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1、迭代法随想,张 然 吉林大学数学学院,老夫聊发少年狂，重操锅盏扮厨娘。未知饮品难调味，不烹虾蟹只烧汤。蔡大用,知其然知其所以然；授之鱼不如授之以渔；know-how no better than“know-why”教学相长,计算数学,理论,实际应用,计算机,根据计算机的特点设计可行的算法；,数值计算方法,理论依据：误差分析，收敛性分析，数值稳定性分析,给出算法的程序实现：C,C+,Forturne,Matlab,Maple,MathCAD,Mathematica等,没必要专门开数学软件的课,迭代法及其应用,两个简单例子,迭代法理论 非线性方程求解 Newton迭代法 高阶迭代法,迭代法应用,两
2、个简单例子,例1 已知,，任取,，则由,两个简单例子,例2 已知方程,在,附近有根.假定我们已会计算,那么我们就能从,开始，通过迭代公式,逐步得到所要求的根.,方程（非线性方程、超越方程）方程组算子方程（微分方程）,迭代法可用于处理,（1）根的隔离。（2）近似根的精确化,非线性方程求根,求方程的近似根，一般需要解决这样两个问题,二分法,且,优点：简单可靠，易于在计算机上实现，对 f(x)要求不高，只需连续,缺点：用于计算精度要求较高的近似根时，所费时较长，且使用范围有局限，不 能用于求复根或偶数根。,function x=nabisect(fname,a,b,e)%用途:二分法解非线性方程 f
3、(x)=0%格式:x=nabisect(fname,a,b,e)fname 为用函数句柄或内嵌函数表达的%f(x),a,b为区间端点,e为精度(默认值为10-4),x为返回解,程序要求函数在%两端点值必须异号,中间变量fa,fb,fx引入可以最大限度减少fname调用次数,从而提高速度if nargin0,error(函数在两端点值必须异号);endx=(a+b)/2while(b-a)(2*e),fx=feval(fname,x);if fa*fx0,b=x;fb=fx;else a=x;fa=fx;end x=(a+b)/2end,二分法Matlab程序,先将方程,简单迭代法,转化为等价方
4、程,然后从某个数 出发,通过计算,构造序列。如果 连续且这个序列收敛于,则由上式立即可得,问题,简单迭代法,如何选取迭代函数,使迭代过程,收敛？,定理1（收敛充分条件）,若 满足,（1）a,b上 存在,且,（2）对任意 都有,简单迭代法,则,（2）,（1）对任取初值,迭代法 产生的迭代序列 都收敛于方程 在a,b上的唯一实根.,（3）,简单迭代法,定理2（收敛充分条件）,若存在区间（c,d）,使,（1）方程x=(x)在(c,d)内有实根,（2）在(c,d)内连续且,则迭代法,在,附近,具有局部收敛性.,Newton迭代法及其变形,Newton迭代法：,拟Newton迭代法：,Newton迭代法
5、及其变形,Newton下山法：,弦割法：,Newton法：求方程单根时，具有二阶收敛速度，但对初值要求苛刻，且需求导,弦割法：针对求导复杂情形,不需求导，但收敛阶只有1.618阶,且须提供两个较好的初值.,function x=nanewton(fname,dfname,x0,e,N)%用途:Newton迭代法解非线性方程 f(x)=0%格式:x=nanewton(fname,dfname,x0,e,N)fname 和dfname分别表示f(x)及其导函数的 M%函数句柄或内嵌函数,x0为迭代初值,e为精度要求(默认值为10-4),x为返回解,%并显示计算过程设置迭代次数上限N以防发散(默认500)if nargin3end,Newton法的推广,思考,按照Taylor展开，将Newton法,进一步推广到高阶情形？,迭代法的收敛阶,定义,设序列,收敛于.,若存在常数,和,使,则称序列 是p 阶收敛的,三阶迭代法,其中,Chebyshev迭代法 给定一个初值,通过,Halley迭代法 给定一个初值,通过,Super-Halley迭代法 给定一个初值,通过,THIRD-ORDER ITERATIVE METHOD FOR CHOICES OF REGULARIZATION PARAMETERS IN LINEAR INVERSE PROBLEMS,One Task:,
