 程 学 院,第十三章达朗贝尔原理,第一节惯性力达朗贝尔原理第二节刚体惯性力系的简化第三节达朗贝尔原理应用,第三篇动 力 学,第一节惯性力达朗贝尔原理第二节刚体惯性力系的简化第三节达朗贝尔原理应用,第三篇动 力 学,第十三章达朗贝尔原理,动力学普遍定理，为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法；达朗贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平
2、衡问题的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。,第十三章 达朗贝尔原理,第三篇动 力 学,即,令，称为惯性力。,对质点M，由动力学基本方程,则有,在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系，这就是质点的达朗贝尔原理。,一、质点的达朗贝尔原理,以摆锤为研究对象，设它的质量为m。摆锤与车厢一样，有向右的加速度a，则。,单摆与铅垂线成 角，相对于车厢静止，求车厢加速度a。,由静力平衡方程,则,即,【解】,例13-1,单摆的摆长为l，质量不计，摆锤质量为m，尺寸不计，求摆锤的运动微分方程及绳子张力。,【解】,例13-2,受力分析及
3、运动分析,根据加速度分析虚加惯性力,【解】,由达朗贝尔定理列平衡方程得：,单摆的运动微分方程,绳子的张力,二、质点系的达朗贝尔原理,设非自由质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为mi，其加速度为，作用在此质点上的外力的合力为，内力的合力为。在该质点上假想地加上惯性力，则由质点的达朗贝尔原理，有,对于整个质点系，有n个这样的力系，将这些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是力系的主矢和对任意点O的主矩分别等于零，即,因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等值反向，因此有 和；而外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约束反力系。设、分别为作
4、用在第i个质点上的主动力的合力和外约束反力的合力，于是得,二、质点系的达朗贝尔原理,这就是质点系的达朗贝尔原理。,即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点系上的惯性力系构成形式上的平衡力系。该力系对于任一点的主矢和主矩都等于零。,显然有,二、质点系的达朗贝尔原理,第一节惯性力达朗贝尔原理第二节刚体惯性力系的简化第三节达朗贝尔原理应用,第三篇动 力 学,第十三章达朗贝尔原理,下面用静力学力系简化理论研究刚体惯性力系的简化。,首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点 的质量为，加速度为，刚体的质量为m，质心的加速度为，则惯性力系的主矢为,无论刚体作什么运
5、动，惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。,刚体惯性力系的主矩是与其运动形式有关的。下面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化。,一、平动刚体,如图所示，将惯性力系向刚体的质心C简化，惯性力系的主矩为,式中，是质心C的矢径，显然有，所以，即刚体惯性力系向质心简化的主矩为零。,刚体惯性力系向质心简化的结果是一个力，且。,二、定轴转动刚体,如图所示，具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力分量的大小为,方向如图。,该惯性力系对转轴O的主矩为,所以，定轴转动刚体的惯性力系，可以简化为通过转轴O的一个惯性力 和一个惯性力偶
6、。,现在讨论以下三种特殊情况：,2、当刚体作匀速转动时，若转轴不过质心，惯性力系简化为一惯性力，且，同时力的作用线通过转轴O。,1、当转轴通过质心C时，此时惯性力系简化为一惯性力偶。,3、当刚体作匀速转动，同时转轴通过质心C时，惯性力系自成平衡力系。,二、定轴转动刚体,三、刚体作平面运动,实际工程中，刚体常具有质量对称平面，且平行于该平面运动，则刚体各点的惯性力组成的空间力系，可简化为在该对称平面内的平面运动。,以质心C为基点，该平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动，根据上述结果，则平面运动刚体惯性力系向质心简化的结果是一个惯性力和一个惯性力偶并且有,第一节惯性力达朗贝尔原理第二节刚体
7、惯性力系的简化第三节达朗贝尔原理应用,第三篇动 力 学,第十三章达朗贝尔原理,选取研究对象。原则与静力学相同。受力分析。画出全部主动力和外约束反力。运动分析。刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。在受力图上虚加上惯性力和惯性力偶，一定要在正确的运动分析的基础上，熟记刚体惯性力系的简化结果。,列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。求解求知量。,如图所示，均质杆AB的质量 m=40kg，长 l=4m，A点以铰链连接于小车上。不计摩擦，当小车以加速度 a=15m/s2 向左运动时，求D处和铰A处的约束反力。,以杆为研究对象，受力和运动分析如图。假想
8、地加上惯性力，由质点系的达朗贝尔原理求解。,【解】,例13-3,杆作平动，惯性力大小为,方向如图所示。,根据质点系的达朗贝尔原理，有,代入数据，解得,【解】,均质梁AB长l，重FW；均质轮B重FG、半径为r；重物C重FP。圆轮上作用一常力偶M，求A处反力。,先以轮和重物为研究对象。,【解】,例13-4,由质点系的达朗贝尔原理，得,再以整体为研究对象，假想地加上惯性力，则由质点系的达朗贝尔原理，得,【解】,【解】,电动绞车与梁共重为FP。绞盘半径为R，与电机转子固结在一起，转动惯量为J，质心位于O处。绞车以加速度a提升质量为 m 的重物。求：支座A、B受到的附加约束力。,例13-5,【解】,上式
9、中前两项为静约束力，附加约束力为,纯滚动均质圆轮m1，R，均质杆l=2R，m2。求：F多大时才能使杆B端刚好离开地面？圆轮纯滚动的条件？,【解】,例13-6,均质杆B端刚好离开地面时，其约束反力一定为零，受力如下图所示。,【解】,以整体为研究对象，由质点系的达朗贝尔原理，得,再以杆AB为研究对象，由质点系的达朗贝尔原理，得,在这两个方程中相当于只有 a 和 F 两个未知量。,30,【解】,30,设fs为静摩擦系数，则轮作纯滚动的条件是摩擦力不超过最大静摩擦力，有,均质圆柱体重为FP，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为，试求AB=s时平板在O点的约束反力，板的
10、重力略去不计。,1）用动能定理求速度，加速度,圆柱体作平面运动。初始时处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC=R,动能为,例13-8,【解】,主动力的功为,【解】,由上式对t 求导数，得：,由动能定理 得,虚加上惯性力和惯性力系，有,2)用达兰伯原理求约束力,【解】,列方程得,解方程得,均质圆柱体和鼓轮O分别重FP和FQ，半径均为R，斜面倾角，M为常力偶。试求：鼓轮的角加速度、绳子的拉力、轴承O处的反力和圆柱体与斜面间的摩擦力。,例13-8,用达朗贝尔原理求解，虚加惯性力和惯性力偶。,【解法一】,取轮O为研究对象，列方程：,取轮A为研究对象，列方程：,结合运动学关系，有,【解法一】,综合以上各式，解得：,【解法一】,用动力学普遍定理求解,1）用动能定理求鼓轮角加速度。,运动分析，得，系统的动能为,【解法二】,取系统为研究对象，理想约束反力不做功。设力偶M的元位移为d，则所有力的元功为,由动能定理的微分形式dT=W 得,2）取轮O为研究对象，用定轴转动微分方程求绳子拉力。,【解法二】,3）取轮O为研究对象，用质心运动定理求解轴承O处支反力。,4）取圆柱体A为研究对象，用刚体平面运动微分方程求摩擦力。,【解法二】,THEEND,第三篇动 力 学,
