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1、专题一 能量方法初步,本章重点：1、卡氏第二定理2、莫尔定理,第一节 杆件应变能的计算第二节 功的互等定理和位移互等定理第三节 卡氏第二定理第四节 莫尔定理,能量法:用功、能的概念求解弹性体的变形和力的方法。,第一节 杆件应变能的计算,一、轴向拉伸（压缩）时应变能计算,在小变形前提下，杆件处于线弹性阶段。略去杆件的动能不计，外力的功W 全部转化为杆件的应变能V，即：,F,F,力：,变形：,轴力为变量，应变能,杆件应变能密度：,扭转时外力作功,二、圆轴扭转时应变能计算,扭矩为变量，应变能,1.纯弯曲时，弯矩等于外力偶,三、直梁弯曲时应变能计算,2.横力弯曲时，弯矩为变量，应变能,一般，令F为广义
2、力，为广义变形，当F由零开始缓慢增加至最终值时，外力功转变为杆件的应变能，即。,若材料处于线弹性范围，,四、应变能普遍表达式,杆件复杂变形时，取dx微段，若其上同时有FN(x)、Mx(x)、M(x)作用，,杆件的应变能：,例9-1 集中力F作用于简支梁的C点，试用能量原理计算截面C,的挠度wc。设EI为常数。,解：由平衡方程解得,将梁分为AC和CB两段，,CB段,AC段,梁的应变能为,（方向向下）,由式,可解得,桁架,注意：用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷。,如果该处没有与此位移相应的载荷，可先在该点虚设一个广义力F，运用卡,氏定理求广义位移，最后让该力F=0。,可
3、得：,横力弯曲,第二节 卡氏第二定理,式中，i为Fi作用处沿Fi 方向的位移量。,例9-3 试计算图示结构在荷载 F1 作用下C点的竖向位移，结构中两杆的长度均为 l，横截面面积均为A。,解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为,F1,FBC,FCD,例9-4外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求（1）C端挠度，（2）C端转角。,解：（1）求C端挠度,AB段,BC段,支座反力分别为,（2）求 C端转角:,AB段,令M=0,BC段,在 C端加力偶M,推广：为广义位移，FO为沿方向的单位力。,1.弯扭组合变形杆件,2.桁架,3.若要求两点之间的相对位移，沿两点的连线方向加一对方向相反的单位力。
4、,莫尔定理,第四节 莫尔定理,例9-5 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求C端转角。,AB段,BC段,在 C端加单位力偶Mo=1,（顺时针）,AB段,BC段,解：,EI已知，试求：1）加力点A的位移A；2）梁中点B的位移B。,例9-4 线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力。若F、l、,解：（1）求点A的位移。,（2）求梁中点B的位移,在B点附加力FO，BC段,例9-5 图示线弹性结构，杆中各部分的EI均相同。若F、EI均为已知，,试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移。,解：在A、B两点施加一对单位力,略去轴力、剪力的影响：,M1=0，,（0 xR）,（Rx2R）,（0/2）,AC段：
5、,CE段：,M2=-F(x-R)，,EG段：,M3=-FR(1+sin)，,相对位移的方向与单位力的方向相同。,专题二 简单静不定问题,第一节 静不定结构的基本概念,第二节 拉压静不定问题,第三节 扭转静不定问题,第四节 静不定梁,第五节 用力法解静不定结构,第六节 综合举例,本章重点,1.拉压静不定问题,2.扭转静不定问题,3.静不定梁,第一节 静不定结构的基本概念,一、静定、静不定结构,1.静定结构 结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得。,2.静不定结构 结构的约束反力与内力数多于静力平衡方程数。,3.静不定次数 未知力数减去静力平衡方程数。,4.多余约束 超过静定结构所需的约束
6、。,判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。,静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高,二 基本静定系（静定基），相当系统,基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。,相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。,MC,MC,MB,F,F,第二节 拉压静不定问题,静不定结构的求解方法：,1、列出独立的平衡方程,2、找变形几何关系,3、物理关系,4、求解方程组,建立补充方程,一、求解拉压静不定问题的约束反力,1、列出独立的平衡方程,补充方程,例题10-1,3、物理关系,4、求解方组得,解：,2、找变形几何关系,例题10-2,2.找变形几何关系:,3.物理关系:,解：1
7、.写平衡方程:,补充方程:,W=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。,250,250,木制短柱的4个角用4个40mm40mm4mm的等边角钢加固，,已知角钢的许用应力st=160MPa，Est=200GPa；木材的许用应力,代入数据，求得,查表知，40mm40mm4mm等边角钢,4.根据角钢的强度条件确定F,5.根据木柱强度条件确定F,许可载荷,二装配应力,静不定结构中，因杆件尺寸有微小误差，装配后在杆件内产生的应力,称为装配应力。,例10-3 图示钢杆，弹性模量E=200GPa，加工误差和杆长之比,解：,，将杆装在两刚性支座之间，试求装配应力。,三温度应力,静不定结构中，由于温度改变
8、而在杆件内产生的应力称为温度应力。,例10-5 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，,两杆的横截面面积分别为A1=1000mm2，A2=2000mm2。钢杆的弹性模量为,E1=210GPa，线膨胀系数1=12.510-6-1；铜杆的弹性模量为E2=100GPa，,线膨胀系数2=16.510-6-1；试求温度升高20时，1、2杆内的应力。,解：1.列静力平衡方程,2.变形协调方程,3.物理方程,解得,第三节 扭转静不定问题,例10-6 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。,解：1.列静力平衡方程,2.变形协调方程,3.代入物理方程，建立补充方程,MA,Me-
9、MA,MB,+,+,-,解得:,Me/3,Me2/3,Me/3,例10-7 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，两杆在同一横截面处各有一,直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线相差夹角,现在杆B上施加外力偶，,使其扭转到两孔对准的位置，在孔中装上销钉。试求在外力偶除去后两杆所,受的扭矩。,解：1.静力平衡,2.变形协调方程,3.物理方程,第四节 静不定梁,求解静不定梁的方法是：解除静不定结构的多余约束，得到受力和变形与,静不定梁完全相同的相当系统；将相当系统解除约束处的变形与静不定梁,相比较，找到多余约束处的变形协调条件。,1.图示梁是否静定？可取的相当系统有几种形式？其变形协调条件是什么？,讨论题,
10、2.图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接。梁是否静定？在截面C上，剪力、弯矩是否为零？,例10-8 作图示梁的剪力弯矩图。,解：1.去掉B处约束，代之以约束反力,2.变形协调方程,3.用叠加法求变形，建立补充方程,4.取梁AB为研究对象，建立平衡方程,5.作内力图,+,+,-,-,令,例10-9 图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm，=100MPa。试校核该梁的强度。,解：1.去掉C处约束，代之以约束反力,2.变形协调方程,其中：,应用了莫尔积分,应用了卡氏定理，从而：,3.列静力平衡
11、方程,4.作内力图,5.建立强度条件,梁安全,+,-,+,-,+,-,+,例10-10 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,拆开B 处铰链，使超静定结构变成两个悬臂梁。,1.变形协调方程为：,2.物理关系,解：,补充方程：,3.取AB 为研究对象，建立平衡方程：,4.取BC 为研究对象，建立平衡方程：,MC方向设反，将其改正,+,-,-,-,5.作剪力、弯矩图,例10-11 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉,解：将杆CB移除，代之以杆CB的未知轴力FN。,压刚度EA为已知,求拉
12、杆BC的轴力.,1.变形协调方程为：,2.物理关系,补充方程：,解得：,计算图示三次静不定梁B端的约束反力,解除B点约束，代以约束反力。,由于B点固定，所以沿 方向的位移均为零。,第五节 用力法解静不定结构,即：,根据叠加原理：,为原来载荷作用下，沿 方向的位移。,为 作用下，沿 方向的位移。,用莫尔积分或图乘法可以计算所有的系数，从而解得三个约束反力。,根据位移互等定理，,所以方程中有9个变形系数需要确定。,二次静不定结构的力法正则方程为：,方程中有5个变形系数需要确定。,求解过程：,代入方程可求得未知数,静不定结构降次,结构对称，受载对称时，,剪力为反对称内力，弯矩为对称内力,10 kN,
13、结构对称，受载对称时，轴力对称。,轴力为对称内力，,剪力反对称，弯矩对称。,结构对称受力反对称时，结构产生反对称变形。在对称截面上，对称内力为零。,结构对称受力也对称时，产生对称变形，在对称截面上，反对称内力为零。,利用结构的这种对称、反对称性质，可降低静不定次数，简化计算。,1.动荷系数的计算2.动应力、动变形的计算,第一节 惯性载荷作用下的动应力和动变形,第二节 构件受冲击时的应力和变形,本章重点,专题三 动载荷,静应力：,构件在静载荷作用下产生的应力。,特点：,1.载荷从零开始缓慢增加，构件加速度不计。,2.不随时间的改变而改变。,动荷载：,加速度运动的构件、承受冲击物作用的构件所受到的
14、载荷。,动应力：,构件上由于动荷载引起的应力。,实例：1.曲柄滑块机构；,2.转轴；,3.打桩。,一、构件作等加速直线运动时的动应力和动变形,惯性力,静荷载,动荷载,动荷系数,第一节 惯性载荷作用下的动应力和动变形,研究方法：达朗伯原理,需注意的问题：在每一个质点上加惯性力。,动应力:,材料处于线弹性阶段,变形和内力成正比:,动反力:,强度条件:,设x处的惯性力集度为qg(x),动应力与横截面面积无关,二、构件作等速转动时的动应力,均杆横截面面积为A，单位体积质量为，以角速度绕B点等速转动，,计算杆横截面上最大的动应力。,最大轴力在杆的B端，FN=Fg,例11-1 重物M的质量m=1kg，重物
15、绕垂直轴作匀速转动。转动角速度,，试求垂直轴中的最大弯曲应力。,A,B,解:1.求惯性力Fg,2.求支座反力,29.6N,69 N,-,+,-,6.9 Nm,3.求垂直轴AB中的最大弯矩,4.求最大弯曲应力,（1）不考虑构件与冲击物接触后的回弹。,（2）不计冲击物的变形。,（3）不计冲击过程中的声、热、塑性变形等能量损耗，机械能守恒定律成立。,基本假定：,第二节 构件受冲击时的应力和变形,冲击力的特点：作用时间短，力变化快。,求解冲击应力的方法：动能定理,设梁的最大动挠度为：,则重力做功为：,显然重力做功转化为梁的变形能。,设重物落到最低点时的载荷为,冲击载荷做功为：,梁的变形能为：,根据能量
16、原理,重物的动能：,强度条件:,所以：,若静载作用下的位移为：,根据载荷与变形的线性关系：,能量方程为：,E2105MPa，试分别求两杆的动应力。,例11-2 一重W2kN的物体从h0.05m处自由下落，分别冲击在两杆件上。,已知L1m，A110104m2，A220104m2，材料的弹性模量,解：,2.梁横截面上的最大冲击正应力与最大冲击挠度。,解：（1）梁横截面上最大静应力和,（2）计算动荷系数,例11-3图示悬臂梁，A端固定，自由端B的上方有一重物自由落下，撞击到梁,上。已知：梁材料为木材，E10GPa；梁长L2m，h=40mm，重量W1kN。,求：1.梁所受的冲击载荷；,冲击处最大静挠度分别为：,W=3.09105mm3，E=200GPa，求两梁的最大冲击应力。,例11-4 两根梁受重物冲击。一根支于刚性支座上，另一根支于弹簧常数,k=100 N/mm的弹簧上。已知l=3m，h=0.05m，G=1kN，钢梁的I=3.4107mm4，,解：1.刚性支承梁,2.弹性支承梁,例11-5 在AB轴的B 端装有一个质量很大的飞轮C,飞轮的转动惯量为J。,轴与飞轮以角速度 作等速旋转，试计算当A端被突然制动时轴内最大动应力。,解：1.飞轮的动能为,弹力的功,由动能定理，,解得,
